结构力学第3讲11.27

1、、内力概念、内力概念 内力是结构承受荷载及变形的能力的体现，可理解内力是结构承受荷载及变形的能力的体现，可理解为在各种为在各种外力作用外力作用下结构内部材料的一种响应。内下结构内部材料的一种响应。内力是看不见的，但可由结构上受有荷载和结构发生力是看不见的，但可由结构上受有荷载和结构发生变形（变形体）体现。变形（变形体）体现。、截面法、截面法若要求某一横截面上的内力，假想用一平面沿杆若要求某一横截面上的内力，假想用一平面沿杆轴垂直方向将该截面截开，使结构成两部分；在截轴垂直方向将该截面截开，使结构成两部分；在截开后暴露的截面上用力（内力）代替原相互的约束。开后暴露的截面上用力（内力）代替原相互的

2、约束。对于截开后结构的两部分上，截面上的内力已成对于截开后结构的两部分上，截面上的内力已成为外力，因此，由任一部分的静力平衡条件，均可为外力，因此，由任一部分的静力平衡条件，均可列出含有截面内力的静力平衡方程。解该方程即将列出含有截面内力的静力平衡方程。解该方程即将内力求出。内力求出。、截面内力、截面内力截开一根梁式杆件的截面上有三个内力（分量），截开一根梁式杆件的截面上有三个内力（分量），即：轴力即：轴力N N 、剪力、剪力QQ和弯矩和弯矩 。 、内力的定义、内力的定义N N：截面上平行于截面外法线方向的正应力的代数：截面上平行于截面外法线方向的正应力的代数和，一般以受拉为正。和，一般以受拉

3、为正。Q Q：截面上垂直于截面法：截面上垂直于截面法 线方向的切应力的代数和，线方向的切应力的代数和，以以使隔离体产生顺时针转使隔离体产生顺时针转动动为正。为正。 ：截面上正应力对截面：截面上正应力对截面中性轴的力矩代数和，对中性轴的力矩代数和，对 梁一般规定使其下部受拉梁一般规定使其下部受拉为正为正。）内力计算式内力计算式（用截面一侧上外力表达的方式）：（用截面一侧上外力表达的方式）：N N截面一侧所有外力在杆轴平行方向上投影截面一侧所有外力在杆轴平行方向上投影 的代数和的代数和。Q Q截面一侧所有外力在杆轴垂直方向上投影的代截面一侧所有外力在杆轴垂直方向上投影的代 数和。左上为正，右下为正

4、。数和。左上为正，右下为正。 截面一侧所有外力对截面形心力矩代数和。弯截面一侧所有外力对截面形心力矩代数和。弯 矩的竖标画在杆件受拉一侧。矩的竖标画在杆件受拉一侧。 例例3-1-13-1-1求图（求图（a a）所示简支梁在图示荷载下截）所示简支梁在图示荷载下截面的内力。面的内力。解：解：1 1）支座反力）支座反力 A=0 FBy41042100(4/5)2=0 Fby=60kN () B=0 FAy=60kN () Fx= 0 FAx+100(3/5)=0 FAx=60kN ( )由由y= 0校校核，满足。核，满足。）截面内力）截面内力x=0 NC60=0 NC=60 kN y=0 QC60+

5、101.5 =0QC=45kNC=0 C601.5101.5(1.5/2)=0 C101.25 kNm （下侧受拉）（下侧受拉） ）计算支座反力）计算支座反力去掉梁的支座约束，代以支座约束反力，并假定去掉梁的支座约束，代以支座约束反力，并假定反力的方向，建立梁的整体平衡方程。反力的方向，建立梁的整体平衡方程。）求）求C C截面的内力截面的内力切开过切开过C C点的横截面，将梁分成两部分。取左侧点的横截面，将梁分成两部分。取左侧部分考虑，其暴露的截面上按规定的内力的正方向部分考虑，其暴露的截面上按规定的内力的正方向将内力示出，建立静力平衡方程。将内力示出，建立静力平衡方程。说明：计算内力要点：说

6、明：计算内力要点：）所取的隔离体（包括结构的整体、截面法截取的局）所取的隔离体（包括结构的整体、截面法截取的局部），其部），其隔离体周围的所有约束必须全部切断并代以约隔离体周围的所有约束必须全部切断并代以约束力、内力束力、内力。）对未知外力（如支座反力），可先假定其方向，由）对未知外力（如支座反力），可先假定其方向，由计算后所得结果的正负判断所求力的实际方向，并要求计算后所得结果的正负判断所求力的实际方向，并要求在计算结果后的圆括号内用箭线表示实际方向在计算结果后的圆括号内用箭线表示实际方向。）计算截面的内力时，）计算截面的内力时，截面两侧的隔离体可任取其一截面两侧的隔离体可任取其一，一般按其

7、上外力最简原则选择。一般按其上外力最简原则选择。截面内力均按规定的正截面内力均按规定的正方向画出方向画出。二、荷载与内力的关系二、荷载与内力的关系、内力图概念、内力图概念表示结构上所有截面的轴力、剪力和弯矩分布的图形表示结构上所有截面的轴力、剪力和弯矩分布的图形称为内力图。称为内力图。 作内力图的最基本的方法是，按内力函数作内力图。作内力图的最基本的方法是，按内力函数作内力图。）建立表示截面位置的）建立表示截面位置的x坐标坐标）取）取x处的（即处的（即K截面）以右部分建立平衡方程截面）以右部分建立平衡方程y= 0得梁段的剪力函数：得梁段的剪力函数：FQk70-20 x ( 0 x4) 梁段的剪

