简谐强迫振动理论的应用

1、2.5 简谐强迫振动理论的应用简谐强迫振动理论的应用 单自由度系统受简谐激励的强迫振动在实际中广泛存单自由度系统受简谐激励的强迫振动在实际中广泛存在，下面是几个典型例子，它们都有广泛的工程应用背景。在，下面是几个典型例子，它们都有广泛的工程应用背景。旋转失衡引起的强迫振动旋转失衡引起的强迫振动支承运动引起的强迫振动支承运动引起的强迫振动惯性式测振仪原理惯性式测振仪原理转轴的横向振动转轴的横向振动2.5.3 隔振原理隔振原理第第2章章 单自由度系统单自由度系统 旋转失衡引起的强迫振动旋转失衡引起的强迫振动在旋转机械中，旋转失衡是使系统振动的外界激励的主要在旋转机械中，旋转失衡是使系统振动的外界激

2、励的主要来源。旋转失衡的原因：来源。旋转失衡的原因：高速旋转机械中转动部分的质量高速旋转机械中转动部分的质量中心与转轴中心不重合中心与转轴中心不重合。这里只考虑竖直方向的振动，水平这里只考虑竖直方向的振动，水平方向的失衡力已被水平支承平衡。方向的失衡力已被水平支承平衡。这是一个这是一个弹簧弹簧/质量质量/阻尼器阻尼器振动系统，振动系统，系统总质量为系统总质量为M，由弹簧和阻尼器，由弹簧和阻尼器支承。失衡质量为支承。失衡质量为m(与转轴中心的与转轴中心的距离为距离为e)失衡量失衡量me。m以角速度以角速度旋旋转，非旋转部分转，非旋转部分x+esint，根据牛，根据牛顿第二定律有顿第二定律有:整理

3、得：整理得： 复数复数 的虚部表示系统受到的竖直方向的失衡力的虚部表示系统受到的竖直方向的失衡力激励，实部代表的水平方向的失衡力激励已被水平支承所激励，实部代表的水平方向的失衡力激励已被水平支承所平衡。平衡。上述方程的上述方程的稳态解稳态解形式：形式：激励的激励的幅值幅值为：为：静位移静位移为：为：因此，稳态响应为：因此，稳态响应为：其中：其中：旋转失衡时响应的旋转失衡时响应的振幅振幅激励与响应的激励与响应的相角相角类似放大因子的类似放大因子的无量纲比值无量纲比值：简谐激励下的幅简谐激励下的幅/相频特性曲线相频特性曲线旋转失衡引起的强迫振动旋转失衡引起的强迫振动粘性阻尼粘性阻尼一样的一样的峰值

4、点位置和峰值：峰值点位置和峰值：即峰值点位置位于即峰值点位置位于=n的右边，与系统受简谐激励时的的右边，与系统受简谐激励时的峰值点位置正好相反。但二者的峰值是一样的。峰值点位置正好相反。但二者的峰值是一样的。1)当当/n0 :即转速远低于系统的固有频率时，即转速远低于系统的固有频率时， ，也就是说失衡激励引起的振动很小。也就是说失衡激励引起的振动很小。2)当当/n:即转速远高于系统的固有频率时，即转速远高于系统的固有频率时， 即即响应的振幅响应的振幅 ，为一个确定的值。而激励与响应的，为一个确定的值。而激励与响应的相角相角 ，即系统质量位置最低时，失衡质量恰好达到最，即系统质量位置最低时，失衡

5、质量恰好达到最高位置。高位置。 系统的支承部分如果有运动也可使系统发生系统的支承部分如果有运动也可使系统发生强迫振动强迫振动，这在工程实际中经常遇到。例如，精密仪器受周围环境振这在工程实际中经常遇到。例如，精密仪器受周围环境振动的影响而振动，车辆由于在不平路面上行驶而引起振动动的影响而振动，车辆由于在不平路面上行驶而引起振动等等。如果支承的运动可以用简谐函数描述，则系统的振等等。如果支承的运动可以用简谐函数描述，则系统的振动可用简谐强迫振动理沦来分析。动可用简谐强迫振动理沦来分析。 典型的支承运动的模型如典型的支承运动的模型如图所示：图所示： 设支承点的位移是设支承点的位移是简谐函简谐函数数，

