离散傅里叶变换PPT课件

1、 DFTDFT对对x xa a(t)(t)进行频谱分析进行频谱分析傅里叶变换理论 信号持续时间有限长，其频谱是无限宽。 信号的频谱有限长，在时域中，该信号的持续时间无限长。上述两种情况，在时域或频域中进行采样，得到的序列都是无限长序列，不满足DFT的变换条件。采用的处理方法：在频域中用滤波器滤除高于折叠频率的高频分量，在时域中则是截取有限点进行DFT。结论：用DFT对连续信号进行谱分析是一种近似的分析，近似程度与信号带宽、采样频率和截取的长度有关。第1页/共20页3.4 DFT3.4 DFT的应用举例的应用举例设连续信号xa(t)持续时间为Tp，最高频率为fc， 如下图(a)所示。 则xa(t

2、)的傅里叶变换为：dtdttxFTjfXftjtjaa 2aa(t)ex(t)ex)()( Tp第2页/共20页3.4 DFT3.4 DFT的应用举例的应用举例 对xa(t)以采样频率fs= 1/T2fc进行采样得：x(n)= Xa(nT)。 设共采样N点，并对Xa(jf)作零阶近似(t=nT, dt=T)得: 对 x(jf)在区间0, fs上等间隔采样N点，采样间隔为F，参数fs 、 Tp、 N和F满足如下关系式： 令f=KF，频域N点采样得 : 令X(jkF)=Xa(k)，xa(nT)=x(n)，代入得 ,)()(102 NnfnTjaaenTxTjfX , ) ( ) (102 Nnfn

3、Tjaae nTx Tjf X 函数值与区间长度T的乘积和F=fs/N=1/NT=1/Tp ,FT=1/N1 -Nk0 ,)()(102 NnkFnTjaaenTxTjkFX , ) ( ) (102 NnfnTjaae nTx Tjf X 210()( )NjknNanX jkF Tx nTe1 - Nk0 ,)()(102 NnkFnTjaaenTxTjkFX 1-Nk0 DFTx(n),T1N0nNkn2jae)n(xT)k(X第3页/共20页3.4 DFT3.4 DFT的应用举例的应用举例结论:(1)连续信号的频谱特性可以通过对连续信号采样，并进行DFT再乘以T的近似方法得到。(2)连

4、续信号的时域采样信号可以通过对其频谱函数进行采样，并进行IDFT再乘以1/T的近似方法得到。误差现象：(1)分析的结果看不到xa(jf)的全部特性，只能看到N个离散采样点的谱特性，这就是栅栏效应。(2)如果持续时间无限长，分析时要进行截断处理，这样会产生频谱混叠和泄漏现象，使谱分析产生误差。(k)IDFTXaT1)n(xDFTx(n) T)k(Xa第4页/共20页3.4 DFT3.4 DFT的应用举例的应用举例【例】理想低通滤波器的单位冲激响应ha(t)及其频响函数Ha(if)如图所示。sin()( )athtt用DFT来分析ha(t)的频率响应特性。 由于ha(t)的持续时间为无穷长， 所以

5、要截取一段Tp， 假设Tp=8 s，采样间隔T=0.25 s， 采样点数N=Tp/T=32。 频域采样间隔F=1/NT=0.125 Hz。 则H(k)=TDFTh(n), 0k31 ，其中：h(n)=ha(nT)R32(n)整个频响有波动，高频部分误差较大第5页/共20页3.4 DFT3.4 DFT的应用举例的应用举例对连续信号进行谱分析主要关心的两个问题： 谱分析的范围fc ：受采样频率fs的限制，fc 2 fc 谱分辩率: F= fs / N 采样点数N的选择： N 2fc/F 信号观察时间Tp的选择： Tp 1/F提高F:(1)如保持N不变，必须fs 降低，导致谱分析范围减小；(2) f

