六边形与八边形翻板的探讨

1、上左上 右上右下下圖二：水平翻轉後，翻板的箭頭指向右方圖三：將圖一的翻板依順時針方向旋轉 45°後，箭頭指向右上方向翻轉後，請問箭頭會指向哪個方向？研究目的：六邊形與八邊形翻板的探討、研究動機：上課的時候，老師拿出一個八邊形的翻板，讓我們預測八邊形翻板經過翻轉後， 箭頭會指向哪個方向。班上的同學經過思考後，推測箭頭所指的方向，同學之間就已 經有許多不同的看法與答案，當老師公佈答案之時，所出現的結果竟是出乎多數人預 料之外。小小的一個八邊形翻板，竟然會帶來如此的驚奇，引起我極大的興趣，於是 找了幾位同學一起來研究。 老師上課所提的問題，您也來試試看！1. 研究正六邊形翻板的兩個箭頭旋轉

2、的規則及公式推導2. 研究正八邊形翻板的兩個箭頭旋轉的規則及公式推導、研究設備器材：電腦、計算機、西卡紙、剪刀、刀片、鉛筆、彩色筆四、研究過程方法、結果與討論：（ 一 ）. 【正六邊形翻板的公式推導】 ：研究過程】：1. 利用電腦繪製正六邊形（邊長約 2.5 公分）一個，並以所繪製的圖形為模子，分別 裁切出六個正六邊形翻板。> 以兩箭頭的夾角為 120°的翻板推導為例：翻轉前翻板背面的箭頭所指的方向：翻轉前翻板正面的箭頭所指的方向：翻轉後翻板正面的箭頭所指的方向：翻轉後翻板背面的箭頭所指的方向2. 製作兩箭頭透視夾角分為 0°、60°、120°、1

3、80°、240°、300°的正六邊形翻板各一個1：翻板正面的箭頭與水平的夾角2：箭頭背面的箭頭與水平的夾角 （未翻轉 ）3：箭頭背面的箭頭與水平的夾角 （翻轉後 ）4. 整理以上數據，可得右方所列的表格5. 重複步驟 3，依據實際翻轉的觀察結果，分別記錄當兩箭頭的夾角 為 0°、60°、120°、180°、240°、300°時，1、2 及3 的數值為何，並整理出以下的表格。研究結果】：實際翻轉的觀察結果： （當 2>360°時22360°）1230°120°2

4、40°60°180° 180°120°240°120°180°300°60°240°360°0°300°60° 300°(1)當 2 1 60° (2)當21120°(3)當21180° (4)當21240° (5)當 2 1300° (6)當211231231230°60°300°0°120°240°0°180

5、76;180°60°120°240°60°180°180°60°240°120°120°180°180°120°240°120°120°300°60°180°240°120°180°300°60°180°360°0°240°300°60°240°360°0°2

6、40°60°300°300°360°0°300°60°300°300°120°240°1231231230°240°1200°300° 600°360°0°60°300°6060°360°060°60° 300°120°360°0120°60° 300120°120° 240&#

7、176;180°60°300180°120° 240180°180° 180°240°120°240240°180° 180240°240° 120°300°180°180300°240° 120300°300° 60°公式推導及討論】： 正六邊形翻板的公式推導： 1：翻板正面的箭頭與水平的夾角 2：箭頭背面的箭頭與水平的夾角 （ 未翻轉） 3：箭頭背面的箭頭與水平的夾角 （ 翻轉後）由

8、以上的結果發現六邊形翻板(1)觀察上列表格發現， 2 與3 之和皆為 360 公式推導如下：（如右圖） 旋轉 旋轉 因為 2 且 3 360°所以 2 3360°旋轉 180°（2） 若1及1與2 的夾角為已知，套入以下公式即可求出 2及32 1（ 1 與 2的夾角） 3360°2123 2- 1 3- 11232-13-11232-1 3- 10°60°300°60°300°0°120°240°120° 2400° 180° 180°

9、 180° 18060°120°240°60°180°60°180°180°120° 12060° 240° 120° 180° 60120°180°180°60°60°120°240°120°120°0120° 300° 60° 180°60 °or 300180°240°120°60&

10、#176;60°or 300°180°300°60°120° 120°or 240180° 360°0° 180° 180240°300°60°60°180°or 180°240°360°0°120° 240°or 120240° 60° 300° 180° 60300°360°0°60°300&#

11、176;or 60°300°60°300°120°0300° 120° 240° 180°60 °or 300(4)當21240°(5)當21300°(6)當 2 11232-13-11232-13-11232-13-10°240°120°240°120°0°300°60°300° 600°0°0°0°060°300°60

12、76;240°0°60°360°0°300°60°or 30060° 60° 300°0° 240120°360°0°240°120°or 240°120°60°300°300° 180120° 120° 240°0° 120180°60°300°240°120°180°120°

13、240°300° 60180° 180° 180°0°0240°120°240°240°0°240°180°180°300°60°or 300240° 240° 120°0° 120°or 240300°180°180°240°120°or 240°300°240°120°300° 180