6、可表示为：，可表示为：质量质量m的坐标的坐标x是惯性坐标。根据牛顿第二定律，得到如是惯性坐标。根据牛顿第二定律，得到如下方程：下方程：可改写为：可改写为：阻尼器和弹簧传递的两个激励力阻尼器和弹簧传递的两个激励力即：即：设稳态解：设稳态解：同激励：同激励：代入可得：代入可得：从中可得到支承激励下系统响应的振幅和相角：从中可得到支承激励下系统响应的振幅和相角：故，支承激励下系统的位移响应为故，支承激励下系统的位移响应为1)当当 时，无时，无论阻尼比论阻尼比为何值，为何值，响应幅值总是与激响应幅值总是与激励幅值相等，即励幅值相等，即X/A=1。无量纲比值为：无量纲比值为：2)当当 时，阻尼抑制了响应

7、的幅值，阻尼比时，阻尼抑制了响应的幅值，阻尼比越大，越大，响应的幅值越小。但无论阻尼为何值，响应的幅值总大于响应的幅值越小。但无论阻尼为何值，响应的幅值总大于支承运动的幅值，即支承运动的幅值，即XA。从幅频特性曲线上从幅频特性曲线上可以看出：可以看出：3)当当 时，响应的幅值总小于支承运动的幅值，即时，响应的幅值总小于支承运动的幅值，即XA。但。但越大，响应的幅值反而增大。越大，响应的幅值反而增大。 振动隔离指将机器或结椅与周围环境用减振装置隔离，振动隔离指将机器或结椅与周围环境用减振装置隔离，它是它是消除振动危害消除振动危害的重要手段。实际工程中的振动隔离可的重要手段。实际工程中的振动隔离可

8、分为两类：分为两类：1) 积极隔振积极隔振：机器自身是振源机器自身是振源，为，为减少对周围环境的影减少对周围环境的影响响，将其与支承它的基础隔离开。其力学模型的特点是，将其与支承它的基础隔离开。其力学模型的特点是，激励作用于质量激励作用于质量m引起引起m的振动。要求把振源的振动。要求把振源m与支承它与支承它的基础隔离。比如，对大型发动机、大型电机、汽轮机、的基础隔离。比如，对大型发动机、大型电机、汽轮机、冲床和振动台等都要安装一定的隔振装置以减少对周围环冲床和振动台等都要安装一定的隔振装置以减少对周围环境的影响。境的影响。2) 消极隔振消极隔振：对允许振动很小的精密仪器和设备，为减：对允许振动

9、很小的精密仪器和设备，为减少周围环境振动对它的影响，需要把它与支承它的基础隔少周围环境振动对它的影响，需要把它与支承它的基础隔离。它的力学模型的特点：激励是由基础运动产生的，振离。它的力学模型的特点：激励是由基础运动产生的，振源是基础运动，要求质量源是基础运动，要求质量m的振动尽可能小。的振动尽可能小。 这两种隔振的原理是相似的，基本作法都是把需要隔离这两种隔振的原理是相似的，基本作法都是把需要隔离的机器设备安装在舍适的具有的机器设备安装在舍适的具有弹性弹性和和阻尼阻尼的的减振装置减振装置或或隔隔振装置振装置上，使大部分振动被减振装置或隔振装置上，使大部分振动被减振装置或隔振装置吸收吸收，以，

10、以阻断阻断振动的传递。振动的传递。积极隔振积极隔振的的隔振效果隔振效果表示为：表示为： 称为隔振系数或传递系数，称为隔振系数或传递系数，N为隔振后系统传给地为隔振后系统传给地基的动载荷的幅值，基的动载荷的幅值，P为未隔振时传给地基的动载荷的幅为未隔振时传给地基的动载荷的幅值。显然，值。显然， 愈小愈好。愈小愈好。消极隔振消极隔振的的隔振效果隔振效果表示为：表示为： 隔振系数，隔振系数，X为设备隔振后的振幅，为设备隔振后的振幅，A为振源振幅。为振源振幅。也是愈小愈好。也是愈小愈好。1) 积极隔振积极隔振图示系统就是前面讨论过的图示系统就是前面讨论过的受简谐激励受简谐激励的系统。系统传给地基的动载