8、力图是一条斜直线，取该区段内任意梁段的剪力图是一条斜直线，取该区段内任意两截面的座标值代入函数，既可画出该区段的剪力两截面的座标值代入函数，既可画出该区段的剪力图。内力函数是分段的连续函数。图。内力函数是分段的连续函数。、荷载与内力的关系、荷载与内力的关系微分关系：微分关系： dFN/dx=-qx dFQ/dx=-qy dM/dx=Q d2M/dx2=-qy增量关系：增量关系： D DFN=-FPx D DFQ=-FPy D DM=m）微分关系及几何意义：）微分关系及几何意义： dFN/dx=-qx dFQ/dx=-qy dM/dx=Q d2M/dx2=-qy（）在无荷载区段，（）在无荷载区段

9、，QQ图为水平直线；图为水平直线； 当当QQ时，时，图为斜直线图为斜直线; ; 当当QQ时，时，图为水平直线。图为水平直线。（）在均布荷载区段，（）在均布荷载区段，QQ图为斜直线；图为斜直线；图为抛图为抛 物线，且凸向与荷载指向相同。物线，且凸向与荷载指向相同。 ) )增量关系及几何意义增量关系及几何意义： D DFN=-FPx D DFQ=-FPy D DM=m （）水平集中力（）水平集中力F FPxPx作用点两侧截面作用点两侧截面F FN N图有突变，图有突变， 其突变值等于其突变值等于F FPxPx。F FQQ图和图和图不受影响。图不受影响。 （）竖向集中力（）竖向集中力F FPyPy作

10、用点两侧截面作用点两侧截面F FQ Q图有突变，图有突变， 其突变值等于其突变值等于F FPyPy。图有折点，其折点的尖角与图有折点，其折点的尖角与 F FPyPy方向相同；方向相同；F FN N图不受影响。图不受影响。 （）集中力偶（）集中力偶作用点两侧截面的作用点两侧截面的图有突变，图有突变， 其突变值等于其突变值等于；F FN N图和图和F FQQ图不受影响。图不受影响。 、利用荷载和内力关系的几何意义、利用荷载和内力关系的几何意义, ,可由荷载的分可由荷载的分布和类型定性地判断或校核区段上的内力图形状以布和类型定性地判断或校核区段上的内力图形状以及突变点和突变值的大小。及突变点和突变值

11、的大小。 三、叠加法作弯矩图三、叠加法作弯矩图1 1、简支梁的弯矩图叠加法、简支梁的弯矩图叠加法、弯矩图叠加的实质：、弯矩图叠加的实质：指弯矩竖标的叠加（而不是图形的简单叠加），指弯矩竖标的叠加（而不是图形的简单叠加），当同一截面在两个弯矩竖标在基线不同侧时，叠加当同一截面在两个弯矩竖标在基线不同侧时，叠加后是两个竖标绝对值相减，弯矩竖标画在绝对值大后是两个竖标绝对值相减，弯矩竖标画在绝对值大的一侧；当两个竖标在基线同一侧时，则叠加后是的一侧；当两个竖标在基线同一侧时，则叠加后是两个竖标绝对值相加，竖标画在同侧。两个竖标绝对值相加，竖标画在同侧。基线接力法概念。基线接力法概念。、直杆段弯矩图的

12、区段叠加法、直杆段弯矩图的区段叠加法直杆区段的弯矩图叠加可利用简支梁的弯矩图叠加直杆区段的弯矩图叠加可利用简支梁的弯矩图叠加法。其步骤是：法。其步骤是：（）计算直杆区段两端的最后弯矩值，以杆轴为（）计算直杆区段两端的最后弯矩值，以杆轴为基线画出这两个值的竖标，并将两竖标连一直线；基线画出这两个值的竖标，并将两竖标连一直线；（）将所连直线作为新的基线，叠加相应简支梁（）将所连直线作为新的基线，叠加相应简支梁在跨间荷载作用下的弯矩图。在跨间荷载作用下的弯矩图。例例3-1-23-1-2作图示简支梁的内力图。作图示简支梁的内力图。解：（）求支座反力解：（）求支座反力（）求控制截面内力（）求控制截面内力

13、取截面以左：取截面以左： F FQCQC=70-20=70-204=4=10 kN10 kN M MC C=70=704 420204 42=120kNm (2=120kNm (下侧受拉下侧受拉) )取截面取截面以右：以右： QDBQDB50kN50kN B B5050100kNm (100kNm (下侧受拉下侧受拉) )取截面取截面以右：以右： QDCQDC5050404010kN10kN(3(3）作内力图）作内力图区段叠加法求、截面弯矩；区段叠加法求、截面弯矩；E E20204 42 2/8/8120/2120/2100kNm (100kNm (下侧受拉下侧受拉) )40404/44/41

14、20/2120/2100kNm (100kNm (下侧受拉下侧受拉) )说明：集中力或集中力偶作用点，注意对有突变的说明：集中力或集中力偶作用点，注意对有突变的内力应考虑分两侧截面分别计算。内力应考虑分两侧截面分别计算。例例3-1-3 3-1-3 求作图示伸臂梁的求作图示伸臂梁的、图。、图。 分析：仅有竖向荷载作用时，梁的内力只有弯矩和剪分析：仅有竖向荷载作用时，梁的内力只有弯矩和剪力。剪力图的控制截面在、力。剪力图的控制截面在、和和，而弯矩，而弯矩图取截面即可，综合考虑，取控制截面为截面、图取截面即可，综合考虑，取控制截面为截面、和和。解：（）支座反力解：（）支座反力梁的整体平衡方程梁的整体

