离散型随机变量及其分布规律PPT课件

1、2. 2. 分布列的性质 1.01,2, kP Xxk 12.1 nkkP （非负性）（非负性）（归一性）（归一性）给定了给定了 ,1,2,. kkxPkn 我们就能很好的描述我们就能很好的描述X X. .即可以知道即可以知道 X X 取什么值，以及以多大的概率取这些值。取什么值，以及以多大的概率取这些值。第1页/共33页解: : 依据分布律的性质: :kkXP1)(P(P(X X = =k k)0, )0, 1!0aekakk解得解得 ea0kkke! 这里用到了常见的幂级数展开式设随机变量X X的概率函数为：,!)(kakXPkk k =0,1,2, =0,1,2, , ,试确定常数0.

2、a0a例例1.1.第2页/共33页例题例题2 2设设X X 为离散型随机变量，其分布律为：为离散型随机变量，其分布律为：x xp p-1-10 01 11/21/21-2q1-2q q q2 22112 )12qq（ 解解: :1 q=1 2解方程得21 q=1+ 1 21 q=1-2q 若则矛盾第3页/共33页某射手连续向一目标射击，直到命中为止，某射手连续向一目标射击，直到命中为止，解: : 显然，X X 可能取的值是1,2,1,2, ， P P( (X X =1)=1)=P P( (A A1 1)=)=p p, , 为计算 P P( (X X = =k k ) )， k k = 1,2,

3、 = 1,2, ，A Ak k = = 第k k 次命中 ，k k =1, 2, =1, 2, ，设于是pp )1 ()() 2(21AAPXP)() 3(321AAAPXPpp 2)1 (已知他每发命中的概率是已知他每发命中的概率是p p，求求射击次数射击次数X X 的分布列的分布列. .例例5.5.第4页/共33页, 2 , 1kppkXPk1)1 ()(可见这就是所求射击次数 X X 的分布列. .若随机变量若随机变量X X的分布律如上式，的分布律如上式，不难验证: :1)1 (11kkpp几何分布几何分布. .则称则称X X 服从服从第5页/共33页例例3 3 一门大炮对目标进行轰击一

4、门大炮对目标进行轰击, ,假定此目标假定此目标必须被击中必须被击中r r 次才能被摧毁次才能被摧毁. . 若每次击中目若每次击中目标的概率为标的概率为p p (0 (0 p p 1), 1), 且各次轰击相互独且各次轰击相互独立立, ,一次次地轰击直到摧毁目标为止一次次地轰击直到摧毁目标为止. .求所需求所需轰击次数轰击次数 X X 的概率分布的概率分布. .解解P P( (X X = = k k) = ) = P P( (前前 k k 1 1次击中次击中 r r 1 1次，次， 第第 k k 次击中目标次击中目标) )pppCrkrrk)1 (111rkrrkppC)1 (11, 1, rr

5、k帕斯卡帕斯卡分分 布布第6页/共33页几个重要的离散性随机变量模型几个重要的离散性随机变量模型(0,1)(0,1)分布分布二项分布二项分布波松分布波松分布第7页/共33页一、 (0-1)(0-1)分布 （二点分布）随机变量X X 只取0 0与1 1两个值1()(1),0,1 kkP Xkppk 01 1Xpp 或或10 p它的分布列是它的分布列是XP0 11-P P或者表示为：或者表示为：第8页/共33页将一枚均匀硬币抛掷1 1次，111() (),0,1 22kkP Xkk 则X X 的分布列是：反面正面X = 0X = 0X = 1X = 1“正面正面”的次数的次数令令X X 表示表示1

6、 1次中出现次中出现例例6 6例例3 3 100 100件相同的产品中有件相同的产品中有4 4件次品和件次品和9696件正品，件正品，现从中任取一件，现从中任取一件，96. 004. 010X解解求取得正品数求取得正品数 X X 的分布列。的分布列。0 1XP1/2 1/2第9页/共33页伯努利试验和二项分布第10页/共33页二项分布二项分布事件事件A A 发生的概率均为发生的概率均为P P，定义定义 设将试验独立重复进行设将试验独立重复进行n n 次，次，n n 重贝努里试验重贝努里试验. .若以若以X X 表示表示n n 重重贝努里试验事件贝努里试验事件A A 发生的次数，发生的次数，记作

7、记作pnBX,则称这则称这n n 次试验为次试验为每次试验中，每次试验中，第11页/共33页 用X X 表示n n 重贝努里试验中事件A A（成功）出现nkppCkXPknkkn, 1 , 0,)1 ()(1)(0nkkXP（2 2）不难验证：0)( kXP（1 1）的次数，则的次数，则第12页/共33页)., 1, 0( ,)1 (nkppkXPknkknc若若其分布列为：其分布列为： , XB n pknkknppC )1 (正好是二项式正好是二项式nqp)( 的展开式的展开式中的通项，中的通项，因此该分布为二项分布。因此该分布为二项分布。显然，显然，n n = 1 = 1 时，时，二项分