6、s 不变，增加采样点数N，即增加Tp第6页/共20页例：对实信号进行谱分析，要求谱分辨率F10 Hz，信号最高频率fc=2.5kHz，试确定最小记录时间TPmin，最大的采样间隔Tmax，最少的采样点数Nmin。如果fc不变，要求谱分辨率增加一倍，最少的采样点数和最小的记录时间是多少? 解：根据信号观察时间TP的选择原则：TP 1/F=1/10=0.1s 因为要求: fs2fc，最小的采样频率为2fc ，所以: 频率分辨率提高一倍， 即：F=5 Hz TPmin = 1/ F = 1/5 = 0.2s3m a xm in110 .21 0222 5 0 0222 5 0 05 0 01 0cc

7、TsffNFTmax = 1/ 2fc =Nmin = 2fc / F3maxmin110.21022250022250050010ccTsffNFNmin = 2fc / Fm inm in22 5 0 01 0 0 0510 .25pNTs观察时间增加一倍，采样点数增加了一倍第7页/共20页2. 2. 用用DFTDFT对序列进行谱分析对序列进行谱分析 单位圆上的Z变换就是序列傅里叶变换。 X(ejw)是w的连续周期函数，对序列x(n)进行N点DFT，得到X(k) ，X(k) 是在区间0, 2上的N点等间隔采样。 序列x(n)的傅里叶变换可利用DFT来计算。()( )jjz eX eX z第

8、8页/共20页(2)(2)对周期序列的频谱分析对周期序列的频谱分析设序列 (n)=x(n+rN)是周期为N的周期序列，则其傅立叶变换为： 周期序列的频谱结构可以用离散傅里叶级数系数 表示 取 的主值序列 进行N点DFT，得到 周期序列的频谱结构也可以用其主值序列的离散傅里叶变换X(k)来表示(分析)x)kN2w()k(XN2)n(xFT)e(X1N0njw(k)R(k)XDFTx(n)X(k) (n),R(n)xx(n)(-k NN),e)n(x)n(xDFS)k(X1N0nknN2j若且为整数(k)R(k)XDFTx(n) X(k)(n),R(n)xx(n) , (-k ,) ()( ) (

9、NN若且为整数102NnknNje n xn xDFSk X(k)R(k)XDFTx(n)X(k) (n),R(n)xx(n)(-k NN),e )n(x)n( xDFS)k(X1N0nknN2j若且为整数(k)R(k)XDFTx(n)X(k) (n),R(n)xx(n)(-k NN),e)n(x)n(xDFS)k(X1N0nknN2j若且为整数x (n) 第9页/共20页令：n=n+rN，r=0,1,m-1，n=0,1N-1,则 整数整数所以整数整数m, 0m),mk(mX,m, 0m, me1m0rm/rk2 jk k (k)X k k M整数整数整数整数由于m, 0m),mk(mX,m,

10、 0m, me1m0rm/rk2 jk k (k)X k k Mx xM(n)= (n)RM(n) 即：M=mN，m为整数截取序列的长度M为 (n)的整数个周期x1mN0nknmN2j1M0nknM2jMe )n(xe )n(x)k(Xrkm2j1m0r1N0nkmNn2j1m0r1N0nkmN)rNn(2jee )n( xe )rNn(x 1m0rrkm2jrkm2j1m0re)mk(Xe )mk(X设：n=n+rN第10页/共20页3.4 DFT3.4 DFT的应用举例的应用举例周期序列的频谱结构也可以用xM(k)表示 分析: (1)只有在k=rm时，XM(rm)=m ，表示 (n)的r次

11、谐波谱线，幅度扩大了m倍，在其它k值， XM(k)0。 (2)X(r)与XM(rm)对应点的频率相等。 (3)只要截取 (n)整数个周期进行DFT，就可得到它的频谱结构，达到谱分析的目的。( ),( )0,Mkm XX kmk/m=整数k/m整数 (),( )0,MkmXXkm( ),( )0,MkmXXkm2102(1 )0()()()()() ()()0 , 1,1MMMk nMMMnmNk nm NnxnxnRnXkD F Txnxnexnekm N X(r)xx第11页/共20页3.4 DFT3.4 DFT的应用举例的应用举例若事先不知道x (n)的周期，怎样进行频谱分析： 先截取x