15、平衡方程=0 =0 F Fy y=140.67 kN() =140.67 kN() =0 =0 F Fy y=27.33 kN () =27.33 kN () x x=0 =0 F Fx x= 36 kN ()= 36 kN () 由由y y=0=0校核，校核，满足。满足。（2 2）计算控制截面的剪力）计算控制截面的剪力并作并作F FQ Q图图取支座以左：取支座以左： F FQBCQBC= 60= 604/5= 48 kN4/5= 48 kN取支座以左：取支座以左：F FQBDQBD = 60 = 604/5 4/5 140.67140.67= = 92.67 kN92.67 kN(3) (3

16、) 计算控制截面的弯矩并作图计算控制截面的弯矩并作图取截面取截面L L以左：以左： 27.3327.334 420204 42=2=50.68 kNm50.68 kNm ( (上侧受拉上侧受拉) )取截面取截面R R以左：以左： B B27.3327.334 420204 42+100 =49.32 kNm2+100 =49.32 kNm ( (下侧受拉下侧受拉) )取截面取截面B B以右：以右： B BB B=60=604 42/5 =96 kNm (2/5 =96 kNm (上侧受拉）上侧受拉） 单跨静定梁小结单跨静定梁小结要求：要求：）理解内力、内力图的概念；）理解内力、内力图的概念；）

17、了解梁的主要受力、变形特点；）了解梁的主要受力、变形特点；）理解并掌握截面法计算内力的方法；）理解并掌握截面法计算内力的方法；）熟练掌握用叠加法做直杆段的弯矩图。）熟练掌握用叠加法做直杆段的弯矩图。本节难点及重点：本节难点及重点：）内力正、负号的判断；）内力正、负号的判断；）叠加法做弯矩图。）叠加法做弯矩图。多跨静定梁多跨静定梁 多跨静定梁由相互在端部铰接、水平放置的若干直多跨静定梁由相互在端部铰接、水平放置的若干直杆件与大地一起构成的结构。杆件与大地一起构成的结构。一、多跨静定梁的组成及传力特征一、多跨静定梁的组成及传力特征对上图所示梁进行几何组成分析：对上图所示梁进行几何组成分析：杆与大地

18、按两个刚片的规则组成无多余约杆与大地按两个刚片的规则组成无多余约束的几何不变体，可独立承受荷载；然后杆和束的几何不变体，可独立承受荷载；然后杆和杆也分别按两个刚片的规则依次扩大先前已形杆也分别按两个刚片的规则依次扩大先前已形成的几何不变体。显然，杆是依赖于以右的成的几何不变体。显然，杆是依赖于以右的部分才能承受荷载，而杆是依赖于以右的部部分才能承受荷载，而杆是依赖于以右的部分才能承受荷载的。或者说，杆被杆支承分才能承受荷载的。或者说，杆被杆支承，杆被杆支承。根据各杆之间这种依赖、，杆被杆支承。根据各杆之间这种依赖、支承关系，引入以下两个概念：支承关系，引入以下两个概念： 基本部分基本部分： 结

19、构中不依赖于其它部分而独立与结构中不依赖于其它部分而独立与大地形成几何不变的部分大地形成几何不变的部分。 附属部分附属部分： 结构中依赖基本部分的支承才能保结构中依赖基本部分的支承才能保持几何不变的部分。持几何不变的部分。 把结构中各部分之间的这种依赖、支承关系形象把结构中各部分之间的这种依赖、支承关系形象的画成如图示的的画成如图示的层叠图层叠图，可以清楚的看出，可以清楚的看出多跨静定多跨静定梁所梁所具有具有的的如下如下特征特征： ) )组成顺序：先基本部分组成顺序：先基本部分，后，后附属部分附属部分； ) ) 传力顺序：先附属部分，后基本部分传力顺序：先附属部分，后基本部分。 由于这种多跨静

20、定梁的层叠图象阶梯，可称为阶由于这种多跨静定梁的层叠图象阶梯，可称为阶梯形多跨静定梁。梯形多跨静定梁。二、二、 多跨静定梁的内力计算多跨静定梁的内力计算多跨静定梁的内力总能由静力平衡条件求出。关多跨静定梁的内力总能由静力平衡条件求出。关键是按怎样的途径使计算概念清晰、简明。键是按怎样的途径使计算概念清晰、简明。例例3-2-13-2-1计算图示多跨静定梁，并作内力图。计算图示多跨静定梁，并作内力图。解：按层叠图依次取各单跨梁计算解：按层叠图依次取各单跨梁计算MA=0 FCy4+(10522/2)6+20=0FCy=12.5kN ()MC=FAy420+(522/210)2=0FAy=7.5 kN

