《流体力学》2014.03

1、第第4章章 流动阻力和能量损失流动阻力和能量损失描述管道中的流体流动，常常使用连续性方程和动量方程对其进行动力学描述。其关键点在于建立速度与压强降之间的关系。Flow In Circular Pipes 雷诺数代表惯性力和粘性力。雷诺数不同，这两种力的比值也不同，由此产生内部结构和运动性质完全不同的两种流动状态。 雷诺实验的装置如图5-1所示，主要由恒水位水箱A和玻璃管B等组成。4.1 粘性流体的两种流动状态hf图 4-1 雷诺实验装置4.1.1 Reynolds 实验现象： 1）当流速较小时，管内颜色水呈一细股界限分明的直线流束，如图4-2（a），表明流动稳定，这种流动状态称为层流。2）流速

2、达到某一临界值时，颜色水开始出现摆动，如图4-2（b）。3）流速继续增大，颜色水迅速与周围清水相混，如图4-1（c）所示。图4-2 流动的两种形态（a）（b）（c）紊流或湍流When fluid flow at higher flowrates, the streamlines are not steady and straight and the flow is not laminar. Generally, the flow field will vary in both space and time with fluctuations（波动） that comprise “turbule

3、nce”For this case almost all terms in the Navier-Stokes equations are important and there is no simple solutionp = p (d, , , l, v,)v vzv vzv vz averagev vrv vrv vr averagepPp averageTime层流湍流上临界速度cc下临界速度过渡状态：可能是层流，也可能是湍流与是否有干扰有关过渡区过渡区边界层界限层流边界层湍流边界层Typical laminar boundary-layer velocity profile（剖面图）

4、 Boundary Layer（边界层） 边缘层速度较低的流体层，如水和空气，该层紧靠流体流经的固体表面。典型层流边界层速度分布图4.1.2 沿程损失的确定hfAB221222aabbfpphgggg 对于如图所示的A、B间的管路沿程损失hf ，由Bernoulli 方程令121，则abfpphgab，即，两测压管的液柱差就是两断面间的沿程损失（4.1）大量实验结果表明：mfhk沿程损失hf对于层流：1.75 2m 1fhk对于湍流：2mfhk对于水利光滑管：1.75m 对于水利粗糙管：2m 阻力一次方定律阻力二次方定律4.1.3 雷诺数（Reynolds number）及流动状态的判别定义：

5、惯性力粘滞力雷诺数Re=ReL对于稳定流场，可以表示为压强场p = p (d， ， ， l， u)12p2ld3d参见量纲分析之例5.32lPdd，Re2300ccdRe13800ccd 上临界 Reynolds 数下临界 Reynolds 数工程中一般以下临界雷诺数作为层流和湍流的判断标准ReRe2300cdReRe2300cd层流湍流例4-1 水管通径（内径）d=100mm，流速u=0.5m/s，水的运动粘度v=110-6 m2/s，试确定水的流动状态。若流体为运动粘度v=3110-6 m2/s的油，试确定其流动状态。解：对于水：对于油：460.5 0.1Re5 10Re23001 10c

6、ddv 湍流60.5 0.1Re1613Re230031 10cddv层流例4-2 冲天炉送风管道，管径d=300mm，风量Q=74.2m3/min，风温t =25C，试确定气流的流动状态。解：管路中气流的平均速度：274.26017.510.34QmsA5617.5 0.3Re3.251 10Re230016.15 10cddv查表1-3， t =25C时， v =16.1510-6 m2/s答：气流的流动状态为层流取2030C，v的平均值4.1.4 水利半径及当量直径ReL在第四章量纲分析中，所得到的Reynolds 数 Re，为L是一个具有长度量纲的特征尺寸。它可以是直径，也可以是其它过

7、流断面的特征尺寸，工程计算一般可以用水利学半径RH代替d作为特征尺寸。当然，也可以使用其自身尺寸。关于用自身尺寸的处理方法建议选修或参阅工程实验模拟。（1）湿周：指流体流过的过流断面A上，流体与固体边界的接触长度；即浸湿的固体断面周界长度。用x chi表示。d2d1（2）水利半径RH：有效过流断面A与湿周x的比值对于充满流体的圆管21442HdAdrRd4HdR或规定：任意过流断面形状的水利半径的4倍，称作该断面的水利学直径或当量直径，用dH表示。即44HHAdR 在求解流道内流体的流动状态和计算沿程阻力损失时，用当量直径 dH 作为特征几何尺寸。例4-3 过流断面面积均为A=0.48mm2的