12、(n) M点，则求xM (n)的DFT： xM(n) = x (n)RM(n)， XM(k) =DFTxM(n)，0k M-1; 再截取x (n) 2M点，则求x2M(n)的DFT： x2M(n) = x (n)R2M(n)， X2M(k)= DFTx2M(n)，0k 2M-1; 将2次截取序列的频谱进行分析，是否满足误差要求，若不满足，应加大截取窗长度（增加M值），再将结果进行分析。第12页/共20页3.4 DFT3.4 DFT的应用举例的应用举例)()(4nRnx02)(jeX16点DFT相当于在序列后补零第13页/共20页3.4 DFT3.4 DFT的应用举例的应用举例x(n)=cos

13、n/416点相当于取周期序列的两个周期进行DFT第14页/共20页3.4 DFT3.4 DFT的应用举例的应用举例3用DFT进行谱分析的误差问题 DFT(实际中用FFT计算)可用来对连续信号和数字信号进行谱分析。在实际分析过程中，要对连续信号采样和截断，由此可能产生误差分析。 (1)频谱混迭现象： 原因: 不满足时域采样定理 避免措施：采样频率fs2fc，以避免信号在w=处附近的混迭。 具体方法是：采样时满足采样定理，采样前对信号进行预滤波，滤去信号中频率高于fs/2的频率分量。第15页/共20页3.4 DFT3.4 DFT的应用举例的应用举例(2)栅栏效应： 现象：N点DFT是在区间0, 2

14、上的N点等间隔采样，采样点之间的频谱函数值是不知道的，就好像从N+1个栅栏缝隙中观看信号的频谱特性，得到的是N个缝隙中看到的频谱函数值，这种现象称为栅栏效应。 原因：对信号的频谱进行有限点采样。 后果：栅栏效应可能漏掉(挡住)大的频谱分量 减少栅栏效应的措施：对原序列补0，增大N，以增加采样点；第16页/共20页3.4 DFT3.4 DFT的应用举例的应用举例(3)截断效应：原因: 对序列x(n)截断所引起的。无限长序列x(n)截短成有限长序列y(n)，即 y(n)=x(n)RN(n)，则 Y(ejw)=FTy(n)=1/(2)X(ejw)*RN(ejw) =1/(2) X(ej)*RN(ej

15、(w-)d，其中X(ejw)=FTx(n) RN(ejw)=FTRN(n)=e-jw (N-1)/2sin(wN/2) sin(w/2)=RN(w)ej(w)RN(w)w02NN2N矩形窗函数幅度谱主瓣旁瓣第17页/共20页3.4 DFT3.4 DFT的应用举例的应用举例例：x(n)=cos(w0n)，w0=/4，用DFT分析其频谱特性。解：序列的幅度谱X(ejw)= (w-/4-2l)+ (w+/4-2l) 加矩形窗截断后,Y(ejw)=1/2X(ejw)*RN(ejw)，定性图如下可见，截断后的频谱Y(ejw)与原序列频谱X(ejw)存在差别表现为 频谱泄漏：在上图中，原谱线是离散谱线，而截短后，原来的离散谱线向附近展宽，常称这种展宽为泄漏。使谱分辨率F降低。泄漏原因是截取的窗函数有限长。l=-w0-44Y(ejw)N/2加矩形窗后幅度谱 w0-44X(ejw) x(n)=cos(w0n)的频谱RN(w)w02NN2N矩形窗函数幅度频第18页/共20页3.4 DFT3.4 DFT的应用举例的应用举例 谱间干扰：在主谱线两边形成很多旁瓣，引起不同频率分量间的干扰（简称谱间干扰），影响频谱分辨率F，旁瓣的信号很强