21、 ()Fx= 0 FAx+522/2=0 FAx=5kN ()说明：说明：（）按层叠图从上往下的顺序，画各单跨梁的受（）按层叠图从上往下的顺序，画各单跨梁的受力图，并按这个顺序逐一计算各单跨梁的约束力。力图，并按这个顺序逐一计算各单跨梁的约束力。 杆的约束力有个，如简支梁的计算。杆的约束力有个，如简支梁的计算。 杆上没有直接作用的外荷载（注意铰上作杆上没有直接作用的外荷载（注意铰上作用的集中荷载用的集中荷载F FP P可放在铰的任意侧），但在处有可放在铰的任意侧），但在处有杆部分传来的已知约束力杆部分传来的已知约束力F FPyPy。该杆的计算相当。该杆的计算相当于伸臂梁的计算，其上的荷载即是由

22、其上的附属部于伸臂梁的计算，其上的荷载即是由其上的附属部分由约束处传来的已知约束力。分由约束处传来的已知约束力。 杆是整个梁的基本部分，有三个与大地相连杆是整个梁的基本部分，有三个与大地相连的待求的支座约束力，其上除了有在处由以右的待求的支座约束力，其上除了有在处由以右部分传来的已知约束力，还有直接作用的外荷载部分传来的已知约束力，还有直接作用的外荷载F FP P 和和mm。该杆仍是伸臂梁的计算。该杆仍是伸臂梁的计算。（）（） 将所有单根梁的约束力求得后，即可将各单跨将所有单根梁的约束力求得后，即可将各单跨梁的内力图作出后汇集，也可先汇集成整体再一次作梁的内力图作出后汇集，也可先汇集成整体再一

23、次作内力图。注意段上集中力偶作用时弯矩图的叠加内力图。注意段上集中力偶作用时弯矩图的叠加特点。特点。（）（）当多跨静定梁的附属部分上有外荷载时，该外当多跨静定梁的附属部分上有外荷载时，该外荷载将使该附属部分产生内力，并传给它以下的基本荷载将使该附属部分产生内力，并传给它以下的基本部分使其也产生内力；当在其基本部分上有外荷载时部分使其也产生内力；当在其基本部分上有外荷载时，该外荷载仅使该基本部分（及以下）产生内力，对，该外荷载仅使该基本部分（及以下）产生内力，对其上的附属部分不产生内力其上的附属部分不产生内力。例例3-2-23-2-2分析图示多跨静定梁可分解成单跨梁分分析图示多跨静定梁可分解成单

24、跨梁分别计算的条件，并作梁的别计算的条件，并作梁的F FQQ、MM图。图。分析：（）图示梁的荷载以及约束的方向，是竖分析：（）图示梁的荷载以及约束的方向，是竖向平行力系。一个平面平行力系只能列两个独立的向平行力系。一个平面平行力系只能列两个独立的平衡方程，解两个未知数。平衡方程，解两个未知数。（）杆有两个与大地相连的竖向支座链杆，（）杆有两个与大地相连的竖向支座链杆，当仅在竖向荷载作用下时，可维持这个平行力系的当仅在竖向荷载作用下时，可维持这个平行力系的平衡。所以，杆在仅有竖向荷载的作用下，可平衡。所以，杆在仅有竖向荷载的作用下，可视为与杆同等的基本部分。视为与杆同等的基本部分。解：（）画层叠

25、图解：（）画层叠图（）计算各单跨梁的约束力（）计算各单跨梁的约束力按层叠图以次画出各单跨梁的受力图，注意杆按层叠图以次画出各单跨梁的受力图，注意杆在杆端只有竖向约束力，并按由上向下的顺序在杆端只有竖向约束力，并按由上向下的顺序分别计算。分别计算。（）作内力图（）作内力图说明：本例中杆是不直接与大地相连的杆件，说明：本例中杆是不直接与大地相连的杆件，称称多跨静定梁小结多跨静定梁小结了解多跨静定梁两种基本类型的几何组成特点。了解多跨静定梁两种基本类型的几何组成特点。多跨静定梁分层计算的目的，为了不解联立方程。多跨静定梁分层计算的目的，为了不解联立方程。计算要点：按先附属，后基本的顺序。这计算要点：

26、按先附属，后基本的顺序。这类杆为类杆为有悬跨多跨静定梁有悬跨多跨静定梁。当仅有竖向荷载作用时，悬跨。当仅有竖向荷载作用时，悬跨梁可视为附属部分；当是任意的一般荷载作用时，梁可视为附属部分；当是任意的一般荷载作用时，杆不能视为附属部分，杆部分也不能作为杆不能视为附属部分，杆部分也不能作为基本部分基本部分。多跨静定梁多跨静定梁 多跨静定梁由相互在端部铰接、水平放置的若干直多跨静定梁由相互在端部铰接、水平放置的若干直杆件与大地一起构成的结构。杆件与大地一起构成的结构。一、多跨静定梁的组成及传力特征一、多跨静定梁的组成及传力特征对上图所示梁进行几何组成分析：对上图所示梁进行几何组成分析：杆与大地按两个

27、刚片的规则组成无多余约杆与大地按两个刚片的规则组成无多余约束的几何不变体，可独立承受荷载；然后杆和束的几何不变体，可独立承受荷载；然后杆和杆也分别按两个刚片的规则依次扩大先前已形杆也分别按两个刚片的规则依次扩大先前已形成的几何不变体。显然，杆是依赖于以右的成的几何不变体。显然，杆是依赖于以右的部分才能承受荷载，而杆是依赖于以右的部部分才能承受荷载，而杆是依赖于以右的部分才能承受荷载的。或者说，杆被杆支承分才能承受荷载的。或者说，杆被杆支承，杆被杆支承。根据各杆之间这种依赖、，杆被杆支承。根据各杆之间这种依赖、支承关系，引入以下两个概念：支承关系，引入以下两个概念： 基本部分基本部分： 结构中不

