几何概型的常见题型及典例分析

1、几何概型的常见题型及典例分析一几何概型的定义 1定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 （面积或 体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型 . 2特点：（1）无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限 多个；（ 2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等 .3计算公式：P（A）构成事件 A的区域长度（面积或体 积）试验的全部结果所构成 的区域长度（面积或体 积）说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应 的几何图形，并对几何图形进行度量 . 4古典概型和几何概型的区别和联系：（ 1）联系：每个基本事件发生的都是等可能的 .（

2、 2）区别：古典概型的基本事件是有限的， 几何概型的基本事件是无 限的；两种概型的概率计算公式的含义不同 .常见题型一）、与长度有关的几何概型例 1、在区间 1,1 上随机取一个数x1x ， cos 2x的值介于 0到12之间的概率为（).A. 13B.C.D.分析：在区间 1,1上随机取任何一个数都是一个基本事件 . 所取的数是 区间 1,1的任意一个数， 基本事件是无限多个， 而且每一个基本事件的 发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量 x 的取值范围的区间长度有关，符合几何概型的条件1,1时,要使cos2x的值介于解：在区间 1,1上随机取一个数 x, 即 x 0到 1之间,需

3、使x 或 x2 2 2 3 3 222 1 x2或2 x 1，区间长度为33由几何概型知使 cos x 的值介于 0 到 1 之间的概率为222故选 A.符合条件的区间长度 3 1所有结果构成的区间长 度 2 3例 2、 如图,A,B 两盏路灯之间长度是 30 米，由于光线较暗，想在其间 再随意安装两盏路灯 C,D,问 A与 C,B与 D之间的距离都不小于 10米的 概率是多少？思路点拨 从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限 多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型解 记 E：“A与 C,B与 D之间的距离都不小于 10 米”，把 AB1等分，由于中间长度为 30×

4、 31=10米，P(E)1030题中的等可能参数是平行弦的中点， 它等可能MKON 图1-1图1-2方法技巧 我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生 则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型 就可以用几何概型来求解例 3 、在半径为 R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交 点在该直径上的位置是等可能的， 求任意画的弦的长度不小于 R 的概率 思考方法：由平面几何知识可知，垂直于弦的直径平分这条弦，所以， 地分布在于平行弦垂直的直径上 （如图 1-1 ）。 也就是说，样本空间所对应的区域 G

5、是一维空 间（即直线）上的线段 MN，而有利场合所对 应的区域 GA 是长度不小于 R的平行弦的中点 K所在的区间。 解法 1. 设 EF与 E1F1 是长度等于 R的两条弦，直径 MN垂直于 EF和 E1F1，与他们分别相交于 K和 K1( 图 1-2) 。依题设条 件，样本空间所对应的区域是直径 MN，有 L(G)=MN=2R，注意到弦的长度 与弦心距之间的关系比，则有利场合所对对应的区域是KK1，有L(GK ) KK 1 2OK 2 R22R23R以几何概率公式得 P L(GA)3R3。 。L(G)2R2 解法 2. 如图 1-1 所示，设园O的半径为 R, EF 为诸平行弦中的任意一条

6、，直径 MN 弦 EF，它们的交点为 K，则点 K 就是弦 EF的中点。设 OK=x， 则 x -R,R, 所以 L(G)=2R设事件 A 为“任意画的弦的长度不小于R”，则 A 的有利场合是2 R2 X 2 R,解不等式，得 x3R2所以 L(GA) 2 3 R 3R2于是P(A) 23RR2R 评注 本题结构比较简单， 题中直接给出了等可能值参数； 样本空间和 有利场合所对应的区域，从图上都可以直接看出。两种解法各有特色， 解法 1 充分利用平面几何知识，在本题似较简便，解法 2 引进变量 x 把 代数知识和几何知识有机的结合起来，从表面上看解题过程不甚简便， 但确具有推广价值，这种方法可