11、荷为的系统。系统传给地基的动载荷为弹簧弹簧和阻尼器对地基作用力的合力和阻尼器对地基作用力的合力。如果没。如果没有弹簧和阻尼器，激励将直接作用于地有弹簧和阻尼器，激励将直接作用于地基，幅值太小为基，幅值太小为F0。在简谐激励下系统。在简谐激励下系统的运动微分方程为：的运动微分方程为：其向量关系如所示。由图上可见，弹簧和其向量关系如所示。由图上可见，弹簧和阻尼器对地基的作用力为：阻尼器对地基的作用力为：由于在简谐激励时系统速度的幅值由于在简谐激励时系统速度的幅值 与位移的幅值与位移的幅值 ，有如下关系：有如下关系： 因此，弹簧和阻尼器对地基的作用力合力大小分别为因此，弹簧和阻尼器对地基的作用力合力

12、大小分别为kX和和cX，两力之间的夹角为，两力之间的夹角为/2，即合力的幅值为，即合力的幅值为:而激励的幅值为而激励的幅值为F0=kA，因此隔振系数为：，因此隔振系数为：上式表明了振源对基础的干扰程度。与前面的推导：上式表明了振源对基础的干扰程度。与前面的推导：完全是一样的。完全是一样的。 前面讨论过，支承运动下系统的响应为：前面讨论过，支承运动下系统的响应为：2)消极隔振消极隔振支承运动下系统的响应幅值幅值是式中的支承运动下系统的响应幅值幅值是式中的X，支承运动的，支承运动的幅值是式中的幅值是式中的A。所以，消极隔振的隔振系数公式是：。所以，消极隔振的隔振系数公式是：其中系统响应的振幅为：其

13、中系统响应的振幅为：因此，当振源作简谐振动时，积极隔振和消极隔振的隔振因此，当振源作简谐振动时，积极隔振和消极隔振的隔振系数计算公式相同。其与频率比和阻尼比的关系如图所示。系数计算公式相同。其与频率比和阻尼比的关系如图所示。由图可知：由图可知：1) 无论阻尼大小，无论阻尼大小，仅当频率比仅当频率比 才有隔振效果才有隔振效果。随。随频率比增大，隔振频率比增大，隔振效果提高，在实际效果提高，在实际应用中取应用中取2.55。2在时在时 ，阻尼增大使隔振系数增大，降低了隔振效阻尼增大使隔振系数增大，降低了隔振效果果。但阻尼比不是越小越好，实际问题中激励频率是由零。但阻尼比不是越小越好，实际问题中激励频

14、率是由零逐步增加到某一定值，此过程中不可避免要与系统的固有逐步增加到某一定值，此过程中不可避免要与系统的固有频率重合，产生共振。阻尼过小将使系统过共振时振幅过频率重合，产生共振。阻尼过小将使系统过共振时振幅过大，造成破坏，因而要兼顾。一般希望有点阻尼以限制过大，造成破坏，因而要兼顾。一般希望有点阻尼以限制过共振时的振幅，但又不要太大以免降低隔振效果。共振时的振幅，但又不要太大以免降低隔振效果。惯性式测振仪：由弹性元件支承的惯性质量，装在适当的惯性式测振仪：由弹性元件支承的惯性质量，装在适当的壳体内，限制质量沿一给定的轴运动；壳体内的粘性液体壳体内，限制质量沿一给定的轴运动；壳体内的粘性液体提供

15、阻尼；质量块与壳体间相对运动反映了壳体的振动。提供阻尼；质量块与壳体间相对运动反映了壳体的振动。这是一个典型的这是一个典型的1-DOF “质量质量-阻阻尼器尼器-弹簧弹簧” 系统。为了便于分析系统。为了便于分析它的性质，假定其支承它的性质，假定其支承(壳体壳体)做做筒谐振动。筒谐振动。设质量设质量m的绝对位移为的绝对位移为x，壳体与被测结构固定联结，因，壳体与被测结构固定联结，因此壳体位移也就是被测结构位移，假设为此壳体位移也就是被测结构位移，假设为y，则质量与壳，则质量与壳体的相对位移为体的相对位移为z=x-y。测振仪测振仪目的：根据测得的相对位目的：根据测得的相对位移移z，确定被测结构的位