14、300° 300° 60°0° 240°or 120分析綜合以上六個表格發現：(1) 當2與 1之角度相差 0°、120°、240°時，旋轉後的夾角有0°or 120 °or 240°三種。(2) 當2與1之角度相差 60°、180°、300°時，旋轉後的夾角有 60°or 180 °or 300°三種2- 1(旋轉前之夾角)3- 1(旋轉後之夾角)旋轉後之夾角可能性0°、120°、240°0&#

15、176;or 120 °or 240 °三種60°、180°、300°60°or 180 °or 300 °三種( 二 ). 【正八邊形翻板的公式推導】 ：【研究過程】：1. 利用電腦繪製正八邊形(邊長約 2.5 公分)一個，並以所繪製的圖形為模子，分別裁切出八 個正八邊形翻板。2. 製作兩箭頭透視夾角分為 0°、45°、90°、135°、180°、225°、270°、315°的正八邊形翻板各 一個。3. 依據實際翻轉的觀察結果，分別記

16、錄當兩箭頭的夾角為 0°、45°、90°、135°、180°、225°、 270°、315°時，1、 2 及3 的數值為何，並整理出以下的表格。【研究結果】：實際翻轉的觀察結果： (當 2>360°時22360°)(1)當 2 1(2)當 2 145° (3)當 2 190° (4)當21135° (5)當21180°(6)當21225°1230°0°360°45°45°315°9

17、0°90°270°135°135°225°180°180°180°225°225°135°270°270°90°315°315°45°1230°45°315°45°90°270°90°135°225°135°180°180°180°225°135°225°27

18、0°90°270°315°45°315°360°0°1230°90°270°45°135°225°90°180°180°135°225°135°180°270°90°225°315°45°270°360°0°315°45°315°1230°135°225

19、76;45°180°180°90°225°135°135°270°90°180°315°45°225°0°360°270°45°315°315°90°270°1230° 180° 180°45° 225° 135°90° 270° 90 °135° 315° 45 °1

20、80°0° 360°225° 45° 315°270° 90° 270°315° 135° 225°(7) 當 21270°1230°225° 135 °45°270° 90 °90°315° 45 °135°0° 360 °180°45° 315 °225°90° 270 °270

21、76;135° 225 °315°180° 180 °(8) 當2 1315翻轉前反面透視圖反面翻轉後正面1：2：3：翻板正面的箭頭與水平的夾角 箭頭背面的箭頭與水平的夾角 箭頭背面的箭頭與水平的夾角( 未翻轉 ) ( 翻轉後 )1230° 270° 90 °45° 315° 45 °90°0° 360°135° 45° 315°180° 90° 270°225° 135° 2

22、25°270° 180° 180°315° 225° 135°1230°315° 45 °45°0° 360 °90°45° 315 °135°90° 270 °180°135° 225 °225°180° 180 °270°225° 135 °315°270° 90 °公式推導及討論】：

23、正八邊形翻板的公式推導：(1).(2). 兩點相同的結果由以上的結果發現正八邊形翻板與正六邊形翻板皆有以下(1)(2)觀察上列表格發現， 2 與3 之和皆為 360 公式推導如下：(如右圖) 旋 旋 因為 2 且 3 360° 所以 2 3360°若1 及1 與2 的夾角為已知，套入以下 公式即可求出 2 及32 1( 1 與2 的夾角) 3360°2(1) 當 2145°(2) 當2 190°(3)當21135°(4)當 2 1180°123 2- 1 3- 11232-1 3- 1 123 2- 1 3- 1123 2-

24、 1 3- 10°45°315°45°315°0°90°270°90°270°0°135°225°135° 225 °0°180°180°180°180°45°90°270°45°225°45°135°225°90°180°45°180°180°135° 13

25、5 °45°225°135°180°90°90°135°225°45°135°90°180°180°90°90°90°225°135°135° 45 °90°270°90°180°0°135°180°180°45°45°135°225°135°90°

26、0°135°270°90°135° 45 °135°315°45°180°90°180°225°135°45°45°180°270°90°90°90°180°315°45°135° 135 °180°360°0°180°180°225°270°90°45

27、76;135°225°315°45°90°180°225°360°0°135° 225 °225°45°315°180°90°270°315°45°45°225°270°360°0°90°270°270°45°315°135° 45 °270°90°270°1

28、80°0°315°360°0°45°315°315°45°315°90°0°315°90°270°135° 45 °315°135°225°180°90°(5) 當 21225°(6) 當2 1270°(7)當21315°(8)當21123 2- 1 3- 11232-1 3- 1 123 2- 1 3- 1123 2- 1 3- 10°

29、225°135°225°135°0°270°90°270°90°0°315°45°315°45°0°360°0°0°0°45°270°90°225°45°45°315°45°270°0°45°360°0°315°45°45°45°315&#

30、176;0°270°90°315°45°225°45°90°360°0°270°90°90°45°315°315°225°90°90°270°0°180°135°360°0°225°135°135°45°315°270°180°135°90°270°

31、315°135°135°135°225°0°90°180°45°315°225°225°180°90°270°270°90°180°135°225°315°45°180°180°180°0°0°225°90°270°225°45°225°135°225°270°0°