自适应控制大作业剖析

1、华蛀电力*事自适应控制结课作业班级:组员:2016年1月1 遗忘因子递推最小乘法 11.1最小二乘理论 11.2带遗忘因子的递推最小二乘法 11.2.1白噪声与白噪声序列 11.2.2遗忘因子递推最小二乘法 22.2仿真实例32广义最小方差自校正控制 52.1广义最小方差自校正控制 52.2仿真实例63参考模型自适应控制 93.1参考模型自适应控制 93.2仿真实例123.2.1数值积分123.2.2仿真结果12参考文献 161遗忘因子递推最小二乘法1.1最小二乘理论最小二乘最早的想法是高斯在 1795年预测行星和彗星运动轨道时提出来 的，“未知量的最大可能的值是这样一个数值，它使各次实际观测

2、和计算值之间 的差值的平方乘以度量其精确度的数值以后的和为最小”。这一估计方法原理简 单，不需要随机变量的任何统计特性，目前已经成为动态系统辨识的主要手段。 最小二乘辨识方法使其能得到一个在最小方差意义上与实验数据最好拟合的数 学模型。由最小二乘法获得的估计在一定条件下有最佳的统计特性，即统计结果是无偏的、一致的和有效的。1.2带遗忘因子的递推最小二乘法1.2.1白噪声与白噪声序列系统辨识中所用到的数据通常含有噪声。 从工程实际出发，这种噪声往往可 以视为具有理想谱密度的平稳随机过程。 白噪声是一种最简单的随机过程，是由 一系列不相关的随机变量组成的理想化随机过程。 白噪声的数学描述如下：如果

3、 随机过程(t)均值为0，自相关函数为二2()，即2R ( )= ：；、()式中，()为单位脉冲函数(亦称为Dirac函数)，即卩T = 0口 迂、()，且 I. ：； ( )d =1式 0-O0则称该随机过程为白噪声，其离散形式是白噪声序列。如果随机序列V(k)1均值为零，且两两互不相关，即对应的相关函数为：、2, n = 0Rz(n)二 Ev(k)v(k n)二o n = 0则这种随机序列称为白噪声序列。其谱密度函数为常数匚2(2二)。白噪声序列的功率在-二到二的全频段内均匀分布。建立系统的数学模型时，如果模型结构正确，则模型参数辨识的精度将直接 依赖于输入信号，因此合理选用辨识输入信号是

4、保证能否获得理想的辨识结果的关键之一。理论分析表明，白噪声作为被辨识系统的输入时，可以激发系统 的所有模态，可对系统充分激励，可防止数据病态，保证辨识精度，可以保证获 得较好的辨识效果。白噪声序列4321值幅 0声噪-1-2-3-450100150200250300350400450500仿真长度图1-1白噪声序列1.2.2遗忘因子递推最小二乘法假设被辨识的系统为一单入单出的离散时间系统，且已知为CAR模型(带u(k)z"B(z)A(zJ控制量的自回归模型)，如图2所示：图1-2辨识系统模型即A(z)y(k)二 B(z')u(k -d) (k)式中，u(k)为输入变量，y(k

5、)为输出变量，(k)为白噪声，且fA(zJ =1 +彰4 + a2zm + anaz 叫B(z')=b。b1Z az' lll gz 吨则上式可转化为如下最小二乘格式：y(k) =a°(k 1) a2y(k 2)川a. y(k na)+b°u(k d)+川+bnbu(k d 压)+ "k)y(k) =F：T(k尸-(k)式中，(k)为数据向量，二待估参数向量，且仆)二_y(k -1),川,-y(k -na),u(k -d),川,u(k -d - nb)r R(na nb 1 1 Jai, ,3na,bo,R""1)1取算法的性能

6、指标为LJ 八y(k)_ T(k)：?2k 4式中，为遗忘因子(o :： 叮)。带遗忘因子的递推最小二乘估计的算法公式为：!?(k) =(k 1)+K(k)y(k)铲(k)(?：k1)K(k)=严一1%)彳丸 + 护(k)P(k-1)砕(k)1P(k) I -K(k)，(k)P(k-1)L k公式表明，新的参数估计 勺k)是用新的实际测量值y(k)与基于老模型进行 预测得到的量T(k)玫k-1)之偏差，对前面的参数估计加以修正得到的，修正系 数阵为K(k)o P(k -1)的物理意义是参数估计误差的方差，作为参数估计精度的 一种度量。遗忘因子的作用是削弱过去数据的作用，通常选择0.95到0.9

7、98 之间的数。带遗忘因子的递推最小二乘估计算法属于在线辨识所用方法的一种，它既能克服离线辨识的缺点，也能克服递推最小二乘估计中的“数据饱和”现象， 同时 它充分重视了当前数据的作用。遗忘因子最小二乘法的算法：已知A式阶次na、B式阶次nb以及延迟d。步骤1:设置初值0(0)和P(0)及遗忘因子，输入初始数据；步骤2：采样当前输出y(k)和输入u(k)；步骤3:利用递推公式，计算K (k)、0k)和P(k);步骤4: k > k 1，返回步骤2,继续循环。2.2仿真实例系统模型如下：y(k) -1.1y(k -1)0.6y(k -2)0.1y(k -3) =u(k -4)0.7u(k -

