几种典型带电体的场强和电势公式

1、几种电荷分布所产生的场强和电势1、均匀分布的球面电荷（球面半径为 R，带电量为 q）1 qr电场强度矢量：E(r) 4 0 rE(r ) 0, （球面外，即 r R）球面内，即 r R）Ur1q， （球外）电势分布为：1q。 （球内）2、均匀分布的球体电荷（球体的半径为 R,带电量为 q）1 qrE(r ) 4 0 R31 qr球体内，即 r R）电场强度矢量：E（r） 4 0 r3球体外，即 r R）1q， （ r R 即球外）电势分布为： 2电势分布为： U r 1 q 3R2 r80R3。 （ r R即球内）3、均匀分布的无限大平面电荷（电荷面密度为 ）电场强度矢量： E（ x）（ i

2、）（平板两侧的场强与距 离无关。）20电势分布为：U rr0 r20其中假设 r0处为零电势参考点。 若选取原点 （即带电平面）为零电势参考点。即U 0 0。那么其余处的电势表达式为：U x x x 0 20U x x x 0204、均匀分布的无限长圆柱柱面电荷（圆柱面的半径为R，单位长度的带电量为。）r电场强度矢量E（r ） 2 ，（r R,即在柱面外）2 0r 2E（r ） 0 。 （r R，即在柱面内）电势分布为：ln rar0 ln Rr R 即柱体外） r R 即柱体内）其中假设 ra处为零电势参考点。 且ra处位于圆柱柱面外部。（即 ra >R）。若选 取带电圆柱柱面处为零电

3、势参考点。 （即U R 0 ）。那么，其余各处的电势表达电场强度矢量：E r r20R2E rR2 r2 0r0 r R 圆柱体内rR圆柱体外式为：U r 0 0 r R 即在圆柱面内U r ln r r R 即在圆柱面外 20R5 、均匀分布的无限长带电圆柱体（体电荷密度为 、半径为 R。）rR圆柱体内其中假圆柱体外电势： 4 0 22R2R2 RU r ln r设圆柱体轴线处为零电势参考点。即 U r6、均匀分布的带电圆环（带电量为 q ；圆环的半径为 R 。）在其轴线上 x 处的 电场强度和电势电场强度矢量： E x 1 qx 3 x0 。其中 x0 为轴线方向的单位4 0 x2 R2

4、32 0 0矢量。讨论：a）当 x R 或 x时Ep(x)qi 2 。此时带电圆4 0x2环可视为点电荷进行处理b)当 x R 或 x 0时 Ep (0) 0 。即，带电圆环在其圆心处的电场强度为零电势：其中电势的零参考点位于无穷远处4 0 x2 R2 2带电圆环在其圆心处的电势为：U(x)x07、均匀分布的带电直线（其中，线电荷密度 ，直线长为 l ）（1）在直线的延长线上，与直线的端点距离为 d 的 P 点处：电场强度矢量：Ep d 4 0 d l d i 4 0U p d ln l d4 0 d2）在直线的中垂线上，与直线的距离为 d 的 Q点处： 电场强度矢量为：EQ d2l电势：UQ

5、 dl2 ln 40l 2 d22j。0 d l 2 4d 22l22d2ln l l 2 4d2l 2 d2l l2 4d 2（3）在直线外的空间中任意点处： 电场强度矢量： E r Exi Ey j 。其中：ExSin 2 Sin 14 0 。EyCos 1 Cos 2y 4 0 1 2 或者改写为另一种表示式 :即: Ep（r,z） Er r0 Ezk 。其中：Errr40(z2 2 2r2 (z )2 r2 (z )(z 2l) r2 (z 2l )2 r2 (z 2l )2Ez2)2224011r2 (z 2l )2zlr2(zl )2电势：Upln2240l2l 20z2r 2(z

6、2)2那么，与无限长带电直线的距离为 d 的 P点处：电场强度矢量：Ep d 2 0dd0 或 Ep r 2 0r2 r 。4）若带电直线为无限长时，电势： U p dln d0 或 U p rln r0 。其中假设 d0或（r 0）2 0 d 2 0 r为电势的零参考点。（5）半无限长带电直线在其端点处： （端点与带电直线的垂直距离为 d）电场强度矢量： E Exi Ey j 。 其中 Ex Ey。4 0d8、电偶极子 P 的电场强度和电势（1）在电偶极子的延长线上 x 处：其中（ X >>l ）电场强度矢量：1 2P 1 2P Ex 41 0 2xP3 或 E r 41 0 2

7、rP3 。电势：U x 4 1 0 xP2 或 U r 4 1 0 rP2 。2）在电偶极子的中垂线上 y 处：其中（ Y >>l ）电场强度矢量：E y 4 0 y3电势： U y 41 0 rq rq0。3）在空间中任意点 r 处：其中（ r >> l） 电场强度矢量：（采用平面极坐标系）P 2 3Cos2 1 ，Er 4 1 0 2pCr3os r0 PSri3n 0 其大小为 E方向为 arctg E tg 1ErEErtg 1。其中 为E与r0 之间的夹角。电势： U r 1 PCos4o1 P r3。0r电场强度矢量的另一种表达式为：1E 3 pe 3 r?

8、 pe r?4 0r式中：r? r 0为矢径 r 方向的单位矢量。上式电场强度矢量的表达式就是将电场强度E 矢量分解在电偶极矩 Pe 和矢径 r 的方向上。可以证明：该表达式与电场强度的平面极坐标表达式是相等的。 若采用二维笛卡尔坐标系（平面直角坐标系） ：因为各物理量之间的关系为： r 2x2 y 2 ，Cosx。rx2 y 2所以电势的表达式为：Px0 x2 y 2 2而电场强度的表达式为：E Exi Ey j其中：E U 1Ex40P 2x2 y 2x2 y 2 52，Ey3Pxy55y 4 0 x2 y 2 52EE 2E 21 P 4x2y2。EExE y 22 2。x y 4 0

9、x2 y 2 2若采用三维笛卡尔坐标系（即三维直角坐标系）则有如下关系式：其大小为：r 2 x2 y2 z2 ， Cos zrz。2 2 2 xyz那么，电势的表达式为：1 P z U r 4 0 x2 y2 z2 32 。而电场强度的表达式为：E Exi Ey j Ezk。其中：ExU Px x 4 0 x2 y2 z3xz；E5yUP3 y z ; y 4 0 x 2 y2 z2 52U P 2z2 x2 y2Ez5。z 4 0 x2 y2 z2 529、带电圆盘在其轴线上距离圆心为 x 点处：电场强度矢量：Ep(x)12 0 x2 R2对上式结果进行讨论：a)当 x R 或 x 时 Ep (x)q 2 i 或 Ep(r)q040r 2 r此时带电圆盘可视为点电荷进行处理。(b)当x R或 x 0时 ，则 Ep(x) 2 0i 。即此时带电圆盘可视为无限 大带电平板进行处理。电势：U p(x)R2 x2 x 。20带电圆盘在其圆心处