7、以求解复杂的几何概率问题。例 4、 在长为 12cm的线段 AB上任取一点 M，并以线段 AM为边作正方形， 求这个正方形的面积介于 36cm 与 81cm 之间的概率分析： 正方形的面积只与边长有关， 因此， 此题可以转化为在 12cm长的 线段 AB上任取一点 M，求使得 AM的长度介于 6cm与 9cm之间的概率 解：记“面积介于 36cm2 与 81cm2之间”为事件 A，事件 A 的概率等价于 小结：解答本例的关键是， 将正方形的面积问题先转化为与边长的关系 练习：长度介于 6cm与 9cm之间”的概率，所以，P(A)=96112 42、已知地铁列车每 10 min 一班，在车站停

8、1 min ，则乘客到达站台立 即乘上车的概率是 ( )A.110B.1910 9C.111D.解析：设乘客到达站台立即乘上车为事件 A，试验的所有结果构成的区1域长度为 10 min ，而构成事件 A的区域长度为 1 min ，故 P( A) 10. 答 案：Ax23、已知集合 Ax| 1<x<5，Bx|>0 ，在集合 A中任取一个元素3xx ，则事件“ x A B”的概率是 解析：由题意得 Ax| 1<x<5，Bx|2<x<3，由几何概型知： 11 在集合 A中任取一个元素 x，则 x A B的概率为 P . 答案： 6650,60 这一时间段内

9、, 而事件的总体是整个一小时， 由几何概型的概率公式 ,得 P(A)= 606050=61，即此即 60 分钟，因此，4、 小赵欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出 考察， 已知该站发往各站的客车均每小时一班， 求 小赵等车时间不多于 10 分钟的概率 分析：因为客车每小时一班 ,而小赵在 060 分钟 之间任何一个时刻到车站等车是等可能的 , 所以 他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的 长度有关 ,而与该时间段的位置无关 , 这符合几何 概型的条件，且属于几何概型中的长度类型 . 解析:设A=等待的时间不多于 10分钟, 我们所关心的事件 A恰好是到 站等车的时刻位于10 分钟的概率为

10、二)、与面积有关的几何概型例 1、ABCD为长方形， AB 2,BC1，O为 AB的中点，在长方形 ABCD内随机取一点，取到的点到 O的距离大于 1 的概率为(AB.1C.D.14 4 8 8 分析：由于是随机的取点， 点落在长方形内每一个点的机会是等可能的， 基本事件是无限多个，所以符合几何概型 .CB解：长方形面积为 2,以O为圆心,1 为半径作圆 ,在矩形内部的部分 (半圆）面积为 ，因此取到的点到 O的距离大于 1 的面积为 2 ，则取到 2222 1 .24的点到 O的距离大于 1 的概率为取到的点到 O的距离大于 1的面积长方形 ABCD的面积故选 B.例 2 、 如图，射箭比赛

11、的箭靶涂有五个彩色的 分环从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红 色，靶心为金色金色靶心叫“黄心”奥运 会的比赛靶面直径为 122 cm, 靶心直径为 12.2 cm.运动员在 70 m 外射箭假设运动员射的箭 都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的， 那么射中黄心的概率为多少？思路点拨 此为几何概型，只与面积有关解 记“射中黄心”为事件 B, 由于中靶点随机地落在面积为1222cm2 的大圆内，而当中靶点落在面积为 4112.22cm2的黄心 时 ， 事 件 B 发 生 ， 于 是 事 件 B 发 生 的 概 率 为1 2 2 12.22cm2P(B)0.01.41 2 2 1222cm24即

12、：“射中黄心”的概率是 0.01.方法技巧 事件的发生是“击中靶心”即“黄心”的面积；总面积 为最大环的圆面积例 3、在平面直角坐标系 xoy中，设 D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2的点构成的区域， E是到原点的距离不大于 1的点构成的区域， 向 D中随意投一点，则落入 E 中的概率为解析：如图：区域 D表示边长为 4 的正方形 ABCD的内部（含边界），而区域 E 表示单位圆及其内部，因此 P12。4 4 16答案 16点评：本小题中的试验结果是区域中的部分点集，其结果是不可数的， 属于几何概型中典型的面积之比。例 4 、在三角形 ABC 中任取一点 P，证明： ABP 与 ABC的面