28、依赖于其它部分而独立与大地结构中不依赖于其它部分而独立与大地形成几何不变的部分形成几何不变的部分。 附属部分附属部分： 结构中依赖基本部分的支承才能保持几结构中依赖基本部分的支承才能保持几何不变的部分何不变的部分。 把结构中各部分之间的这种依赖、支把结构中各部分之间的这种依赖、支承关系形象的画成如图示的承关系形象的画成如图示的层叠图层叠图，可以清楚的看出，可以清楚的看出多多跨静定梁所跨静定梁所具有具有的的如下如下特征特征： ) )组成顺序：先基本部分组成顺序：先基本部分，后，后附属部分附属部分； ) ) 传力顺序：先附属部分，后基本部分传力顺序：先附属部分，后基本部分。 由于这种多跨静定梁的层

29、叠图象阶梯，可称为阶梯形由于这种多跨静定梁的层叠图象阶梯，可称为阶梯形多跨静定梁。多跨静定梁。二、二、 多跨静定梁的内力计算多跨静定梁的内力计算多跨静定梁的内力总能由静力平衡条件求出。关多跨静定梁的内力总能由静力平衡条件求出。关键是按怎样的途径使计算概念清晰、简明。键是按怎样的途径使计算概念清晰、简明。例例3-2-13-2-1计算图示多跨静定梁，并作内力图。计算图示多跨静定梁，并作内力图。解：按层叠图依次取各单跨梁计算解：按层叠图依次取各单跨梁计算MA=0 FCy4+(10522/2)6+20=0FCy=12.5kN ()MC=FAy420+(522/210)2=0FAy=7.5 kN ()F

30、x= 0 FAx+522/2=0 FAx=5kN ()说明：说明：（）按层叠图从上往下的顺序，画各单跨梁的受（）按层叠图从上往下的顺序，画各单跨梁的受力图，并按这个顺序逐一计算各单跨梁的约束力。力图，并按这个顺序逐一计算各单跨梁的约束力。 杆的约束力有个，如简支梁的计算。杆的约束力有个，如简支梁的计算。 杆上没有直接作用的外荷载（注意铰上作杆上没有直接作用的外荷载（注意铰上作用的集中荷载用的集中荷载F FP P可放在铰的任意侧），但在处有可放在铰的任意侧），但在处有杆部分传来的已知约束力杆部分传来的已知约束力F FPyPy。该杆的计算相当。该杆的计算相当于伸臂梁的计算，其上的荷载即是由其上的附

31、属部于伸臂梁的计算，其上的荷载即是由其上的附属部分由约束处传来的已知约束力。分由约束处传来的已知约束力。 杆是整个梁的基本部分，有三个与大地相连杆是整个梁的基本部分，有三个与大地相连的待求的支座约束力，其上除了有在处由以右的待求的支座约束力，其上除了有在处由以右部分传来的已知约束力，还有直接作用的外荷载部分传来的已知约束力，还有直接作用的外荷载F FP P 和和mm。该杆仍是伸臂梁的计算。该杆仍是伸臂梁的计算。（）（） 将所有单根梁的约束力求得后，即可将各单将所有单根梁的约束力求得后，即可将各单跨梁的内力图作出后汇集，也可先汇集成整体再一跨梁的内力图作出后汇集，也可先汇集成整体再一次作内力图。

32、注意段上集中力偶作用时弯矩图次作内力图。注意段上集中力偶作用时弯矩图的叠加特点。的叠加特点。（）（）当多跨静定梁的附属部分上有外荷载时，该当多跨静定梁的附属部分上有外荷载时，该外荷载将使该附属部分产生内力，并传给它以下的外荷载将使该附属部分产生内力，并传给它以下的基本部分使其也产生内力；当在其基本部分上有外基本部分使其也产生内力；当在其基本部分上有外荷载时，该外荷载仅使该基本部分（及以下）产生荷载时，该外荷载仅使该基本部分（及以下）产生内力，对其上的附属部分不产生内力内力，对其上的附属部分不产生内力。例例3-2-23-2-2分析图示多跨静定梁可分解成单跨梁分分析图示多跨静定梁可分解成单跨梁分别

33、计算的条件，并作梁的别计算的条件，并作梁的F FQQ、MM图。图。分析：（）图示梁的荷载以及约束的方向，是竖分析：（）图示梁的荷载以及约束的方向，是竖向平行力系。一个平面平行力系只能列两个独立的向平行力系。一个平面平行力系只能列两个独立的平衡方程，解两个未知数。平衡方程，解两个未知数。（）杆有两个与大地相连的竖向支座链杆，（）杆有两个与大地相连的竖向支座链杆，当仅在竖向荷载作用下时，可维持这个平行力系的当仅在竖向荷载作用下时，可维持这个平行力系的平衡。所以，杆在仅有竖向荷载的作用下，可平衡。所以，杆在仅有竖向荷载的作用下，可视为与杆同等的基本部分。视为与杆同等的基本部分。解：（）画层叠图解：（