8、正方形管道、宽为高三倍的矩形管道和圆形管道。求：（1）它们各自的湿周和水利半径；（2）正方形和矩形管道的当量直径。解：（1）求湿周和水利半径正方形管道：边长0.480.693aAm湿周44 0.6932.772am水利半径0.480.1732.772HARm矩形管道：边长30.48a a0.4am0.48ab 1.2bm湿周22 0.4 1.23.2abm0.480.153.2HARm水利半径圆形管道：管径44 0.480.782Adm湿周0.782.45dm0.7820.195544HdRm水利半径 从上述计算结果可以看出，过流断面面积虽然相等，但因形状不同，湿周也不相同。湿周越短、水利半径

9、越大。（2）求正方形和矩形管道的当量直径正方形管道：44 0.4840.6934 0.693HHAdRm矩形管道：44 0.4840.620.4 1.2HHAdRm4.2 粘性流体在圆管中的层流流动4.2.1 Boundary layer buildup in a pipeBecause of the shear force near the pipe wall, a boundary layer forms on the inside surface and occupies a large portion of the flow area as the distance downstrea

10、m（顺流） from the pipe entrance increase. At some value of this distance the boundary layer fills the flow area. The velocity profile becomes independent of the axis in the direction of flow, and the flow is said to be fully developed( (完全展开流完全展开流) ).Pipe Entrancevvv层流的发展过程：层流起始阶段：沿流动方向速度分布逐渐改变的阶段层流稳定阶

11、段：即完全展阶段，流动速度分布不再随流动方向发生变化。Typical laminar boundary-layer velocity profile（剖面图） 注意4.2.2 层流管道中流动稳定段的运动规律If the flow fluid is:NewtonianIsothermal（等温的）Incompressible (dose not depend on the pressure)Steady flow (independent on time).Laminar flow (the velocity has only one single component)222xxxxxxxxyz

12、yyyyyyyxyzzzzzzzzxyzduuuuupfuuuuxdttxyzduuuuupfuuuuydttxyzduuuuupfuuuuzdttxyzFrom Navier-Stokes equations因流体流动为层流，并假定管路处于水平x方向，则有2xxxupuuxx因流体为不可压缩流体，则有20 xxxupuuxx220 xpuxr2222222xyz 其中：0 xupxrr 因 p不是r 的函数、r 不是 x 的函数，则上式改写为xdudpddxdrdrdpddrdx对r 积分2rdpCdx因流体符合牛顿内摩擦定律，则有xdudr带入上式，有圆管中层流切应力分布公式因r = 0时

13、， = 0，所以，C= 0。2rdpdx由上式，可得122xxdurdpdpdurdrdrdxdx对 r 积分24xrdpuCdx因r = r0时，ux= 0，所以，2204xrrdpudx 圆管中层流速度分布公式204rdpCdx 0dpdx抛物面umaxu= 020max4xrdpudx 0042000228rrxrrdpdpQru drrdrdxdx 层流圆管中的流量：20208xrQQdpArdx 平均速度：max12xxu圆管中做层流运动的流体平均速度为最大流速的一半。dpdx因表示p沿x方向的变化速度，则可以改写为dppdxl 压强降x方向的长度层流圆管中的流量为：44018128

14、rpdpQllHagen-Poiseuille relation哈根哈根-伯肃叶公式伯肃叶公式4128 Qlpd层流圆管中的压强损失为：Darcy formula（达西）（达西）层流圆管中的沿程损失hf ：对于等直径水平管路中的层流流动，其流速不变；所以有24128642fpQllhdddgdRe64Re264Re2flhdg22flhdg其中，214QQAd沿程阻力系数u的一次方Darcy formula功率：FNFAp QA 24128flNp QQd 沿程损失所损耗功率：2322Aud mA真 实 动 能以 平 均 速 度 计 算 的 动 能层流圆管中的动能修正系数根据第3章中关于动能修

15、正系数的定义因流体为不可压缩流体，且为层流，则由上式可得233212AAud mud AAA223222AAAuud mu d Aud A其中，2204rrdpudl 20208rQQdpArdl 3222200200148Arrrd pd pdrd ld lr000322202200032222008004220800888124rrrrrd rrrrrdrrrrrr 圆管中，层流流动的实际动能是按平均速度计算动能的2倍同理可得，动量修正系数 =4/3例4-4 有一管长3600m，管径300m的管道，输送密度=980kg/m3，运动粘度v = 410-4m2/s的重油。输送流量Q=60L/s