13、积之比大于 n 1 的概率为 12 。nn2思考方法 本题的随机点是 ABP 的顶点 P，它等可 能的分布在 ABC 中，因此，与样本空间对应的平 面区域是 ABC，注意到 ABP于 ABC 有公共边 AB，所以的面积决定于顶点 P 离底边 AB的距离。 这样不难确定与有利场合相对应的平面区域。解 设 ABP与 ABC的面积之比为 n 1， ABC的高 CD为h， ABP的 n1h1n1n高 PG为 h1，公共底边 AB的长为 c，（图 2）则 SABP 2ch1 h1 n 1 S ABC 1ch h n 2过点 P作EF/AB,交CD于 H,则有立场合所对应的平面区域为 CEF.于是所求概率

14、为 PS EFCS ABCn 1 1注 意 到 EF/AB ， EFC ABC , 且 CH=h -h 1 = h- h= h ， nns EFCS ABCnh2由此，原题得证。评注 本题的样本空间虽然与平面区域相对应，但因三角形 ABC于三角 形 ABP有公共底边 AB，所以，实际变化着的量只有一个 （即点 P于 AB的 距离） ，问题还比较简单， 对于较复杂的平面区域， 常常要根据题设选定 两个变量，由各自的约束条件确定样本空间于有立场合的相应区域。例 5 、将长为 L 的木棒随机的折成 3 段，求 3 段构成三角形的概率解：设 M “3 段构成三角形” x， y 分别 表示其中两段的长度

15、，则第三段的长度为 L xy （x，y）| 0 x L，0 y L，0 x y L 由题意， x，y，L x y 要构成三角形，须有 x y L x y ，即xy1；2；即x故M(x，y)|x yLL2，yL，x2L2如图1 所 示 ，可知所求概率为1·2LM 的面积 2·21P(M)的面积L242例 6 、已知函数 f (x) 2xaxb.若 a 、b 都是从区间 0,4 任取的一个数，则 f(1) >0 成立的概率是_解析：f (1) 1ab>0，即 ab>1，如图：x (L(Lyyx y) x ，x y) y ，即A(1,0)9S ABC，B(4,0

16、) ，C(4,3) ， SABC2，P92 9. S矩4×4 32.答案：932练习1、ABCD为长方形， AB2，BC 1，O为 AB的中点在长方形 ABCD内随机 取 一 点 ， 取 到 的 点 到 O 的 距 离 大 于 1 的 概 率 为A.411 4C.D 18解析：对应长方形的面积为 2×1 2，而取到的点到 O的距离小于等于 112 时，其是以 O 为圆心，半径为 1 所作的半圆，对应的面积为 2××12112，那么满足条件的概率为： 122 14. 答案： B2、设 1 a1， 1 b1，则关于 x 的方程 x2axb20有实根的概率是

17、（)11A.B.C.24解析：由题知该方程有实1 a1，1 b1，作平面区域如右图：a2 4b20，积为 1，总的事件对应面积为正方形的面积，故概率为 41. 答案：B3、已知 （ x，y）| xy6，x0，y0 ，A（ x，y）| x4，y0， x2y0，若向区域 上随机投一点 P，则点P落入区域 A的概率1B.C.D.解析：作出两集合表示的平面区域如图所示容易得出 所表示的平面区域为三角形 AOB及其边界， A 表示的区域为三角形 OCD及其边界容易求得 D（4,2） 恰为直线 x4，x2y0，xy6 三线的交点11则可得 SAOB2×6×618，SOCD2×

18、4×24. 所以点 P落在区域 A 的 概率为14892. 答案：Dx y 2 04、在区域 x y 2 0 内任取一点 P，则点 P落在单位圆 x2y21内的概率为 （ ）A. 2B.C.D.解析：区域为 ABC内部（ 含边界 ） ，则概率为PS半圆SABC212×2 2× 2 4. 答案： DP3×( 12×3 ×12) 36. 答案：65、在边长为 2的正三角形 ABC内任取一点 P，则使点 P到三个顶点的距离至少有一个小于 1的概率是 解析：以 A、B、C为圆心，以 1 为半径作圆，与 ABC相交出三个扇形 （如图所示） ，当

