利用空间向量解立体几何

1、向量法解立体几何基本思路与方法、基本工具.a b1、数量积：a b a b cos 2、射影公式：向量 a在b上的射影为-"'|b|3、直线Ax By C 0的法向量为 A, B，方向向量为 B, A 4、平面的法向量（略）用向量法解空间位置关系1、平行关系线线平行两线的方向向量平行线面平行线的方向向量与面的法向量垂直面面平行两面的法向量平行2、垂直关系线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直线面垂直线与面的法向量平行面面垂直两面的法向量垂直uuur1、点点距离：PQ三、用向量法解空间距离,(X2 xj2 (y2 yi)2 (Z2 zj22、点线距离：求点P xo, y0至U

2、直线I ： Ax By C 0的距离:方法：在直线上取一点Q x,yuuur则向量PQ在法向量nA,B上的射影uuurPQ nAx0 By。CA2 B2即为点P到I的距离3、点面距离：求点P xo,y。到平面 的距离：uuuuur方法：在平面 上去一点Q x,y，得向量PQ 计算平面的法向量n，计算PQ在 上的射影，即为点P到面的距离四、用向量法解空间角1、 线线夹角（共面与异面）两线的方向向量的夹角或夹角的补角2、线面夹角的步骤：先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补 角；再求其余角，即是线面的夹角r设平面a的法向量为n= （X, y, 1），则直线AB和平面

3、a所成的角B的正弦值为uuu r-uuu-rAB?nABuuusin B=cos( 3 - B)=|cos< ab ,3、面面夹角(二面角)：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量 同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角五、运用法向量求空间距离1、求两条异面直线间的距离设异面直线a、b的公共法向量为n (x, y, z)，在a、b上任取一点A、B,异面直线uun r，|AB? n|a、b 的距离 d =AB cos / BAA =1|n|其中，n的坐标可利用a、b上的任r r向量a,b (或图中的uuu uuurAE,BF ),及n的定义得rrr rnan ?a 0

4、rrrr r解方程组可得n。nbn?b 02、求点到面的距离求A点到平面a的距离，设平面a的法向量法为n (X, y,1)，在a任取一点B,则A点uuu r到平面a的距离为d = | r-| , n的坐标由n与平面a的两个不共线向量的垂直关系，得到|n|方程组(类似于前面所述,若方程组无解，则法向量与XOY平面平行，此时可改设rn (1,y,0)，下同)。3、求直线到与直线平行的平面的距离r求直线a到平面a的距离，设平面a的法向量法为n (x, y,1),在直线a上任取一点A,uuu r在平面a任取一点 B,则直线a到平面a的距离d = A¥?n|n|4、求两平行平面的距离r设两个平

5、行设平面a、B的公共法向量法为 n (x,y,1)，在平面a、B各任取一点A、B,uuu r则平面a到平面B的距离d =1 AB? n 1|n|六、证明线面、面面的平行、垂直关系ur in设平面外的直线 a和平面a、B，两个面a、B的法向量为n1,n2，则:Ha/ ari|aina/n1/H Uin n2itinni应用举例:例1:如右下图，在长方体 ABCDAiBQiDi中，已知AB=4,AD=3,AA i=2.E、F分别是线段 AB、 BC上的点，且 EB= FB=i.(i)求二面角 CDE Ci的正切值；求直线ECi与FD所成的余弦值.ur uun uuu解：(I)以A为原点，AB, A

6、D,AAi分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，于是，DEr(3, 3,0), ECi(i,3,2), FDi ( 4,2,2)设法向量n(x, y,2)与平面Ci DE垂直，则有rurnn DE3x 3y 0x yiruuurn ECi rx 3y 2z 0n ( i,i,2),uuuQ向量AAi(0, 0,2)与平面CDE垂直,r uuu则。(0,3岀)、Di(0,3,2)、啓。,。)、卩(4曲。(4,3,2)n与AA所成的角为二面角C DE C的平面角r uuun? AAii 0 i 0 2 2Q cos廿 uuuu| n | | AAi |,i i 4004tan(II)设E

7、C与FDi所成角为B,则cosuur uuirEG ?FDiuuuu uuu|ECi | | FDi |i ( 4) 3 2 2 2匚厂厂22一4厂2厂22.2ii4P在棱CCi例2 :在棱长为4的正方体 ABCD-A iBiCiDi中，O是正方形 AiBiCiDi的中心，点上，且 CCi=4CP.(I )求直线AP与平面BCCiB所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)（n ）设0点在平面DiAP上的射影是H，求证：D1H丄AP; （川）求点P到平面ABDi的距离.例3:在长、宽、高分别为 2, 2, 3的长方体ABCD-A iBQiDi中，0是底面中心，求 AQ与BiC的距离。例4 :在棱

8、长为1的正方体 ABCD-A 1B1C1D1中，E、F分别是BCi、C1D1的中点，求 Ai到面BDFE的距离。解：如图，建立坐标系D-ACD 1,贝 U（1，1，0），Ai（ 1, 0，1），Euuu BD ( 1,uuu1,0) BE1严1）uuirAB(0,1,1)设面BDFE的法向量为n （x, y,1），则uuuBDuuuBE(x, y,1)?(x, y,1)?(1, 1,0)2A1)(2,2,1) A1到面BDFE的距离为uur r| AB ?n|d = J|n|0,1, 1? 2,2,1| 3|3五、课后练习:1、如图，已知正四棱柱 ABCD-AiBiGDi, AB=1,AAi=2,点E为CC中点，点F为BD中点.（1）证明EF为BDi与CCi的公垂线；（2）求点Di到面BDE的距离.ADCi2、已知正方形 ABCD,边长为1，过D作PD丄平面ABCD, 且 PD=1 , E、F分别是AB和BC的中点，（1）求D到平面PEF的距离；（2）求直线AC到平面PEF的距离p3、在长方体 ABCD-AiBiCiDi 中，AB=4, BC=3, CG=2 （如图）(1) 求证：平面 AiBCi/平面ACDi;(2) 求(1)中两个平行平面间的距离;(3) 求