人教B版选修12综合法和分析法上课用

1、演绎推理是证明数学结论、建立数学体演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程系的重要思维过程. .复习推推 理理合情推理合情推理（或然性推理）（或然性推理）演绎推理演绎推理（必然性推理）（必然性推理）归纳归纳(特殊到一般）特殊到一般）类比类比（特殊到特殊）（特殊到特殊）三段论三段论（一般到特殊）（一般到特殊）v合情推理得到的结论是不可靠的，需要证明。数学中证明的方法有哪些呢？间接证明（反证法）分析法综合法直接证明证明的方法综合法和分析法综合法和分析法直接证明1 概念概念从原命题的从原命题的条件或结论条件或结论出发，根据已知的定义、出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推得命题成立公理、

2、定理，直接推得命题成立2 直接证明的一般形式：直接证明的一般形式：本题结论已知定理已知公理已知定义已知条件例例1:1:已知已知a0,b0,a0,b0,求证求证a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4abc4abc因为因为b b2 2+c+c2 2 2bc,a02bc,a0所以所以a(ba(b2 2+c+c2 2) )2abc.2abc.又因为又因为c c2 2+b+b2 2 2bc,b02bc,b0所以所以b(cb(c2 2+a+a2 2) ) 2abc.2abc.因此因此a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4a

3、bc.4abc.证明证明: :在数学证明中，我们经常从已知条件和某些在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、定理、公理、性质等出发通过推数学定义、定理、公理、性质等出发通过推理导出所要的结论。理导出所要的结论。利用已知条件和某些数学定义、公理、利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等定理等, ,经过一系列的推理论证经过一系列的推理论证, ,最后推最后推导出所要证明的结论成立导出所要证明的结论成立, ,这种证明方这种证明方法叫做法叫做综合法也叫顺推法或由因导果法综合法也叫顺推法或由因导果法用用p p表示已知条件、已有的定义、公理、表示已知条件、已有的定义、公理、定理等定理等,q,q表示所

4、要证明的结论表示所要证明的结论. .则综合法用框图表示为则综合法用框图表示为: :1 1p pq q1 12 2q qq q2 23 3q qq qn nq qq q1 1、综合法、综合法( (顺推法顺推法)()(由因导果法由因导果法)综合法是由一个个推理组成的综合法是由一个个推理组成的例例2 2：在：在中，三个内角、对中，三个内角、对应的边分别为应的边分别为a a、b b、c c，且、成等差，且、成等差数列，数列，a a、b b、c c成等比数列，成等比数列，求证：求证：为等边三角形为等边三角形219log319log219log13235、求证：例2. 2.分析法分析法.( .(逆推法逆推

5、法)( )(执果索因法执果索因法) )从证明的结论出发从证明的结论出发, ,逐步寻求使它成立的逐步寻求使它成立的充充分条件分条件, ,直至最后直至最后, ,把要证明的结论归结为判把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件定一个明显成立的条件( (已知已知, ,定理定理, ,定义定义, ,公公理等理等). ).这种证明的方法叫做这种证明的方法叫做分析法分析法. .:.2abab证明不等式:例如用用q q表示所要证明的结论表示所要证明的结论, ,则分析法可用框图表示为则分析法可用框图表示为: :得到一个明显成立的条件q p1p1 p2p2 p3证明证明: :因为因为; ; 所以所以所以所以所以所以

6、 成立成立()b 20a a 20a a + + b ba ab b 2a a + + b ba ab b a a + + b ba ab b2 2证明证明: :要证要证只需证只需证只需证只需证只需证只需证因为因为 成立成立所以所以 成立成立 a a+ +b ba ab b2 2 2a a+ +b ba ab b 20a a+ +b ba ab b()b 20a a()b 20a aa a + + b ba ab b2 2例例2 2 求求证证5273证明证明: :因为因为73 和和52都是正数都是正数, ,所以要所以要证证5273只需证只需证22)52()73(展开得展开得2021210只需证