19、 P落在阴影部分时符合要求×2136、在区间0,1 上任意取两个实数 a，b，则函数 f （x）2x3axb 在区 间 1,1 上有且仅有一个零点的概率为 32解析： f （x） 2x2a，故f （ x）在 x 1,1 上单调递增，又因为函数 13f（x）2x3axb在1,1 上有且仅有一个零点，即有 f （ 1） ·f （1）01 1 1 1成立，即 （ 2 ab）（ 2ab）0，则 （2ab）（ 2ab）0 ，可化为0a10b112ab>00a1由线性规划知识在平0b1 或 22ab>0 a b<0，12ab<0面直角坐标系 aOb中画出这两个不

20、等式组所表示的可行域，再由几何概13型可以知道，函数 f (x)2x3axb 在 1,1 上有且仅有一个零点的 概率为可行域的面积除以直线 a0，a1，b0，b1 围成的正方形的 面积，计算可得面积之比为 。答案：887、已知函数 f(x) x22axb2，a，bR.(1) 若a从集合0,1,2,3 中任取一个元素， b从集合0,1,2 中任取一个 元素，求方程 f ( x) 0有两个不相等实根的概率；(2) 若 a从区间 0,2 中任取一个数， b 从区间0,3 中任取一个数，求方 程 f (x) 0 没有实根的概率解：(1) a取集合0,1,2,3 中任一个元素， b取集合0,1,2 中任

21、一个 a，b 的取值的情况有 (0,0) ，(0,1) ，(0,2) ，(1,0) ，(1,1) ，(1,2) ， (2,0) ，(2,1) ，(2,2) ，(3,0) ， (3,1) ，(3,2) 其中第一个数表示 a 的取值，第二个数表示 b 的取值，即基本事件总数 为 12.设“方程 f(x)0 有两个不相等的实根”为事件 A，当 a0，b0时，方程 f (x) 0 有两个不相等实根的充要条件为 a>b. 当a>b时，a，b取值的情况有(1,0) ，(2,0) ，(2,1) ，(3,0) ，(3,1) ， (3,2) ，即 A包含的基本事件数为 6，61方程 f ( x) 0

22、有两个不相等实根的概率 P(A) 122.(2) a从区间0,2 中任取一个数， b从区间0,3 中任取一个数，则试 验的全部结果构成区域 ( a，b)|0 a2,0 b3 ，这是一个矩形 区域，其面积 S2×3 6.设“方程 f ( x) 0没有实根”为事件 B，则事件 B所构成的区域为 M( a，b)|0 a2,0 b3，a<b ，1即图中阴影部分的梯形，其面积 SM 6 12× 2× 2 4.由几何概型的概率计算公式可得方程f (x) 0 没有实根的概率P(B)SMS2.3.(三) 、与角度有关的几何概型例 1 、在圆心角为 90 °的扇形中

23、，以圆心为起点做射线 OC ， 求使得 AOC和 BOC 都不小于 30°的概率？ 分析：此题关键是搞清过 O作射线 OC可以在扇形的任意位置，而且是等可能的，因此基本事件的发生是等可能的解：记事件 A是“做射线 OC ，使得 AOC和 BOC都不小于 30AON BOM MON 300，则符合条件的射线 OC 应落在扇形MON 中，所以 P(A)MON 的度数 300 1AOB的度数 900 3例 2 、如图所示，在等腰直角 VABC 中，过直角顶点 C 在 ACB 内部做 一条射线 CM ，与线段 AB交于点 M ，求AM AC 的概率。分 析 ： 当 AM AC 时 ， 有AC