34、）画层叠图（）计算各单跨梁的约束力（）计算各单跨梁的约束力按层叠图以次画出各单跨梁的受力图，注意杆按层叠图以次画出各单跨梁的受力图，注意杆在杆端只有竖向约束力，并按由上向下的顺序在杆端只有竖向约束力，并按由上向下的顺序分别计算。分别计算。（）作内力图（）作内力图说明：本例中杆是不直接与大地相连的杆件，说明：本例中杆是不直接与大地相连的杆件，称这类杆为称这类杆为有悬跨多跨静定梁有悬跨多跨静定梁。当仅有竖向荷载作。当仅有竖向荷载作用时，悬跨梁可视为附属部分；当是任意的一般荷用时，悬跨梁可视为附属部分；当是任意的一般荷载作用时，杆不能视为附属部分，杆部分载作用时，杆不能视为附属部分，杆部分也不能作为

35、基本部分也不能作为基本部分。多跨静定梁小结多跨静定梁小结了解多跨静定梁两种基本类型的几何组成特点。了解多跨静定梁两种基本类型的几何组成特点。多跨静定梁分层计算的目的，为了不解联立方程。多跨静定梁分层计算的目的，为了不解联立方程。计算要点：按先附属，后基本的顺序。计算要点：按先附属，后基本的顺序。 3-23-2静定刚架静定刚架刚架一般指由若干横（梁或斜梁）杆、竖（柱）刚架一般指由若干横（梁或斜梁）杆、竖（柱）杆构成的，可围成较大空间的结构形式。刚架的杆杆构成的，可围成较大空间的结构形式。刚架的杆件是以弯曲变形为主的梁式杆为主。刚架的特点在件是以弯曲变形为主的梁式杆为主。刚架的特点在于它的刚结点于

36、它的刚结点。 静定刚架的计算步骤：静定刚架的计算步骤：（）（）计算支座反力计算支座反力（或约束力）；（或约束力）；（）（）计算杆端截面内力计算杆端截面内力（简称杆端力）和（简称杆端力）和控制截控制截面内力面内力；（）画各内力图。（）画各内力图。例例3-3-1 3-3-1 计算图示静定刚架的内力，并作内力图。计算图示静定刚架的内力，并作内力图。分析：图示刚架由分析：图示刚架由3 3个支座个支座链杆按两个刚片的规则与大链杆按两个刚片的规则与大地相连，这种形式的刚架为地相连，这种形式的刚架为简单刚架。由于其与简支梁简单刚架。由于其与简支梁的支座类似，又可称简支刚的支座类似，又可称简支刚架。架。解：（

37、）求支座反力解：（）求支座反力 由整体平衡由整体平衡：MA=0 FDy44020420FDy60kN ()MO=0 FAy440220420FAy-20kN ()Fx=0 FAx2040 FAx80kN ()由由 y= 0校核，满足。校核，满足。（）计算杆端力）计算杆端力取取ABAB杆杆B B截面以下部分，计算该杆端杆端力：截面以下部分，计算该杆端杆端力：F Fx x=0=0 F FQBAQBA+20+204 480=0 80=0 F FQBAQBA=0=0 F Fy y=0 F=0 FNBANBA-20=0 F-20=0 FNBANBA=20 kN =20 kN M MB B=0 M=0 M

38、BABA+20+204 42-802-804=0 4=0 MMBABA=160=160 kNm (kNm (右侧受拉右侧受拉) )取取BDBD杆杆B B截面以右部分，计算该杆截面以右部分，计算该杆B B端杆端力：端杆端力：F Fx x=0=0 F FNBDNBD=0 =0 FFy y=0 F=0 FQBDQBD40+60=0 F40+60=0 FQBDQBD= =20kN 20kN MMB B=0 M=0 MBDBD+40+402 260604=0 4=0 MMBDBD = 160 = 160 kNm (kNm (下侧受拉下侧受拉) )由结点由结点B B校核校核F Fx x=0=0F Fy y

39、=0 M=0 MB B=0=0满足。满足。）绘制内力图）绘制内力图由已求得各杆端力，分别按各杆件作内力图。由已求得各杆端力，分别按各杆件作内力图。弯矩图可由已知杆端弯矩，按直杆段的区段叠加法作杆弯矩图可由已知杆端弯矩，按直杆段的区段叠加法作杆件的弯矩图。件的弯矩图。说明：在刚架中，各杆件杆端是作为内力的控制截面的。说明：在刚架中，各杆件杆端是作为内力的控制截面的。杆端力，即杆端内力。杆端力，即杆端内力。刚架的内力正负号规定同梁。刚架的内力正负号规定同梁。例例3-3-3 3-3-3 求图示三铰刚架的支座反力。求图示三铰刚架的支座反力。分析：三铰刚架共分析：三铰刚架共有四个支座反力，有四个支座反力

40、，除了利用整体的三除了利用整体的三个平衡方程，还要个平衡方程，还要考虑铰（两侧截考虑铰（两侧截面）处弯矩为零的面）处弯矩为零的条件。条件。解：由刚架整体平衡条件：解：由刚架整体平衡条件：MA=0FBx2+FBy4202140210=0由铰右侧由铰右侧： MC0 FBx2-FBy2+10=0整理后得关于支座上两个支座反力的联立方程：整理后得关于支座上两个支座反力的联立方程： FBx+2FBy- 65=0解得解得: : FBy = 23.33 kN () FBx- FBy + 5 = 0 FBx = 18.33 kN () 再由刚架整体的平衡条件，求支座的两个支座反再由刚架整体的平衡条件，求支座的

