第9章多元函数积分学PPT课件

1、9.1 二重积分的概念与性质 9.1.1 两个实例 9.1.2 二重积分的概念 定义 ；几何意义；物理意义 9.1.3 二重积分的性质 第1页/共17页9.1.1 两个实例 1曲顶柱体的体积 求曲顶柱体的体积与求曲边梯形的面积十分类似，可以用“分割”，“近似”，“求和”，“取极限”的方法来解决 2平面薄板的质量 2平面薄板的质量第2页/共17页9.1.3 二重积分的性质 性质1(齐次性质) 性质2(可加性质) 性质3(线性性质) 性质4(分域性质) 性质5(保号性质) 性质6(估值不等式) 性质7(二重积分的中值定理) 性质8(对称性质) ( , )d( , )dDDk f x ykf x y

2、 ( , )( , )d( , )d( , )dDDDf x yg x yf x yg x y( , )( , )d( , )d( , )dDDDkf x yhg x yk f x yh g x y12( , )d( , )d( , )dDDDf x yf x yf x y( , )d( , )dDDf x yx y( , )d( , )dDDf x yf x y(,)dDmfx yM(,) d(,)Dfxyf第3页/共17页9.2 二重积分的计算 9.2.1 在直角坐标系下二重积分的计算方法 9.2.2 在极坐标系下二重积分的计算方法 第4页/共17页9.2.1 在直角坐标系下二重积分的计算

3、方法第5页/共17页9.3 二重积分的应用 9.3.1 曲面的面积 9.3.2 平面薄片的重心 9.3.3 平面薄片的转动惯量 ， 2( , )dxDIyx y2( , )dyDIxx y第6页/共17页9.3.1 曲面的面积221( , )( , )dxyxyDAf x yf x y221d dxyDzzAx yxy第7页/共17页9.3.2 平面薄片的重心 薄片的重心的坐标为 ， 均匀平面薄片的重心叫做该平面薄片的形心，形心坐标公式为： ，( , )d( , )dyDDxx yMxMx y( , )d( , )dxDDyx yMyMx y1dDxxA1dDyyA第8页/共17页9.4 三重

4、积分 9.4.1 三重积分的概念 9.4.2 三重积分的计算方法 1. 先单后重法(或投影法) 2. “先重后单”法(或截面法) 3用柱面坐标计算三重积分 9.4.3 三重积分的应用第9页/共17页9.4.3 三重积分的应用 在三重积分的应用中也可采用微元法设物体占有空间区域 ，在点 处的体密度为 ，假定 在 上连续，与平面薄片类似，可计算该物体的质量、重心坐标和转动惯量并有如下的计算公式：( , , )x y z( , , )x y z( , , )x y z( , , )dMx y zv111d ,d ,dxxvyyvzzvMMM222222() d ,() d ,() dxyzIyzv

5、Izxv Ixyv第10页/共17页9.5 对弧长的曲线积分 9.5.1 对弧长的曲线积分的概念与性 9.5.2 对弧长的曲线积分的算法 “一定、二代、三替换，下限必定小上限”. 9.5.3 对弧长的曲线积分的推广 9.5.4 对弧长的曲线积分的应用举例 1. 曲线的弧长 2. 平面物质曲线的质心坐标 3. 平面物质曲线的转动惯量第11页/共17页9.5.1 对弧长的曲线积分的概念与性 1. 引例 曲线形构件的质量 2. 对弧长的曲线积分的定义 物理意义 几何意义 3. 对弧长的曲线积分的性质第12页/共17页9.6 对坐标的曲线积分 9.6.1 对坐标的曲线积分的概念与性 9.6.2 对坐标的曲线积分的算法 “一定、二代、三替换，起点必定对下限” 9.6.3 两类曲线积分之间的关系第13页/共17页9.6.1 对坐标的曲线积分的概念与性 1. 引例 变力沿曲线所作的功 2. 对坐标的曲线积分的定义 3. 对坐标的曲线积分的性质第14页/共17页9.7 格林公式及其应用 9.7.1 格林公式 9.7.2 平面上曲线积分与路径无关的条件 9.7.3 二元函数全微分的求积问题 1. 原函数的存在性 2. 原函数的求法 3. 用原函数计算与路径无关的曲线积分 12ddddLLP xQ yP xQ y第15页/共17页9.7.1 格林公式 1. 两个概念 平面单连通区域 区域边界的正