24、M AMC ，故欲使 AM AC ，应 有 ACM AMC ，即所作的射线应落在ACM AMC 时 ACM 的内部。 解析：在 AB上取 AD AC,连接CD，则ACD1800 450180 2 4567.50，记“在内部作一条射线CM ，与线段 AB 交于点 M ， AMAC ”为事件 A，则 P(A)67.50900343 ，所以，所求概率3 为。4点评：本题所求事件的本质是在 ACB内部做一条射线 CM ，所构成的 区域是一个“角”域，故应属于几何概型中的角度之比类型；本题极易 易犯的错误是，用长度的比得出 2 1 1 2 这一错误结果。22例 3、在等腰 Rt ABC中， C=900，

25、在直角边 BC 上任取一点 M，求 CAM 300 的概率（答案： 3 ）3（四）、与体积有关的几何概型例 1 、在 5 升水中有一个病毒，现从中随机地取出 1 升水，含有病毒的 概率是多大？分析：病毒在这 5 升水中的分布可以看作是随机的，取得的 1 升水可以 看作构成事件的区域， 5 升水可以看作是试验的所有结果构成的区 域，因此可以用体积比公式计算其概率 .解：“取出 1 升水，其中含有病毒”这一事件记作事件 A，则 P(A)取出的水的体积所有水的体积0.2.从而所求的概率为 0.2.例 2 、任取三条不大于 a 的线段，求这三条线段能够成一个三角形的概 率。思考方法 题设的三条线段互不

26、相干，所以可设置三个独立变量。注意 到三条线段构成三角形的充要条件，可推得有立场合的约束条件。由此 原题可以解出。解 设三条线段的长分别为 x 、 y 、 z ，则样本空间是0xa0 y a（1）0za有三条线段构成三角形的条件可知，其中的任意两条之和比大于第三条xyz 线段，于是，有利场合的可能情形是 y z x （2）z x y 把条件（ 1）、（2）所限制的区域，在空间直角坐标 系中表示出来，有如图 2-3 所示。y图2-3其中（ 1）所对应的区域 G是正方体 OA4，（2） 所对应 的区域 GA 是六面体 OA1A2A3A4，且有L G a313L GAa3-3?1?a ?a= 1 a

27、3A 3 2 2a121 p= 2 3 =a32例 3、在区间 0,l 上任取三个实数 x.y.z, 事件 A=(x,y,z)| x 2+y2+z2 <1, x0,y 0,z 0(1) 构造出随机事件 A 对应的几何图形；(2) 利用该图形求事件 A的概率 .思路点拨: 在空间直角坐标系下， 要明确 x2+y2+z2<1 表示的几何图形是以原点为球心， 半径 r=1 的球的内部事 件 A对应的几何图形所在位置是随机的， 所以事件 A 的概 率只与事件 A 对应的几何图形的体积有关， 这符合几何概 型的条件 解：( 1)A=(x,y,z)| x2+y2+z2<1, x0,y 0

28、,z 0 表示空间直角坐标 系中以原点为球心，半径 r=1 的球的内部部分中 x0,y 0,z 0 的部分， 如图所示(2) 由于 x,y,z 属于区间 0,1 ，当 x=y=z=1 时，为正方体的一个顶 点，事件 A 为球在正方体内的部分1 4 13 P(A) 8 3 3 .136方法技巧：本例是利用几何图形的体积比来求解的几何概型，关键 要明白点 P(x,y,z) 的集合所表示的图形 从本例可以看出求试验为几何 概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域 的几何度量，然后 代入公式即可解，另外要适当选择观察角度 .(五) 、会面问题中的概率例 1 、 某码头接到通知，甲、乙两艘外轮都会在

29、某天 9 点到 10 点之间 的某一时刻到达该码头的同一个泊位，早到的外轮要在该泊位停靠 20 分钟办理完手续后才离开，求两艘外轮至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率。解析：设事件 A 表示两艘外轮至少有一艘在停 靠泊位时必须等待，两艘外轮到的时间分别为 9 点到 10 点之间的 x 分、y 分，则 |x-y| 20,020 x y 20 x,y 60，即 A （x，y）| 0 x 60 ，以 9 点为原点，建立平 0 y 60 面直角坐标系如图所示，事件 A 所对应的区域如图中阴影区域所示： 所以，其概率 P（A）=阴影面积 /ABCD面积=5/9 。小结：“会面”类型常见的载体是两人相约见

