迭代法解非线性方程ppt课件

1、求解非线性方程求解非线性方程的迭代法的迭代法数学软件数学软件一、迭代法原理一、迭代法原理 二、弦截法二、弦截法 三、牛顿法三、牛顿法四、小结四、小结目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束求解非线性方程的迭代法求解非线性方程的迭代法一、迭代法原理一、迭代法原理 1. 迭代法的思想迭代法的思想 迭代法是数值计算中的一类典型方法，不仅用于方程求根，而且迭代法是数值计算中的一类典型方法，不仅用于方程求根，而且可用于方程组求解，矩阵求特征值等许多问题。可用于方程组求解，矩阵求特征值等许多问题。 迭代法的基本思想是一种逐次逼近的方法。首先取一个粗糙的近似迭代法的基本思想是一种逐次逼近的方法。首先取一个粗

2、糙的近似值，然后用同一个递推公式，反复校正这个初值，直到满足给定的精度值，然后用同一个递推公式，反复校正这个初值，直到满足给定的精度为止。迭代法的关键在于构造递推公式。为止。迭代法的关键在于构造递推公式。目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束求解非线性方程的迭代法求解非线性方程的迭代法u 构造构造 f (x) = 0 的一个等价方程：的一个等价方程： ( )xx u 从某个近似根从某个近似根 x0 出发，计算出发，计算得到一个迭代序列得到一个迭代序列 0kkx 1()kkxx k = 0, 1, 2, . . (x) 的不动点的不动点f (x) = 0 x = (x)等价变换等价变换f (x

3、) 的零点的零点当迭代序列收敛时，称迭代公式收敛或迭代收敛，否则称迭代发散。当迭代序列收敛时，称迭代公式收敛或迭代收敛，否则称迭代发散。这种求非线性方程根的方法称为迭代法。这种求非线性方程根的方法称为迭代法。 迭代迭代公式公式迭迭代代函函数数目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束求解非线性方程的迭代法求解非线性方程的迭代法 2. 迭代法的收敛性迭代法的收敛性关于迭代法的收敛性与迭代函数之间的关系，我们不加证明地给出如下几关于迭代法的收敛性与迭代函数之间的关系，我们不加证明地给出如下几个定理。个定理。目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束求解非线性方程的迭代法求解非线性方程的迭代法 2. 迭

4、代法的收敛性迭代法的收敛性目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束求解非线性方程的迭代法求解非线性方程的迭代法定理定理1的两个条件有时较难验证也较难满足，这时常用的是局部收敛条件。的两个条件有时较难验证也较难满足，这时常用的是局部收敛条件。所谓局部收敛，指的是迭代公式在所谓局部收敛，指的是迭代公式在x*的某个邻域是收敛的。的某个邻域是收敛的。关于局部收敛有如下的定理。关于局部收敛有如下的定理。 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束求解非线性方程的迭代法求解非线性方程的迭代法 3.迭代法的局部收敛性迭代法的局部收敛性目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束求解非线性方程的迭代法求解非线性方程

5、的迭代法4.收敛的阶收敛的阶为了进一步研究收敛速度问题，引入阶的概念：为了进一步研究收敛速度问题，引入阶的概念： 特别地特别地,1阶收敛称为线性收敛，阶收敛称为线性收敛，2阶收敛称为平方收敛；阶收敛称为平方收敛；若若p=1,c=0时，通常称为超线性收敛时，通常称为超线性收敛.显然，显然，p越大收敛越快。越大收敛越快。 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束求解非线性方程的迭代法求解非线性方程的迭代法4.收敛的阶收敛的阶定理定理3可以利用泰勒展开式加以证明可以利用泰勒展开式加以证明目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束求解非线性方程的迭代法求解非线性方程的迭代法二、弦截法二、弦截法 1. 弦

6、截法的算法过程弦截法的算法过程(1)过两点过两点(a,f (a),(b,f (b)作一直线作一直线,它与它与x轴有一个交点轴有一个交点,记为记为x1;(2)如果如果f (a)f (x1)0,过两点过两点(a,f (a),(x1,f (x1 )作一直线作一直线,它与它与x轴的交点轴的交点记为记为x2, 否则过两点否则过两点(b,f (b),(x1,f (x1 )作一直线作一直线,它与它与x轴的交点记为轴的交点记为x2；(3)如此下去如此下去,直到直到|xn- -xn- -1|e e , 就可认为就可认为xn为为 f (x)=0在区间在区间a,b上的一上的一个根。个根。目录目录上页上页下页下页返回