41、两个支座反力：力： Fx=0 FAx=18.3340 =21.67 kN () Fy=0 FBx=23.33+40=16.67 kN ()说明：本例研究的三铰刚架的三个铰的相对位置可说明：本例研究的三铰刚架的三个铰的相对位置可以是任意的，因此是这类（有推力）结构的以是任意的，因此是这类（有推力）结构的一般一般形式，形式，它的支座反力的计算方法也具有它的支座反力的计算方法也具有一般性。一般性。本本例求支座反力时必须解例求支座反力时必须解联立方程联立方程。本例采用的方法。本例采用的方法的原则是，集中先求的原则是，集中先求一个一个铰的两个约束力铰的两个约束力。即以另外即以另外两个铰的铰心两个铰的铰心

42、为矩心为矩心分别建立关于这两个约束力的二分别建立关于这两个约束力的二元一次元一次联立方程联立方程，求解后再计算其它铰处的约束力。，求解后再计算其它铰处的约束力。静定刚架静定刚架 小结小结、要求了解组成刚架的构件及构件的受力特征；、要求了解组成刚架的构件及构件的受力特征；刚结点的传力、位移特征；简单刚架和复合刚架的刚结点的传力、位移特征；简单刚架和复合刚架的概念；内力正负号规定。概念；内力正负号规定。、熟练掌握并能灵活地应用静力平衡条件计算简、熟练掌握并能灵活地应用静力平衡条件计算简单刚架的内力，进一步巩固直杆的区段叠加法作弯单刚架的内力，进一步巩固直杆的区段叠加法作弯矩图的方法；掌握复合刚架的

43、内力计算和内力图制矩图的方法；掌握复合刚架的内力计算和内力图制作方法、途径。作方法、途径。、刚架内力计算基本步骤：刚架内力计算基本步骤：（）计算刚架的支座反力和约束力；（）计算刚架的支座反力和约束力；（）（） 计算杆端力；计算杆端力；（）（） 作内力图（弯矩图作内力图（弯矩图剪力图剪力图轴力图）；轴力图）；（）（） 校核。校核。3 33 3三铰拱三铰拱一、一、拱的概念拱的概念拱的轴线一般是曲线拱的轴线一般是曲线形状。形状。拱拱的受力特征是，在竖向荷载作用下可的受力特征是，在竖向荷载作用下可产生水平支座反力（水平推力产生水平支座反力（水平推力) )。二、拱的分类二、拱的分类、按具有的铰的数量分类

44、：、按具有的铰的数量分类：三铰拱、两铰拱、无铰拱。三铰拱、两铰拱、无铰拱。、按几何组成（或计算方法）分类：、按几何组成（或计算方法）分类：静定拱：三铰拱、带拉杆三铰拱；静定拱：三铰拱、带拉杆三铰拱；超静定拱：两铰拱、无铰拱。超静定拱：两铰拱、无铰拱。三铰拱的内力计算三铰拱的内力计算 三铰拱的构造及各部名称，及相应于拱的简支梁三铰拱的构造及各部名称，及相应于拱的简支梁（相应简支梁）。（相应简支梁）。一、三铰拱的支座反力一、三铰拱的支座反力（一）、三铰拱的支座反力（一）、三铰拱的支座反力三铰拱的支座反力和三铰刚架支座反力的计算方法三铰拱的支座反力和三铰刚架支座反力的计算方法完全相同，即以其中两个铰

45、分别建立力矩平衡方程，完全相同，即以其中两个铰分别建立力矩平衡方程，集中计算剩下的一个铰的两个约束力的方法。集中计算剩下的一个铰的两个约束力的方法。当三铰拱的两个底当三铰拱的两个底铰在一条水平线上时，铰在一条水平线上时，其支座反力的计算常其支座反力的计算常采取如下步骤：采取如下步骤： 、由拱的整体平衡、由拱的整体平衡条件求两个竖向支座条件求两个竖向支座反力；反力；、由拱顶铰、由拱顶铰C C任一侧任一侧的平衡条件，求在这的平衡条件，求在这一侧上的水平支座反一侧上的水平支座反力；力；、再由拱的整体平、再由拱的整体平衡条件，求另一水平衡条件，求另一水平支座反力。支座反力。1、MA=0FBylFP1a

46、1FP2a2FP3a3 =0FBy=(FP1a1+FP2a2+FP3a3)/l () (a) MB=0 FAyl FP1b1FP2b2FP3b3=0FAy=(FP1b1+FP2b2+FP3b3)/l () (b)、MC=0 FByl2FBxf FP3(l2b3)=0FBx=FByl2FP3(l2b3)/f () （c)、Fx=0 FBxFAx=0 FAx=FBx=FH (d)说明：上述计算底铰在一条水平线上的三铰拱支座反力的说明：上述计算底铰在一条水平线上的三铰拱支座反力的方法和步骤，适用于任意荷载作用下的情况。但两个底铰方法和步骤，适用于任意荷载作用下的情况。但两个底铰的水平反力相同仅是在只

47、有竖向荷载作用的情况下的水平反力相同仅是在只有竖向荷载作用的情况下。（二）、三铰拱与相应简支梁的几个关系式：（二）、三铰拱与相应简支梁的几个关系式：相应简支梁，指与拱的跨度、荷载相同的简支梁。容易相应简支梁，指与拱的跨度、荷载相同的简支梁。容易得知三铰拱与相应简支梁的如下几个关系式：得知三铰拱与相应简支梁的如下几个关系式：FAy = F0Ay FBy= F0By FH=M0C/f 。 (3-2)这三个关系式仅在这三个关系式仅在只有竖向荷载作用下只有竖向荷载作用下成立。成立。由第三式分析，在拱上作用的荷载和拱的跨度不变的条由第三式分析，在拱上作用的荷载和拱的跨度不变的条件下，件下，MM0 0C