30、面、轮船停靠泊位等，其 关键是构建相遇的不等式（组），借助于线性规划知识，将其面积之比 求出，使得问题得以解决。例 2、两人约定在 20：00 到 21：00 之间相见，并且先到者必须等迟到 者 40 分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在 20：00 到 21：00 各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率思路点拨 两人不论谁先到都要等迟到者 40分钟，即 2小时设两3 人分别于 x 时和 y 时到达约见地点， 要使两人在约定的时间范围内相见， 当且仅当- 2x-y 2 ，因此转化成面积问题，利用几何概型求解33解 设两人分别于 x 时和 y 时到达约见地点，要使两人能在

31、约定时 间范围内相见，22当且仅当 - 2 x-y 2 .33 两人到达约见地点所有时刻 （x,y） 的各种可能结果 可用图中的单位正方形内（包括边界）的点来表示，两人 能在约定的时间范围内相见的所有时刻（ x,y ）的各种可 能结果可用图中的阴影部分（包括边界）来表示因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范 围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为S阴影S单位正方形12方法技巧 会面的问题利用数形结合转化成面积问题的几何概 型难点是把两个时间分别用 x,y 两个坐标表示，构成平面内的点 （x,y）, 从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面 积型几何概

32、型问题（六）、与线性规划有关的几何概型 例 1、小明家的晚报在下午 5：30 6：30 之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家在下午 6：007：00 之间的任何一个时间随机地开始晚 餐. 那么晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？ 分析：该题题意明确，但如何转化为数学模型需要从实际问题中分析出 存在的两个变量 . 由于晚报送到和晚饭 开始都是随机的，设晚报送到和晚饭开 始的时间分别为 x、y ，然后把这两个变 量所满足的条件写成集合的形式，把问 题转化为线性规划问题进行求解 . 解：设晚报送到和晚饭开始的时间分别 为 x、y . 用(x， y)表示每次试验的结 果，则所有可能结果为：(x,

33、y)5:30 x 6:30,6 y 7 ， 即为图 3 中正方形 ABCD的面积；记晚报在晚餐开始之前被送到为事件 A，则事件 A的结果为： A (x,y)5:30 x 6 : 30,6 y 7,x y ，即 为图 2 中阴影部分区域 . SABCD 1 1 1， S阴影 1 1 1 1 7.ABCD 2 2 2 87所以所求概率为： P S阴影 8 7.SABCD 1 8 故晚报在晚餐开始之前被送到的概率是 7.8 反思：此类问题常会涉及两个随机变量的相互关系，其求解的步骤为：(1) 找设变量 .从问题中找出两个随机变量，设为 x, y；2)集合表示.用(x, y)表示每次试验结果， 则可用

34、相应的集合分别表示 出全部结果 和事件 A所包含的试验结果 . 一般来说，两个集合都 是几个二元一次不等式的交集 .（3）作出区域 .把上面的集合所表示的平面区域作出，并求出集合,A对应的区域的面积 .（4）计算求解 . 由几何概型公式求出概率 .（七）、与定积分有关的几何概型 例 1 、在区间 1,1 上任取两数 a 、 b ，求二次方程 x2 ax b 0 的两根 都是实根的概率 .分析：可用 （a, b）表示试验结果 . 求出所有可能结果的面积和方程有实根的结果的面积，再利用几何概型来解答解 ： 用 （a,b） 表 示每 次试 验 结果 ，则所 有可 能结果 为：(a,b) 1 a 1,

35、 1 b 1 ，即为图 3 中正方 形 ABCD 的 面 积 ； 由 方 程 有 实 根 得 ：a2 4b 0 ，则方程有实根的可能结果为A (a,b)a2 4b 0, 1bD1CMAa 1, 1 b 1 ，即为图5. 所以 BaC2图 4 中阴影部分区域SABCD 2图4 . 阴影部分面积可用定积分来A 计算 1 1 21 3a2da 1 2a31412求概率为：2 4， S阴影11 2 162 163 ，S阴影SABCD136413240.5417 .（八）、与随机模拟有关的几何概型例 1、如图 5，面积为 S的正方形 ABCD 中有一个不规则的图形 M ，可 按下面方法估计 M 的面积：