16、移，或加速度。，确定被测结构的位移，或加速度。根据牛顿第二定律有：根据牛顿第二定律有：以以z=x-y代入可得：代入可得：设壳体做简谐运动：设壳体做简谐运动：代入后可得：代入后可得：这个方程的解为：这个方程的解为：式中，相对位移幅值：式中，相对位移幅值：相对位移相对位移z与被测结构位移的相位差：与被测结构位移的相位差：与前面提到的与前面提到的旋转失衡引起的强迫振动旋转失衡引起的强迫振动结果是相似的。结果是相似的。它们的幅频特性图：它们的幅频特性图：在实际应用中，选取不同在实际应用中，选取不同的的频率比频率比和和阻尼比阻尼比，可使，可使测振但测量不同的振动参测振但测量不同的振动参数。测振仪本身的主

17、要性数。测振仪本身的主要性能参数有：灵敏度、测量能参数有：灵敏度、测量精度、测量频率范围等等。精度、测量频率范围等等。1)当当 ，即激励频率远小于系统固有频率时，即激励频率远小于系统固有频率时， 从而测振仪的相对振幅从而测振仪的相对振幅z可近似表示为：可近似表示为：即即Z与测振仪壳体的加速度幅值与测振仪壳体的加速度幅值 成比例，此时测振成比例，此时测振仪可用做仪可用做加速度计加速度计。加速度计是高固有频率仪器，由上式知，随着加速度计是高固有频率仪器，由上式知，随着固有频率增固有频率增大大，如果其他条件不变，如果其他条件不变，测出的振幅测出的振幅Z将减小将减小，也就是灵，也就是灵敏度将降低，使测

18、量误差增大。敏度将降低，使测量误差增大。另外在另外在小阻尼小阻尼条件下，条件下， 的范围非常小，使加速度的范围非常小，使加速度计的工作频率范围很窄。计的工作频率范围很窄。综台其他因素，通常加速度计的综台其他因素，通常加速度计的阻尼比取为阻尼比取为0.7，频率比频率比取在取在00.4的范围内，此时仪器加速度计的的范围内，此时仪器加速度计的测量误差测量误差小于小于1%。2)当当 ，即激励频率很高时，即激励频率很高时，Z可近似为：可近似为：即测振仪的质量块在惯性空间中几乎保持不动，与结构相即测振仪的质量块在惯性空间中几乎保持不动，与结构相接的仪器壳体相对质量块运动。仪器的相对振幅与激励幅接的仪器壳体

19、相对质量块运动。仪器的相对振幅与激励幅值相等，此时仪器用于值相等，此时仪器用于测量振动位移测量振动位移，也可用做监测地，也可用做监测地震或地下核爆炸的地震仪。震或地下核爆炸的地震仪。位移计位移计是低固有频率仪器，固有频率越低，能测量的频率是低固有频率仪器，固有频率越低，能测量的频率范围越大。缺点是较为笨重，安置在较小的结构上将改变范围越大。缺点是较为笨重，安置在较小的结构上将改变结构局部的质量分布和刚度分布，从而改变了结构的振动结构局部的质量分布和刚度分布，从而改变了结构的振动特性，使测量状态不符合实际振动状态，造成误差。特性，使测量状态不符合实际振动状态，造成误差。这里只是就惯性铡振仪作一般

20、讨论，并仅仅讨论测量结果这里只是就惯性铡振仪作一般讨论，并仅仅讨论测量结果的幅值误差。实际振动都比较复杂。的幅值误差。实际振动都比较复杂。某些旋转机械在开机及停机过程中，当机器的转速经过某某些旋转机械在开机及停机过程中，当机器的转速经过某个定值时，会出现剧烈的振动，这对机器十分有害。这个个定值时，会出现剧烈的振动，这对机器十分有害。这个定值通常称为定值通常称为临界转速临界转速。为保证机器安全，开机及停机时。为保证机器安全，开机及停机时必须快速超越临界转速。转轴的工作转速应远离转轴的临必须快速超越临界转速。转轴的工作转速应远离转轴的临界转速。界转速。转轴的临界转速一般很接近转轴横向自由振动的转轴