48、C是一个常数，是一个常数，F FHH与与 f f 得出，拱的推力得出，拱的推力F FH H与它的与它的高跨比高跨比 f / l f / l 有关，即当高跨比有关，即当高跨比f / lf / l越小（越大）越小（越大）, , 则水则水平推力平推力F FH H越大（越小）。越大（越小）。二、拱的内力计算二、拱的内力计算拱的任一截面上一般有三个内力（拱的任一截面上一般有三个内力（M, FM, FQ Q, F, FN N），内力），内力计算的基本方法仍是截面法。与直杆件不同的是拱轴为计算的基本方法仍是截面法。与直杆件不同的是拱轴为曲线时，截面法线曲线时，截面法线角度角度不断改变，截面上不断改变，截面上

49、内力（内力（F FQ Q , F, FN N）的方向的方向也相应改变。也相应改变。例例4-2-1 4-2-1 已知图示三铰拱的拱轴方程为已知图示三铰拱的拱轴方程为y(x)=4fx(lx)/l2，求支座反力及，求支座反力及K K截面的内力。截面的内力。解：解：（）求支座反力（）求支座反力由拱的整体平衡条件：由拱的整体平衡条件：MA = 0 FBy16 1012 284 = 0 FBy = 11.5 kN () MB = 0 FAy16 104 2812 = 0 FAy = 14.5 kN () 取铰以右部分的平衡条件取铰以右部分的平衡条件： MC = 0 FH 4FBy8 + 104 = 0 F

50、H = 13 kN ()（）求截面的内力（）求截面的内力取截面以左部分：取截面以左部分：截面各内力均按正方向画截面各内力均按正方向画（注意：规定拱的轴力以受压为正；剪力和弯矩的（注意：规定拱的轴力以受压为正；剪力和弯矩的规定仍同前）规定仍同前）。确定截面位置参数确定截面位置参数y yK K和和 K K：将截面坐标将截面坐标 x = 4m 代入代入: : y(x)=4fx(lx)/l2和和tanK=dy/dx=4f(l2x)/l2得：得： yK=3m tanK=0.5 则有则有: : K=26.57 sinK=0.447 cosK =0.894建立隔离体的平衡方程，求截面的内力：建立隔离体的平衡

51、方程，求截面的内力：以截面的外法线以截面的外法线n n和切向和切向 的方向分别建立投影的方向分别建立投影方程，求方程，求F FNKNK和和F FQKQK：Fn=0FNK(14.524)sinK 13cosK=0 FNK = 14.528 kN ( FNK = F0QK sinK +FHcosK)F=0FQK(14.524)cosK+13sinK=0 FQK = 0 ( FQK = F0QKcosKFH sinK)以点为矩心的力矩平衡方程，求以点为矩心的力矩平衡方程，求MK：MK=0 MK + 242 + 13314.54 = 0 得：得：MK = 3 kNm ( 下侧受拉下侧受拉 ) ( MK

52、 = M0KFH yK )说明：说明： 对照上述计算拱内力的三个方程式，可对照上述计算拱内力的三个方程式，可以写出如后面括号中三个内力表达式，即：以写出如后面括号中三个内力表达式，即：FNK = F0QK sinK +FHcosKFQK = FQKcosKFH sinK （4-2-2）MK = M0KFH yK上式可作为拱内力的计算公式用，特别是在作拱上式可作为拱内力的计算公式用，特别是在作拱的内力图时。但须注意以下几点：的内力图时。但须注意以下几点：、式（、式（4-2-24-2-2）要在以拱的左底铰为原点的平面）要在以拱的左底铰为原点的平面直角坐标中应用，并仅考虑了竖向荷载的作用。直角坐标中

53、应用，并仅考虑了竖向荷载的作用。、式中、式中 K K 为所计算为所计算K K截面外法线截面外法线n n（或（或K K截面处截面处拱轴切线）与水平拱轴切线）与水平x x坐标的夹角。如果取坐标的夹角。如果取 K K是与水是与水平方向的锐角考虑，则平方向的锐角考虑，则K K截面在左半拱时为正，在截面在左半拱时为正，在右半拱时为负。右半拱时为负。、带拉杆的三铰拱，其支座反力可由整体的平衡条件、带拉杆的三铰拱，其支座反力可由整体的平衡条件完全求得；水平推力由拉杆承受。可将顶铰和拉杆切开，完全求得；水平推力由拉杆承受。可将顶铰和拉杆切开，取任一部分求出拉杆中的轴力。取任一部分求出拉杆中的轴力。三三、 拱的内力图特征拱的内力图特征、拱的内力图特征、拱的内力图特征当当拱轴为曲线时。有：拱轴为曲线时。有：（）不管拱轴区段上是否有分布荷载，拱的各内力图（）不管拱轴区段上是否有分布荷载，拱的各内力图在区段上均为曲线形状；在区段上均为曲线形状；（）（）在竖向集中力在竖向集中力F FP P作用点两侧截面，拱的轴力和剪作用点两侧截面，拱的轴力和剪力有突变，突变值分别