8、5)(k)其中，输入u(k)为方差为1的白噪声，(k)为方差为0.1的白噪声。由于P (0)和00)的选择可按如下方法：式中，：为充分大的正实数(10 1010) , :为零向量或充分小的正的实向量。因 此，取初值 P(0) =1061、&0) = 0。仿真结果如下：21.510.50-0.5-1-1.5-20100 200300400500600700800900100021图1-3参数估计结果图1-4实际输出与辨识输出对比2广义最小方差自校正控制2.1广义最小方差自校正控制当考虑干扰对系统的作用时，控制器的设计就是要最大限度的减小干扰对系 统的影响。鉴于一般被控对象或过程都存在不同

9、程度的纯迟延，控制u(k)对系统 的作用要到(k d)时刻才有响应。在这段纯迟延的时间内，干扰仍会作用于系统， 所以在k时刻预测(k d)时刻的输出，并按照预测误差的方差最小的原则，设计 现时控制u(k)，并加以实施。当过程参数未知，或者时变时，用递推最小二乘法 估计，或者直接估计控制器参数，然后算出控制量来，这就是最小方差自校正控 制的基本思想。但最小方差自校正控制器存在一些固有的问题，特别是其不适用于非最小相位系统且输入控制量不受约束，因此考虑在性能指标中加入控制量的 罚函数，限制过大的控制输出，便形成了广义最小方差自校正控制器。 控制算法 框图如下：被控对象为：A(z')y(k)

10、二 z"B(z')u(k) C(z') (k) 其中：d为延迟因子，u(k)为输入变量，y(k)为输出变量，(k)为白噪声。C(zJ 为 H u r w i多项式。选择性能指标函数为：J =ElP(z)y(k d)-R(z)yr(k d)2 Q(z')u(k)2?式中，yr(k)为期望输出；y(k，d)为第(k d)拍的输出；u(k)为第k拍的控制；P(z°)、R(z和Q(z')分别为输出、期望输出和控制的加权多项式，它们分别具有改善闭环系统性能，软化输入和约束控制量的作用。并且P(Z)=1 PjZ， P2Z，PnZPR(z')二r&

11、#176; 上烷射*rQ(z')二q° qjz' q2Z qnqZq上述多项式的阶次及参数根据实际需要确定。由此，据文献1知，广义最小方差控制律为：u(k)= C(z)R(z)yr(k d)G(z)P(z)y(k) 告 C(z)Q(z) + F(z)P(z) tb在进行控制系统设计时，一般可以取加权多项式P(z)=1、R(z)=1和Q(z)=q°，而qo大小的选取需要在快速性和稳定性方面进行权衡。而要稳态误 差为零，则需满足条件：QA(1)B(1)广义最小方差直接自校正控制的算法：已知：模型阶次na、nb、nc以及延迟d。步骤1:设置初值9(0)和P(0)，

12、输入初始数据，并设置加权多项式P(z)、Q(z')、R(z);步骤2:采样当前实际输出y(k)和期望输出yr(k - d);步骤3：构造观测数据向量？( k-d)并利用递推增广最小二乘法在线实时估计被 控对象参数9,即8、F和(?；步骤4:利用最小方差控制律计算并实施u(k);步骤5： k > k 1，返回步骤2,继续循环。2.2仿真实例设系统模型如下：y(k) 0.9y(k -1)0.8y(k -2) 0.5y(k -3) =u(k -4) 2u(k -5)(k)0.6 (k -1)其中，(k)为方差为0.1的白噪声，采用广义最小方差控制。取初值P(0) =1061、 4=0

13、;设置加权多项式P(z)=1、R(Z，)=1.5、Q(z')=2。期望输出采用幅 值为10的方波型号，其控制结果如下：实际输出跟踪模型输出图2015模型输出yr(k)实际输出y(k)-2001050-5-10-1550100150200250300350400450500k图2-1期望输出与实际输出对比k图2-2 控制量u(k)g0g1c估数参 二O8-1O50100150200250300350400450500k图2-3估计参数O-21001502004 32 10 f数参识辨50250300350400450500k图2-4辨识参数3参考模型自适应控制3.1参考模型自适应控制模型