16、，管路始端标高85m，终端标高105m。试求输送管压强降及功率损失。解：因流体属于不可压缩流体，由 Bernoulli 方程221112221222losspupugzgzw又因为稳定流，若不考虑局部损失，所以1221fpppg zzgh21fpg zzh2414ddQdQRevvdd v3444 60 10636.6223004 100.3QRevd 层流对于层流：222646432Re22flvlvlhdgddggd43441281284103600601044.39.810.3fvlQhmgd244.3fhmH O339809.8144.3660 1025.6 10flossfNpQgh

17、QW 功率损失：管路压强损失：219809.811058544.3fpg zzh3618.2 10618.2pPakPa25.6fNkW有用功4.2.3 间隙渗油量的理论分析4.2.3.1平板间隙渗油量 luxy0p0pp pdppd（1）联合流动已知平板宽度为w，其余参数如图所示。平板相对运动速度为u，两端压强差为p。流体受到联合剪切作用而在平行平板间做定常流动，简称联合流动。0pdydzpdp dydzddxdzdxdz因流体做定常流动；且间隙 很小，可以认为流体做层流流动，符合牛顿内摩擦定律。则对于六面微元体有：整理上式，得0dp dydzdxdzdpddxdyuy221udpydx22

18、1upyl 对上式y进行二次积分，并利用边界条件00yu和0y hu 确定积分常数C，则平行平板缝隙中的流动速度分布规律为：2yypuyl则平行平板缝隙流量Q002hhyypQuwdyy wdyl3122wpwQl（2）平板缝隙的压差流动，即平板速度u=0，流动由p引起。平板缝隙的压差流动流动速度分布规律2yypul平板缝隙的压差流动流动流量Q312wpQl平板缝隙的压差流动的压强损失（3）平板缝隙的剪切流动， 即p= 0，流动由平板速度u引起。平板缝隙的剪切流动流动速度分布规律uy平板缝隙的剪切流动流动流量Q2wQ液压元件内部的配合间隙的大小对内漏量影响很大4.2.3.2 环形缝隙渗油量的理

19、论分析lpp pduhhOO2hl同心环形结构如图所示，润滑油的运动粘度为v ，重度为g 。pp p间隙有效断面积：22222ddAd2ddd湿周：d2 d当量直径：44422HHAddRdAdd可以认为润滑油的渗漏运动是层流。则剪切力分布如图（a）所示0d，phluhhOO（a）h1Fhl2Fp wh lw12FF层流时说明间隙的剪切应力分布因流体符合牛顿内摩擦定律，则有dudh 1dupphduh dhdhll 积分得212puhCl 因当h = /2 时，u = 0。则2122pCl则，间隙有效段面上的速度分布为22122puhl抛物线环形缝隙泄漏流量：dQudA2dAdhdhdAd d

20、hh为单边2222dpdQhdhl2222hhdpQhdhl312dpQl同心环形缝隙泄漏流量公式321212dpQplAdl212QpAl同心环形缝隙泄漏平均流速公式轴与孔没有相对运动环形缝隙压强降212 lp 221296Re2fHpllhdg 环形缝隙沿程损失水头96Re环形缝隙阻力系数Re偏心环形结构如图所示，流体的运动粘度为v ，重度为g 。 d er2r1db轴孔配合的偏心为e，对于任意角度 处的间隙为h。因配合间隙很小，r1= r2= r，可将微小 圆弧db可看成平行平板缝隙流动。则3122rdpddQl 00cos1cose021rr其中0e相对偏心率，其最大值max1将 值代

21、入dQ 式，积分320011.5122ddpQl若轴孔之间无轴向相对运动，则32011.512dpQl当max=1 时，偏心环状泄漏是同心泄漏的2.5倍。因此，液压元件应尽量保证同轴，以减少内漏。雷诺数ReL由前面的量纲分析可知：对于稳定流场，可以表示为压强场p = p (d， ， ， l， u)12p2ld3d2lPdd，可以看出圆管与环形渗漏是相似的，只是相差一个比例数4.3 粘性流体的湍流流动All previous parameters involved three fundamental dimensions,Mass, length, and time M 、 L 和 T From

22、 these parameters, three dimensionless groups can be build 2(Re,)plfdvinertiaReViscous forces dvWhen fluid flow at higher flowrates, the streamlines are not steady and straight and the flow is not laminar. Generally, the flow field will vary in both space and time with fluctuations（波动） that comprise

23、 “turbulence”For this case almost all terms in the Navier-Stokes equations are important and there is no simple solutionp = p (d, , , l, v,)v vzv vzv vz averagev vrv vrv vr averagepPp averageTime4.3.2 紊流的有关概念 紊流的结构过渡区过渡区边界层界限层流边界层湍流边界层流体在平面上流动发展过程层流底层厚度极薄，可以认为符合牛顿内摩擦定律；同时速度梯度很大，可以认为是一个常数，即剪切应力恒定不变。层

