相关系数与正态分布PPT课件

1、1. 协方差协方差:covariance )( )( YEYXEXE ),(YXc co ov v协方差(相关矩):离散型随机变量 ： . ),()()( ijjijiyxpYEyXEx),cov(YX连续型随机变量： .),()()(dxdyyxfYEyXEx),cov(YX证证 )( )( ),cov(YEYXEXEYX （1）均值计算定理：）均值计算定理：)()()(),cov(YEXEXYEYX 2.协方差与均值、独立、方差的计算关系协方差与均值、独立、方差的计算关系一、协方差与相关系数一、协方差与相关系数第十四讲第十四讲 矩、方差与相关系数矩、方差与相关系数第1页/共20页)()()

2、()()()()(YEXEYEXEXEYEXYE )()()(YEXEXYE （2）独立计算定理：）独立计算定理：设随机变量设随机变量X与与Y 相互独立，则：相互独立，则：. 0),cov( YX证证因为随机变量X与Y 相互独立, )()()(YEXEXYE )()()(),cov(YEXEXYEYX 0)()()()( YEXEYEXE )()()()(YEXEYXEXYEXYE 证 2 )()( )(YXEYXEYXD (3)方差计算定理：方差计算定理： 设设X与与Y是任意两个随机变量是任意两个随机变量,则：则：),cov(2)()()(YXYDXDYXD 又又称称方方差差加加法法公公式式

3、第十四讲第十四讲 矩、方差与相关系数矩、方差与相关系数第2页/共20页 2 2 )()( YEYEXEXE )()(2YEYXEXE ),cov(2)()(YXYDXD 2 )()( YEYXEXE 3.协方差的运算性质协方差的运算性质计算性质：外，协方差还具有以下除了均值的计算公式以值计算公式即可得到。关于这一性质，代入均。且）对称性：即（)(),cov(),cov(),cov(1XDXXXYYX算公式即可得到右边。将等式左边代入均值计）变量系数可提：即（).,cov(),cov(2YXabbYaX.),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(3YZXZYXZZY

4、ZXZYX或）满足分配律，即（第十四讲第十四讲 矩、方差与相关系数矩、方差与相关系数第3页/共20页)()()()()()()(),cov(ZEYEXEYZXZEZEYXEZYXEZYX证：).,cov(),cov()()()()()()(ZYZXZEYEZEXEYZEXZE4. 相关系数相关系数标标准准化化随随机机变变量量的的随随机机变变量量，我我们们称称为为，方方差差为为是是均均值值为为，我我们们已已经经知知道道10)()()()(*YYEYYXXEXX （1）定义：）定义：X与与 Y 的相关系数的相关系数: ),(cov),(),(),(cov* YXYXRYXRYXYXYXYX即；即；

5、的相关系数，记作的相关系数，记作、为为则称则称是其标准化随机变量是其标准化随机变量、是随机变量，是随机变量，、设设第十四讲第十四讲 矩、方差与相关系数矩、方差与相关系数第4页/共20页（2）相关系数的计算）相关系数的计算: )()(),cov(),(YDXDYXYXR , 0)()(* YEXE *),cov(),( YXEYXYXR )()()()(YYEYXXEXE )()()(),cov(*YXEYEYXEXEYX )()( )( )( YXYEYXEXE )()(),cov(YDXDYX ),(2)()()(* YXYDXDYXD c co ov v ),(12)(*YXRYXD 1)

6、,( YXR 证证, 0)()(* YEXE 1)(, 1)( YDXD0),(1 YXR , 0)(* YXD .1),()2( YXR性性质质定定理理：第十四讲第十四讲 矩、方差与相关系数矩、方差与相关系数第5页/共20页并且 . 0, 1;0, 1),(bbYXR(4)(4)强相关定理强相关定理,bXaY 1),( YXR为为必必然然事事件件，即即：使使得得充充分分必必要要条条件件为为存存在在的的语语言言描描述述为为：强强相相关关定定理理常常用用概概率率注注bXaYbaYXR ,1),(1. 1),(01),(0, 1)(,1),( YXRbYXRbbXaYPbaYXRYX时时，时时，且