14、参考自适应控制器（MRAC, model referenee adaptive control），即为利 用可调系统（包含被控对象）的各种信息，度量或测出某种性能指标，把它与参 考模型期望的性能指标相比较；用性能指标偏差（广义误差）通过非线性反馈的 自适应律来调节可调系统，以削弱可调系统因不确定性”所造成的性能指标的偏 差，最后达到使被控的可调系统获得较好的性能指标的目的。模型参考自适应控制可以处理缓慢变化的不确定性对象的控制问题。它由于可以不必经过系统辨识而度量性能指标，因而有可能或得快速跟踪控制。由于被控对象的全部状态要准确得到很困难，按被控对象输入和输出直接设计自适应控制系统更有价值，一

15、般有直接法和间接法。所谓直接和间接，指的是对未知 的被控对象进行直接控制和间接控制。间接控制的基本思想是用未知的被控对象的输入输出数据来估计被控对象的参数，并用这些参数估计值产生一个反馈函数去调整调节器参数。直接控制和间接控制不同，在产生反馈控制信号之前没 有明显的被控对象的辨识。所以二者之间主要不同在于：在直接控制中要有一个 显式的理想特性的参考模型，而间接控制则需要被控对象模型进行在线辨识并 用隐式方法去产生自适应律。现用一种分母分子相对阶数为 2的直接法，即K.S.Narendra提出的稳定性 自适应控制方案。原理框图如图 3-1所示：图3-1模型参考自适应控制原理框图1)设系统为单入单

16、出(SISO的系统，被控对象的状态方程和输出方程为：Xp = ApXpbpUyp = CpXp D pU式中Xp为n维状态向量，u为控制向量；yp为输出量，Ap为n n的矩阵，bp 为n 1的输入向量；被控对象传递函数如下：N p (s)Wp(s) = kp D pD p(s)2)选取的参考模型为：Xm 二 AmXmbm yym 二 CmXmD m yrym为参考模型输出,式中Xm为n维状态向量，y为分段连续一致有界输入; Am量n n的矩阵，bm为n 1的输入向量； 参考模型传递函数为：Wm(s):-kNm®k mDm(s)式中Wm(S)严格正实，Nm(S)和Dm(S)都是首一的H

17、urwitz多项式，其阶数分别为m和n , km为模型增益。3)设广义输出误差为：e(t) = ym(t) - yp(t)控制系统的设计目标便是利用 Lyapu nov稳定性理论设计一个不含误差导数的自适应控制率，并由它产生一个有界控制量输入，是广义误差e(t)满足:lim e(t) = 0t_ .4)被控对象与参考模型的传递函数的选取需满足分子分母多项式为稳定多项 式，同时参考模型必须为严正实函数，严正实即传递函数 W(s)的极点都在s 的左半平面(虚轴上只容许有一阶极点，且其留数为正)且对于任意,都有ReW(j )0，则W(s)为严正实函数。辅助信号发生器传递函数的分母多项式应当等于参考对

18、象的分子乘上一个一阶稳定多项式，具体设计过程如下，两个辅助信号发生器状态方程和传递函数分别为：V1 二 A f v1 b f uF1 :W1N c(S)D f (S)V2A f V2 b f y pW2N d (S)D f (S)选择L(s) = s a(a 0),使L(s)Wm(s)为 严格正 实函数选择Df(s)=L (s)JNs)构建可调参数自适应律如下：(t) - (t)e(t) f(t)=a"t)+®(t)TT pT2n：1TT2n：1式中，廿kc Cf d。 df = R ， ©=yr w y V2 = R ， r R2n2n为正定矩阵。自适应控制律为

19、：u(t) - JT(t)'(t) e(t) T(t)】(t)参考模型自适应控制的算法：已知：被控对象 Wp(s)的阶数n、m。步骤1:选择参考模型Wm(s)为稳定最小相位系统，与 Wp(s)阶数及相对阶相同， 并具有理想的动态性能；步骤2：选择L(ss a(a 0),使L(s)Wm(s)为严格正实函数；并利用L(S)Nm(S)构 造辅助信号发生器状态矩阵A f ;步骤3:设置初值9(0),选择自适应增益矩阵r和输入信号yr(t),并初始化数据;步骤4:采样当前参考模型输出ym(t)和系统实际输出yp(t)，并计算e(t)；步骤5:利用辅助信号状态方程计算vi和V2 ；步骤6:利用可调

20、参数自适应律状态方程计算-(t)和(t);步骤7:组建机t)，并有自适应控制律计算u(t);步骤8 t > t h，返回步骤4,继续循环。3.2仿真实例3.2.1数值积分连续函数的动态特性一般可由一个微分方程或一组微分方程加以描述，因此对连续系统进行编程或计算机仿真时，就需要对连续系统微分方程运用数值积分 的方法来求数值解，针对如下一阶微分方程：dx(t)dtIx(t0 ) = x在离散系统中可采用欧拉法求解，其递推公式如下x(tk J ： x(tk) hf(tk,x(tk)式中，h称为计算步长或者步距。该方法简单、计算量小，由前一点即可推出后一点的值，属于单步法。适当减小计算步长h有助于提高计算精度。3.2.2仿真结果采用的对象模型为2Wp(S)Wp(S)s +3