36、在正方形 ABCD中随机投掷 n 个点，若 n 个点中有 m 个点落入 M 中，则 M 的面积的估计值为 mS ，假设正方 n形 ABCD的边长为 2， M 的面积为 1，并向正方形 ABCD 中随机投掷 10000个点，以 X 表示落入 M 中的点的数目（I）求 X的均值 EX ；（ II ）求用以上方法估计 M 的面积时， M 的面积的估计值与实际值 之差在区间 （ 0.03， ） 内的概率k附表： P(k)C1t0000 0.25t 0.7510000 tt0k2424242525742575P(k)0.04030.04230.95700.9590分析：本题从表面来看似乎与几何概型无关，

37、其实它是一个几何概型的 逆向问题与 n 次独立重复实验的综合题，而且本题有别于常规的面积型 概率计算，设计新颖，通过随机模拟来求不规则图形的面积。解：每个点落入M 中的概率均为 P SM的面积 1 依题意知SABCD4X B 10000，11) EX 10000 2500 4）依题意所求概率为 P0.03 4 1100000.03 ，0.0310000410.03P(2425 X 2575)2574C10000t 24260.25t0.7510000 t2574C10000t 24260.25t0.7510000 t2425C10000t00.25t0.7510000 10.9570 0.04

38、23 0.9147 例 2、利用随机模拟方法计算图中阴影部分 （ 由曲线 y= 2x 与 x 轴、 x=± 1 围成的部分）面积思路点拨 不规则图形的面积 可用随机模拟法计算解 （1） 利用计算机产生两组0,1 上的随机数 ,a 1=rand( )， b1=rand( ) (2) 进行平移和伸缩变换 ,a=(a 1-0.5)*2,b=b 1*2, 得到一组 0,2 上的均匀随机数(3) 统计试验总次数 N 和落在阴影内的点数 N1.(4) 计算频率 N1 ，则 N1 即为落在阴影部分的概率的近似值NN(5) 利用几何概型公式得出点落在阴影部分的概率 P S4(6) 因为 N1 =S

39、, 所以 S=4N1 即为阴影部分的面积 .N 4 N方法技巧 根据几何概型计算公式， 概率等于面积之比， 如果概率用 频率近似在不规则图形外套上一个规则图形，则不规则图形的面积近似 等于规则图形面积乘以频率而频率可以通过随机模拟的方法得到，从 而求得不规则图形面积的近似值(九) 、生活中的几何概型例 1 、 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一 班，求此人等车时间不多于 10 分钟的概率分析：假设他在 060 分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的 , 但在 0 到 60 分钟之间有无穷多个时刻 , 不能用古典概型公式计算随机事 件发生的概率 . 可以通过几何概型的求概

40、率公式得到事件发生的概率 . 因 为客车每小时一班 ,他在 0到 60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可 能的, 所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关 , 而 与该时间段的位置无关 , 这符合几何概型的条件 .解:设 A=等待的时间不多于 10分钟, 我们所关心的事件 A恰好是到站 等车的时刻位于 50,60 这一时间段内 , 因此由几何概型的概率公式 , 得 P(A)= 60 50=1 ，即此人等车时间不多于 10分钟的概率为 1 60 6 6 例 2 、某公共汽车站每隔 15 分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻 是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于 10 分钟的

41、概率？ 分析：把时刻抽象为点，时间抽象为线段，故可以用几何概型求解。 解：设上辆车于时刻 T1 到达，而下一辆车于时刻 T2 到达，线段 T1T2 的长度为 15，设 T是T1T2上的点，且 T1T=5，T2T=10，如图所示 :T2T1 T记候车时间大于 10 分钟为事件 A，则当乘客到达车站的时刻落在线段 T1T上时，事件发生，区域D的测度为 15，区域 d 的测度为 5所以d的测度51P(A)D 的测度153答：侯车时间大于 10分钟的概率是 1/3.例 3 、假设题设条件不变，求候车时间不超过 10 分钟的概率 . 分析：T2T1 Td的测度D的测度10 215 3例 4、某公共汽车站

