空间向量夹角和距离公式PPT课件

1、二、距离与夹角1.距离公式123123(,),( ,)aa aabb b b设则2222123| aa aaaa2222123| bb bbbb（1）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长 方体的对角线的长度。CD1ADB1A1C1Ba1a2a3a第1页/共21页（2）空间两点间的距离公式在如图的空间直角坐标系212121(,)xxyyzz_ABxzyOikjAB111222( ,), (,).A x y zB xyz222212121()()()xxyyzz| ABAB AB第2页/共21页cos,1 a bab与 cos,0 a babcos,| | a ba bab1 122

2、3 3222222123123;a ba ba baaabbb2.两个向量夹角公式思考：当 及 时， 的夹角在什么范围内？0 cos,1 a b1 cos,0 a b, a b123123(,),( ,)aa a abb b b设则 （1）当 时， 同向； （2）当 时， 反向； （3）当 时，。注意cos,1 a bab与 第3页/共21页练习一：1.求下列两个向量的夹角的余弦：(1)( 1,1,1),( 1,0,1) ; abcos,| | a ba bab22|( 1)( 1)13, a2|( 1)0 1. 2 b解:( 1)( 1)( 1)01 12 a b26.33 2(2)(2,

3、3, 3),(1,0,0) ;abcos,_ a b12第4页/共21页练习一：(1)( 3,1,5),(0,2,3) .CD解:| CDCD CD222(03)( 21)(35) 22.2.求下列两点间的距离：(2)(1,1,0), (1,1,1) .AB| _AB1第5页/共21页三、应用举例例1已知A(3，3，1)、B（1，0，5），求：（1）线段AB的中点坐标和长度；解：1()2 OMOAOBOABM设M（x, y, z)为线段AB的中点，分析：关键是怎样将点转化成向量！第6页/共21页 A B、 到两点距离相等的点的坐标满足的条件是(, )xy z46870 xyz例1已知A(3，3

4、，1)、B（1，0，5），求：（2）到A、B两点距离相等的点P（x，y，z)的坐标 x，y，z满足的条件。分析：到两点距离相等直接做第7页/共21页练习P42 已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),求证是直角三角形.第8页/共21页例2如图，在正方体中， ，求与所成的角的余弦值。1111ABCD ABCD11B E11114ABD F1BE1DF设正方体的棱长为1，建立如图空间直角坐标系，得Oxyz111111151516cos,.17| |171744 BE DFBEDFBEDF解：xyzCB1A1D1C1BDAE 1 OF 1 (1,1,0) ,B11(0,0,0

5、) ,0, 1 .4，DF131,1 ,4E第9页/共21页练习P421111,ABCDABC DMAB在正方体中是1,.BCM的中点 求对角线D 与所成角的余弦值xyzOCB1A1D1C1BDAM解：1,设正方体的棱长为 建立如图,Oxyz的空间直角坐标系得1(0,0,0),(0,1,0),(1,0).2DCM1(1,1,1),B11(1,1,1),(1,0).2DBCM 15|3,|.2OBCM 11.2DB CM 111115cos,.15| BE DBDBMCDBMC第10页/共21页例5 求证:如果两条直线同垂直于一个平面,则这两条直线平行./.OABDOBOABD已知：直线平面 ，

6、直线平面 ，、 为垂足。求证：DBAOxyz分析:怎样建系？ikj第11页/共21页 如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ,则称这个向量垂直于平面 ,记作 aa.a,.aa如果那么向量 叫做平面 的法向量,.alal如果那么向量 叫做直线 的法向量aal第12页/共21页练习P42解:1111,ABCDABC DM N在正方体中分别是1,.11AA , B B的中点 求直线C M 与D N 所成角的正弦值xyzOCB1A1D1C1BDAMN1,设正方体的棱长为 建立如图,Oxyz的空间直角坐标系得11(0,0,1),(0,1,0),(1,0,).2DCM1(1,1,),2N111(1,

7、1,),(1, 1, ).22D NCM 133|,|.22D NCM 11.4DB CM 11111cos,.9| BE DBDBMCDBMC14 5sin,.9 DBMC第13页/共21页异面直线距离：已知两条异面直线所成的角为，在直线a，b上分别取，已知长d ,A Em AFn EFlAA，求求公公垂垂段段的的第14页/共21页四、课堂小结：1.基本知识：（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；（2）两个向量的夹角公式。 用向量计算或证明几何问题时，可以先建立空间直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明。2.思想方法：第15页/共21页xyzO补充作业：

8、补充作业：11111,ABCDABC DE F1.若正方体的边长为分别是(1),(2).FAAEF 111CC ,D A的中点.求FE点 到直线的距离CB1A1D1C1BDAEF解:,Oxyz建立如图的空间直角坐标系得11(1,0,0),(1,1,),(,0,1).22AEF111( ,0, 1),( ,1,).222FAFE 56|,|.22FAFE 3.4FE FA 30cos,.10 FE FA30,arccos.10 FE FA第16页/共21页xyzO补充作业：补充作业：11111,ABCDABC DE F1.若正方体的边长为分别是(1),(2).FAAEF 111CC ,D A的中

9、点.求FE点 到直线的距离CB1A1D1C1BDAEF解:56(1)|,|.22FAFE 由知30cos,.10 FE FA30sin,.10 FE FAM,.AEAMFE连结作11| |sin,|22AEFSFAFEFA FEAMFE 5306|.2104AM 6.4AEF故点 到直线的距离为第17页/共21页xyzO补充作业：补充作业：11111,ABCDABC DE F1.若正方体的边长为分别是(1),(2).FAAEF 111CC ,D A的中点.求FE点 到直线的距离CB1A1D1C1BDAEF思路二:M,AEAMFE连结作|sin,AEFAF FE 点 到 直 线 的 距 离 公 式 d= AF在直角三角形 AFM中|sin,|AMAF FEFA | | sin,AMFAAF FE 第18页/共21页A,0,0)B,1,1),(2,0,1),ABCSC2.已知 （1、 （3用向量方法求的面积 。CAB解:第19页/共21页例题：书本例题