8、布化为二点分布。二项分布化为二点分布。(0-1) (0-1) 分布记为pBX, 1二项分布的分布列二项分布的分布列第13页/共33页007125. 0)95. 0()05. 0() 2(223CXP 已知100100个产品中有5 5个次品，现从中有放回解: : 因为这是有放回地取3 3次，因此这3 3 次试验的依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.0.05.设 X X 为所取的3 3个中的次品数，于是，所求概率为：则X X B B(3, 0.05)(3, 0.05)，例例1010地取地取3 3次，每次任取次，每次任取1 1个，求在所取的个，求在所取的3 3个中恰有个中恰有2 2个个次品的概

9、率次品的概率. .条件完全相同且独立，它是贝努里试验条件完全相同且独立，它是贝努里试验. .第14页/共33页注： 若将本例中的“有放回”改为”无放回”，那么各00618. 0) 2(310025195CCCXP次试验条件就不同了，次试验条件就不同了，古典概型求解古典概型求解. .不是贝努里概型，不是贝努里概型， 此时只能用此时只能用第15页/共33页二项分布的取值情况设), 8(31BX.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .00000 1 2 3 4 5 6 7 8 8 , 1 , 0,)1 ()()()(8313188kCkXPkPkkk0.2

10、73由图表可见 , 当 时，32或k分布取得最大值273. 0)3()2(88 PP此时的 称为最可能成功次数kxP012345678第16页/共33页设)2 . 0 ,20( BX.01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 0 0 是常数, , 且概率分布为：且概率分布为：泊松分布泊松分布, , 记作记作则称则称 X X 服从参数为服从参数为 的的 ( )Xp 或者x泊松分布泊松分布第20页/共33页 设某国每对夫妇的子女数设某国每对夫妇的子女数X服从参数为服从参数为 的泊的泊2 ( ),1013 XP XP XP Xe 且31012 P XP

11、XP XP X 122222221150.323 1!2!eeee解解: : 由题意由题意, ,232 eee 求任选一对夫妇求任选一对夫妇, ,至少有至少有3 3个孩子的概率。个孩子的概率。松分布松分布, ,且知一对夫妇有不超过且知一对夫妇有不超过1 1个孩子的概率为个孩子的概率为3e3e-2-2. .例例1212第21页/共33页)(PX. . .n n=10,=10,p p=0.7=0.7k kP Pk k0X X B(n,p)B(n,p)第22页/共33页当 n n 很大，p p 很小时，下面图形显示下面图形显示：泊松分布是二项分布的极限分布泊松分布是二项分布的极限分布，参数参数 =

12、n p= n p 的的泊松分布泊松分布二项分布就可近似看成是二项分布就可近似看成是第23页/共33页在实际计算中,当 n 20, p 0.05时, 可用上述公式近似计算; 而当 n 100, np 10 时, 精度更好 0 0.349 0.358 0.369 0.366 0.368 1 0.305 0.377 0.372 0.370 0.368 2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184 3 0.057 0.060 0.060 0.061 0.061 4 0.011 0.013 0.014 0.015 0.015 按二项分布 按Possion 公式 k n=10 p=0.1

13、n=20 p=0.05n=40 p=0.025n=100 p=0.01=np=1 第24页/共33页, 则对固定的 k, 2 , 1 , 0!)1 (limkkeppCkknnknknn0nnp设Possion定理定理Poisson定理说明若X B( n, p), 则当n 较大，p 较小, 而 适中, 则可以用近似公式np, 2 , 1 , 0,!)1 (kkeppCkknkkn第25页/共33页例13有产品15000件，其中次品 150件，今抽取100件，求有2件是次品的概率。解法一解法一 超几何分布10015000981485021502CCCXP10015015000nMN解法二解法二

14、二项二项分布01. 0NMp为次品率982210099. 001. 02CXP1839. 03678. 021! 21212eXP解法三解法三 泊松泊松分布1pn第26页/共33页历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于18371837年由法国数学家泊松引入的年由法国数学家泊松引入的. . 近数十年来，近数十年来，泊松分布泊松分布日益显示其日益显示其重要性重要性, , 成成为概率论中最重要的几个分布之一为概率论中最重要的几个分布之一. . 在实际中，许多随机现象服从或近似服从泊松分布. . 泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位 . .第27页/共33页都可以看作服从泊松分布. .每天119119收到的火灾报警次数；一个售货员接待的顾客数; ;一台纺纱机的断头数; ; 一放射性源放射出的 粒子数；例如第28页/共33页例例6 6 设一只昆虫所生虫卵数为随机变量 X , 设各个虫卵是否能发育成幼虫是相互独立的. 已知X P()，且每个虫卵发育成幼虫的概率为 p. 求一昆虫所生的虫卵发育成幼虫数 Y 的概率分布.第29页/共33页解解 昆虫X 个虫卵Y 个幼虫已知, 2 , 1 , 0,!)(kkekXPkkmppCkXmYPmkmmk, 2