42、每隔 15 分钟有一辆汽车到达，并且出发前在车站停靠 3 分钟。乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车 时间大于 10 分钟的概率？分析：设上辆车于时刻 T1到达，而下一辆车于时刻 T0到达，T2 时刻出发。 线段 T1T2的长度为 15，设 T是 T1T2上的点，且 T0T2=3，TT0=10，如图所示:T1T T0 T2记候车时间大于 10 分钟为事件 A，则当乘客到达车站的时刻落在线段 T1T上时，事件 A 发生，区域 D的测度为 所以15，区域 d 的测度为 15-3-10=2P(A) d 的测度P(A) D 的测度215例 5 、平面上画有一组平行线，其间隔交替为 1.

43、5cm 和 10cm，任意地往 平面上投一半径为 2cm的圆，求此圆不与平行线相交的概率。 思考方法 本题的难处，在于题中没有直接指明等可能值参数，为此， 需发掘“任意的往平面上投一直径为 2cm的圆”之真实含义，找出具有 某种等可能的随机点。注意到定半径的圆的位置决定于圆心，可以取圆 心作随机点，由于平行线可以向两端无限延伸，而往平面上投圆又是任 意的，所以只要取这组平行线的某一条垂线就可以了；考虑到题设平行1-3 )由此原题不难解线的间隔交替的为 1.5cm和 10cm，则研究相邻三条平行线之间情况就可 以反映问题的全貌。经上面的分析，我们可以取圆心为随机点，它等可 能地分布在相邻三条平行

44、线的某一垂线上(如图 出。图1 解 设 L1、L2、L3 是三条相邻的平行线， EPF是它 们之间的垂线(图 1-3 )，则样本空间所对的区 域是线段 EF,有L(G)=EF=1.5+10=11.5(cm) 注意到 L1与L2相邻 1.5cm，所以圆心如果落在线 段 EP 上，那么圆与平行线必定相交。设半径为 2cm的O、O1 分别切 L2、L3于 P、F，则事件的 有利场合所对应的区域应是线段 OO1 有 L(GA)=OO1=PF-OP-O1F=10-2-2=6cm。p= 6 0.512711.5 评注 从本题可以看出， 如果题中没有直接指明等可能值参数， 则解题的关键，在于斟酌题设条件，发

45、掘等可能值参数的含义，找出随机点的分 布情况。例 6 、广告法对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节 目做了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看9不到广告的概率为 10，那么该台每小时约有分钟的广告9解析： 60×(1 10) 6分钟答案： 6例 7、甲、乙两人约定在下午 4:005:00 间在某 地相见他们约好当其中一人先到后一 定要等另一人 15分钟，若另一人仍不到 则可以离去，试求这人能相见的概率。解：设 x为甲到达时间， y 为乙到达时间 .建 立 坐 标 系 ， 如 图 |x y| 15 时 可 相见 ， 即 阴 影 部 分22602 452

46、7 P2602 16例8、两对讲机持有者张三、李四，为卡尔货运公司工作， 他们对讲机的接收范围是 25km，下午 3：00张三在基地正 东30km内部处，向基地行驶，李四在基地正北 40km内部处，向基 地行驶，试问下午 3： 00，他们可以交谈的概率。解：设 x, y为张三、李四与基地的距离 x 0,30， y 0,40 ，以基地为 原点建立坐标系 .他们构成实数对 (x,y) ，表示区域总面积为 1200，可以交谈即 x2y2 25故P1 2524251200192例 9 、某勘探队勘测到，在 1 万平方千米的海域中有 40 平方千米的大陆 架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探， 钻到油层面的概率是多少？ 分析：石油在 1 万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而 40 平方千米可看作构成事件的区域面积，由几何概型公式可以求得概率。解 ： 记 “ 钻 到