21、的临界转速一般很接近转轴横向自由振动的固有频率固有频率。这里用一个简单的例子讨论转轴的横向振动，。这里用一个简单的例子讨论转轴的横向振动，看如何确定临界转速。看如何确定临界转速。图示系统，假定：图示系统，假定：1)静止时的转轴轴线是铅垂线，与两端轴承静止时的转轴轴线是铅垂线，与两端轴承的中心线重舍。的中心线重舍。2)轴承是刚性的，但转轴的轴端可以在轴承轴承是刚性的，但转轴的轴端可以在轴承内自由转动。内自由转动。3)圆盘为水平位置，装在转轴的中点，转轴圆盘为水平位置，装在转轴的中点，转轴轴线通过圆盘的几何中心轴线通过圆盘的几何中心S。圆盘的重心。圆盘的重心G有有微小的偏心距微小的偏心距e。这样，

22、在讨论转轴的横向振动时可不计重力，而且在转这样，在讨论转轴的横向振动时可不计重力，而且在转轴有横向变形时，圆盘平面始终保持水平。轴有横向变形时，圆盘平面始终保持水平。转轴旋转后，在离心力作用下，转轴离开了中心线转轴旋转后，在离心力作用下，转轴离开了中心线z，产，产生动挠度。转轴现在有两种运动，生动挠度。转轴现在有两种运动，一种是转轴的自身转动一种是转轴的自身转动，即圆盘绕转轴的转动，即圆盘绕转轴的转动，一种是弯曲的转轴绕中心线一种是弯曲的转轴绕中心线z的转的转动动，这两种转动的角速度并不一定相等。这里只讨论两种，这两种转动的角速度并不一定相等。这里只讨论两种转速相等，均为转速相等，均为的情况。

23、的情况。取中心线取中心线z与盘面相交的点与盘面相交的点O为坐标原点建立坐标系，设为坐标原点建立坐标系，设圆盘几何中心圆盘几何中心S点的坐标为点的坐标为(x,y)，则，则OS为为S点的位移。点的位移。首先，不计阻尼。这样，作用于圆盘上的力首先，不计阻尼。这样，作用于圆盘上的力只有只有转轴的弹性力转轴的弹性力和和圆盘的离心力圆盘的离心力，二者成，二者成动平衡，因此，这两个力的作用线相同，大动平衡，因此，这两个力的作用线相同，大小相等，方向相反。小相等，方向相反。由于弹性力的方向是由由于弹性力的方向是由S指向指向O的，因此圆盘的，因此圆盘重心重心G在在OS的延长线上，坐标为的延长线上，坐标为(x+e

24、cost)和和(y+esint)。设轴的弹性刚度为。设轴的弹性刚度为k，对于中，对于中点受集中载荷的简支梁，其弹性刚度为：点受集中载荷的简支梁，其弹性刚度为：并且在并且在x和和y方向是相等的。方向是相等的。由质心运动定理可以得到由质心运动定理可以得到x和和y两个方向的两个方向的运动微分方程运动微分方程：令令q=x+iy，上式可写成：，上式可写成：因此因此振幅振幅为：为：这里：这里：n是将转轴视为做横向振动的简支梁时的固有频是将转轴视为做横向振动的简支梁时的固有频率，而率，而 正是圆盘几何中心正是圆盘几何中心S的挠度。的挠度。对一台机器，转轴的质量、偏心距、刚度等都是确定的。对一台机器，转轴的质

25、量、偏心距、刚度等都是确定的。因此，当转轴做简谐振动时，因此，当转轴做简谐振动时， 是确定不变的，圆盘几何是确定不变的，圆盘几何中心中心S做半径为做半径为q的圆周运动。的圆周运动。1)当当 时，时， 为负值，说明动挠度的方向与偏心为负值，说明动挠度的方向与偏心距方向相反，重心距方向相反，重心G位于位于OS连线上。连线上。从式从式可知：可知：2)当当 时，时， 这时转轴绕圆盘重心这时转轴绕圆盘重心G旋转，旋转，G与与O点重合，称为点重合，称为自动定心自动定心。3)当当 时，无论时，无论e多小，动挠度也会很大，即转轴在多小，动挠度也会很大，即转轴在任意的微小外力作用下，都会产生很大的挠度，转轴失去任意的微小外力作用下，都会产生很大的挠度，转轴失去了稳定性。这种情形类似于压杆的了稳定性。这种情形类似于压杆的失稳失稳。这时的转速称为。这时的转速称为临界转速：临界转速： 临界转速与转轴的偏心距的大小无关。因此，计算转轴临界转速与转轴的偏心距的大小无关。