7、返回结束结束求解非线性方程的迭代法求解非线性方程的迭代法2. 弦截法的迭代公式弦截法的迭代公式 0)()(),()()(0)()(),()()(),()()(111kkkkkkkkxfafbfbfxfbxbxxfafafafxfaxaxafafbfabax目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束求解非线性方程的迭代法求解非线性方程的迭代法 3.弦截法的弦截法的Matlab编程实现编程实现function root=chord_cut(f,a,b,e)%弦截法求函数弦截法求函数f在区间在区间a,b上的一个零点上的一个零点%f函数名函数名,a区间左端点区间左端点,b区间右端点区间右端点,e根的精度

8、根的精度,root函数的零点函数的零点function root,n=chord_cut2(f,a,b,e)%弦截法求函数弦截法求函数f在区间在区间a,b上的一个零点上的一个零点%f函数名函数名,a区间左端点区间左端点,b区间右端点区间右端点,e根的精度根的精度,root函数的零点函数的零点,n迭代次数迭代次数目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束求解非线性方程的迭代法求解非线性方程的迭代法目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束求解非线性方程的迭代法求解非线性方程的迭代法三、牛顿法三、牛顿法 1. 牛顿法的基本思想牛顿法的基本思想用线性方程来近似非线性方程，即采用线性化方法，用线性方程来近

9、似非线性方程，即采用线性化方法，对于非线性方程对于非线性方程 f (x)=0 ,将将 f (x) 在在 xk 处作处作 Taylor 展开展开,去掉高去掉高阶项后得阶项后得)()()(kkkxxxfxfxf 如果如果f(xk)0,用用xk+1代替代替x,由由f(x)=0可得下列迭代公式可得下列迭代公式, 2 , 1,)( )(1 kxfxfxxkkkk目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束求解非线性方程的迭代法求解非线性方程的迭代法2. 牛顿迭代公式牛顿迭代公式 , 2 , 1,)( )(1 kxfxfxxkkkk称上式为方程称上式为方程f(x)=0的牛顿迭代公式的牛顿迭代公式, 简称牛顿法

10、。简称牛顿法。牛顿法具有明显的几何意义，牛顿法具有明显的几何意义， )( )(kkkxxxfxfy 是曲线在点是曲线在点(xk, f(xk)处的切线方程。处的切线方程。xk+1就是切线与就是切线与x轴交点的横坐标，轴交点的横坐标，所以牛顿法就是用切线与所以牛顿法就是用切线与x轴交点的横坐标近似代替曲线与轴交点的横坐标近似代替曲线与x轴交点轴交点的横坐标。的横坐标。因此牛顿法也称切线法。因此牛顿法也称切线法。 目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束求解非线性方程的迭代法求解非线性方程的迭代法xy)(xfy )(,(kkxfx*xkx1 kx目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束求解非线性方程

11、的迭代法求解非线性方程的迭代法3. 牛顿法的收敛速度牛顿法的收敛速度,)( )()(xfxfxx 经计算得经计算得 *)( *)(*)(,*)( (*)(*)(*)( 2xfxfxxfxfxfx 因此因此,若若x*是是f(x)=0的单根的单根,则牛顿法是至少则牛顿法是至少2阶收敛的；阶收敛的；进一步分析还可以发现进一步分析还可以发现,当当x*是是f(x)=0的重根时的重根时,牛顿法只是牛顿法只是1阶收敛阶收敛的，的，并且重数越高，收敛越慢。并且重数越高，收敛越慢。 牛顿法的迭代牛顿法的迭代函数函数目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束求解非线性方程的迭代法求解非线性方程的迭代法4. 牛顿法的编程实现牛顿法的编程实现function root=newton1(f,a,b,e)%牛顿法求函数牛顿法求函数f在区间在区间a,b上的一个零点上的一个零点 %f函数名函数名,a区间左端点区间左端点,b区间右端点区间右端点,e根的精度根的精度,root函数的零点函数的零点function root,n=newton2(f,a,b,e)%牛顿法求函数牛顿法求函数f在区间在区间a,b上的一个零点上的一个零点 %f函数名函数名,a区间左端点区间左端点,b区间右端点区间右端点,e根的精度根的精度,root函数