7、且：使使得得条条件件为为存存在在的的充充分分必必要要的的相相关关系系数数、随随机机变变量量变变量量称称为为不不相相关关。为为零零的的为为零零。我我们们将将相相关关系系数数变变量量独独立立，则则相相关关系系数数独独立立，协协方方差差为为零零，即即、量量决决定定其其分分子子，而而且且，变变值值式式，相相关关系系数数由由协协方方差差：由由相相关关系系数数的的计计算算公公注注YX2）（证证明明过过程程超超范范围围，略略第十四讲第十四讲 矩、方差与相关系数矩、方差与相关系数第6页/共20页不不相相关关。与与则则称称随随机机变变量量即即若若YXYEXEXYEYXR),()()(, 0),( (5)(5)不

8、相关概念不相关概念由定义容易得到不相关的几个等价结论由定义容易得到不相关的几个等价结论; 0),()1( YXR式得到）式得到）（由相关系数的计算公（由相关系数的计算公; 0),cov()2( YX到）到）由协方差的均值定理得由协方差的均值定理得)()()()3(YEXEXYE 公公式式推推出出。提提示示：该该式式方方差差的的加加法法)()()()4(YDXDYXD ),cov(2)()()(YXYDXDYXD 来来确确定定。到到用用数数字字从从的的相相关关程程度度从从强强到到弱弱可可变变量量的的结结论论说说明明：两两个个随随机机强强相相关关、不不相相关关和和011),( YXR第十四讲第十四

9、讲 矩、方差与相关系数矩、方差与相关系数第7页/共20页等价要牢记。系数为零不相关，三个强关正负一；标准变量相关系，线性提系分配律；方差加减协方差，对称积期望减期望积；离差积，协方差E例例14-1-114-1-1（20122012数学一，数学一，4 4分）分）. 1)(;21)(21)(; 1 )(1DCBA；）（两段长度的相关系数为米的木棒截成两段，则将长度为DXYXYYXYXXY，故选关系，从而，之间有明显的线性与则显然另一段为长度为分析：设其中一段木棒1, 1, 1,第十四讲第十四讲 矩、方差与相关系数矩、方差与相关系数第8页/共20页例例14-1-214-1-2（20122012数学一

10、，数学一，1111分）分）020 0100210414131121121XY的概率分布为：设二维离散型随机变量),cov()2();2(1YYXYXP求）求（41) 1, 2()0, 0()0()2(,21YXPYXPZPYXPYXZ则）令解：（的分布。还易求出的分布，令、）由已知，易得（XYZXYZYX,2第十四讲第十四讲 矩、方差与相关系数矩、方差与相关系数第9页/共20页613121210X313131210Y12131127410XYZ32)(,35),()()(1,326123112102EZXYEEYxPxgXgEEYEXx易得：通过；同样可求出根据已知分布，可求出配律于是，根据协

11、方差的分.32)(22EYEYDY323213232)(),cov(),cov(),cov(DYEXEYXYEYYYXYYX第十四讲第十四讲 矩、方差与相关系数矩、方差与相关系数第10页/共20页14-1-3 将一枚硬币重复掷将一枚硬币重复掷n次，次，X 和和Y 分别表示正面向上和反分别表示正面向上和反面向上的次数，则面向上的次数，则X和和Y的相关系数等于的相关系数等于解解,nYX 1),()1, YXRbnaXnY（1),(, 01 YXRb又又选选(A).(A) - -1 (B) 0 (C) 0.5 (D) 1. （2001年）年）例题例题13-2-4（2000，3分）分）22222222

12、22)()()()()();()()()()()()()();()(),YEYEXEXEDYEXECYEYEXEXEBYEXEAYXYXYX （）不不相相关关的的充充要要条条件件为为（与与则则随随机机变变量量）的的方方差差期期望望都都存存在在，设设二二维维随随机机变变量量（ 0),cov(0),( R不相关不相关与与分析：分析：)()()(),cov(),cov(0YXEYXEYXYXEYXYX )()()()()()()(22222222YEYEXEXEYEXEYXE B故选故选第十四讲第十四讲 矩、方差与相关系数矩、方差与相关系数第11页/共20页二、正态分布的密度与分布二、正态分布的密度