7、只需证只需只需证证521 2521因为因为2521成立成立, ,所以所以5273成立成立. .22121, 1, 0, 0bababa求证：且已知222)(| |21:,1babasbcaacbabcabc求证设中、在分析：由已知条件和结论我们联想到数量分析：由已知条件和结论我们联想到数量积定义和三解形的面积公式：积定义和三解形的面积公式：cccabs2cos1sinsin21利用由数量积定义和上公式结合结论探求证由数量积定义和上公式结合结论探求证明思路明思路【巩固练习【巩固练习】证明：证明：babaccbasabc.cossin21，因为2222222222222).(41).141cos1

8、41sin41bababababacbacbasabc（）（所以222).(21babasabc于是要证要证10), 1(11*nnnnnnn求证：证明证明: :nnnn11只需证只需证112nnn只需证只需证12242nnn即证即证12nn即证即证122 nn成立成立所以所以nnnn11成立成立. .显然显然即证即证10证法证法2 2要证要证nnnn11只需证只需证nnnn1111只需证只需证nnnn11只需证只需证11nn上式显然成立上式显然成立. .所以所以nnnn11成立成立. .abcpdacdpcpbpaabcpabc平面的中点，求证：是中，、设在四面体,903p pa ab bc

9、 cd d练习练习:如图如图,sa,sa平面平面abc,abbc,abc,abbc,过过a a作作sbsb的垂线的垂线, ,垂足为垂足为e,e,过过e e作作scsc的垂线的垂线, ,垂垂足为足为f,f,求证求证 afscafscf fe es sc cb ba a证明证明: :要证要证afafscsc只需证只需证:sc:sc平面平面aefaef只需证只需证:ae:aescsc只需证只需证:ae:ae平面平面sbcsbc只需证只需证:ae:aebcbc只需证只需证:bc:bc平面平面sabsab只需证只需证:bc:bcsasa只需证只需证:sa:sa平面平面abcabc因为因为:sa:sa平面

10、平面abcabc成立成立所以所以. af. afscsc成立成立【巩固练习【巩固练习】abbaba16)sintan,sintan22cossincos122244 （：求证求证已知已知、求证：、求证： 8)11)(11)(111,3 cbacbarcba（求求证证：、已已知知的值。的值。求求两点。两点。、与抛物线交于与抛物线交于过焦点的弦过焦点的弦、已知抛物线、已知抛物线212122112),(),(, )0(24yyxxyxbyxappxy 5. 设设 a 0， 是是 r上的偶函数。上的偶函数。 （1）求）求 a 的值；的值； （2） 证明证明 f(x) 在（在（0，）上是增函）上是增函数

11、数xxeaaexf )(利用已知条件和某些数学定义、公理、利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等定理等, ,经过一系列的推理论证经过一系列的推理论证, ,最后推最后推导出所要证明的结论成立导出所要证明的结论成立, ,这种证明方这种证明方法叫做法叫做综合法综合法用用p p表示已知条件、已有的定义、公理、表示已知条件、已有的定义、公理、定理等定理等,q,q表示所要证明的结论表示所要证明的结论. .则综合法用框图表示为则综合法用框图表示为: :1 1p pq q1 12 2q qq q2 23 3q qq qn nq qq q小结小结综合法的定义综合法的定义: :50 150 1例例2 2：在：在中，三个内角、对中，三个内角、对应的边分别为应的边分别为a a、b b、c c，且、成等，且、成等差数列，差数列，a a、b b、c c成等比数列，求证成等比数列，求证为等边三角形为等边三角形分析：把题中的文字语言转化为符号语分析：把题中的文字语言转化为符号语言：言：a+c=2ba+c=2b，b b2 2 =ac=ac由（由（1 1）联想到内角各能得到什么？）联想到内角各能得到什么？由（由（2 2）联想到三角形什么知识？余弦定理，）联想到三角形什么知识？余弦定理，二者联系起来能得到什么结论二者联系起来能得到什么结论证明：证明： 由由a a，b b，c c成等差数列，有成等差数