13、与分布.,2 N记作记作 1.1.定义定义其中其中 及及 0 0都为常数，这种分布叫做都为常数，这种分布叫做正态分布正态分布或或高斯分布高斯分布。设连续型随机变量设连续型随机变量 X X 的概率密度为的概率密度为 xexfx,21)(222)( 特别地，当特别地，当 时，正态分布时，正态分布 叫做叫做标准正态分布标准正态分布。 其概率密度为其概率密度为 xexx,2122 1,0N1, 0 O 21 xfx 若固定若固定=0 O x x第十四讲第十四讲 正态分布正态分布第12页/共20页2.标准正态密度的特性标准正态密度的特性的的特特殊殊性性具具有有对对称称区区间间积积分分密密度度由由于于是是

14、偶偶函函数数，还还，标标准准正正态态数数的的非非负负积积分分必必然然性性外外除除了了都都具具有有一一般般密密度度函函和和标标准准正正态态密密度度的的密密度度正正态态5021)()(),(222.xexxfN 121221221)(1)()(02022222 dxedxedxexdxxdxxfxxx 是是偶偶函函数数且且212121020222 dxedxexx 第十四讲第十四讲 正态分布正态分布第13页/共20页O1 xFx0.5 的的表表达达式式为为：因因此此，正正态态分分布布2, N dtexFxt222 21 3.3.正态变量的分布函数正态变量的分布函数 xdxxfxFxFxf)()()

15、,()(的的关关系系式式是是首首先先：分分布布函函数数与与密密度度的的关关系系式式为为：与与其其密密度度，则则为为量量的的分分布布函函数数特特殊殊地地，设设标标准准正正态态变变)()()(xxx dtedxxxxxtxx2221)()(),()( xdttxx)()()( 可可以以查查表表求求出出，且且请请注注意意：第十四讲第十四讲 正态分布正态分布第14页/共20页 xx 13）对对称称性性：（)()(xXPxXPy 轴轴对对称称，即即标标准准正正态态分分布布密密度度关关于于)1)(1)()()xxXPxXPxXPx（即即 5 . 0)0(2 ：正正态态密密度度的的偶偶函函数数特特点点）原原

16、点点等等分分性性：由由标标准准（4.正态分布函数的性质正态分布函数的性质0)()(, 0)()(, 1)()(:)()(1 xxFFFxxF、点，即点，即非负规范和单调不减特非负规范和单调不减特，都具有，都具有，都是分布函数，因此，都是分布函数，因此还是还是）无论是）无论是（第十四讲第十四讲 正态分布正态分布第15页/共20页 dtexFNXxxt .222221)(),(:)(5 则则设设求求区区间间概概率率和和分分布布函函数数由由 tz xzzdze2221)()()(212222 xzdzexzz z1)()()()()()()(12121221 xxttxFxFxXxP)()()()(

17、)(,222221 xxxXPxXPxx也可求单侧区间概率：也可求单侧区间概率：)(1)()()()(1111 xxXxPxXP走走，标标准准奇奇偶偶伽伽马马求求一一般般地地：正正态态积积分分三三步步第十四讲第十四讲 正态分布正态分布第16页/共20页14-2-1 ,2 , 12NX若若求求 .4 ;1 ;30XPXPXP解解 30 XP 210 213 5 . 0 1 15 . 0 1 16915. 08413. 0 .5328. 0 )1(1 XP 211 0 . 5 . 0 4 XP 2141 41XP 5 . 11 .0668. 0 )21()21()(211221 xxxXxP时，时，分析：分析： 第十四讲第十四讲 正态分布正态分布第17页/共20页例题例题14-2-2（2010，4分）分）. 2)(; 1)(;423)(;432)(, )0, 0( ,0),(0),()(3, 1)()(2121 baDbaCbaBbaAbabaxxbfxxafxfxfxf）应应满满足足（则则若若均均匀匀分分布布的的概概率率密密度度，上上的的为为密密度度，为为标标准准正正态态分分布布的的概概率率设设1)()(, 031,41)(,21)()(, 0)(2212 dxxfxfxxf