24、流底层：过渡区（缓冲区）：过渡区厚度很薄，既有层流，又有紊流，处于不稳定状态；一般不单独考虑，一般将其与紊流核心区一起统称为紊流区。紊流核心区（主流区）：由于核心区的流动微团做紊乱的运动，它们相互间发生相互牵连的作用，使其速度趋向同一速度，即平均速度。00.87534.2edR层流底层厚度近似计算公式或032.830eeddRR紊流运动时沿程阻力系数层流底层厚度对能量损失和热交换影响很大紊流中的切向应力在层流底层中，流动属于层流运动，切向应力由牛顿内摩擦定律决定。即0duudyuy紊流区域中，切向应力由两部分组成：（1）层流产生的切向应力，u。（应力的传递性）（2）因紊乱流动产生的附加切向应力

25、或脉动切向应力t 。ttdudy附加切向应力比摩擦切向应力大很多。普朗特Prandtl混合长度理论为了兼顾圆管与平面流动这两种情况，取平面坐标系，如图所示。对于圆管 y 轴方向就是 r 坐标的反方向， y 的最大值为圆管半径R。平面或圆管断面上的时均速度分布都用 表示。( )uu y混 合 长 度xyRlyabyududuuldyduldydudyxu 设在某一瞬时，在时均速度为 的a层上，有一个流体微团，由于某种偶然因素，经过微元面积dA，以 脉动速度沿y 轴正向跳动，其质量流量为 。Prandtl 认为，在微团到达新的位置之前，它原来具有的 保持不变，当它经过l 距离到达时均速度为 的 b

26、层以后，立即与b 层流体混合，从而具有b层的时均流速。但是这个流体微团原来所具有的 x 方向的动量 小于它到 b 层后所具有的 x 方向的动量 。因而它与 b 层流体混合后，必然使整个 b 层流体在 x 方向上的动量有所降低，也就是使其 x 方向上的时均速度有所降低，这样在b层上就出现了一个瞬时的速度脉动 。（“-”号表示它的方向与 x 轴相反）。uyuyu dAuuldu dyyu dA uyduu duldyxuuul dudy 设在时均流动中有a、b两层流体，a层的时均速度为 ，b层的时均速度为 。xu 由于新产生的脉动速度 ，使混合到 b 层的这个流体微团在x方向上产生了一个新的脉动性

27、的动量变化 。按照动量定理，这个动量变化必然引起 a 、b 两层之间的切向作用力dF，所以0yxu du xydFu u dA a 、b两层之间的切应力为txydFu udA 这就是由于脉动引起的 Reynolds 切应力。当 ，微团由 a 层向 b 层脉动，b 层的 ；当 ，微团由 b 层向 a 层脉动，a 层的 。0yu 0 xu 0yu 0 xu 0 xyu u 0txyu u 0011TTxyxydtu u dtu uTT 在时均化的过程中， Reynolds 切应力并不消失，它的时均值为 该式说明，由于脉动原因所产生的雷诺切应力虽然是个脉动量，但它存在时均值，对流动施加确定的影响。P

28、randtl 认为：1yxuk u 2xduuk ldy （即二者成比例）（即 与a、b二层的速度差也成比例）xu由二式可得12yd uuk k ld y 将该式代入Reynolds 切应力公式，即22212duk k ldy令 ，则脉动切应力的时均值。2212k kk2222duduklLdydy式中 称为混合长度。Lkl0011TTxyxydtu u dtu uTT 得后面为了与教材一致，用l 表示混合长度Lxdudy 因为层流底层很薄，可近似用壁面上的切应力0表示。于是积分可得0 xuy 上式表明，在层流底层中速度分布是直线规律，这是层流速度抛物线规律在层流底层中的近似结果。 在粘性底层

29、中xdudy或0 xuy或层流底层的速度分布：0u令，因其具有速度量纲，其被称为切向应力速度。20 xyuyu则或xuu yu速度成线性分布紊流核心区的速度分布对于层流底层以外，y 0，脉动切向应力t远大于Reynolds切向应力u，粘滞力的影响可以忽略不计，可以只考虑脉动切向应力 的影响。所以22duldy根据 Karman 的实验，混合长度的分布规律用l 与 y 的函数关系可近似表示为01ylkyr当0yr时lky将其代入脉动切向应力公式，有01lnxuyCk1lnxuyCuk说明紊流核心中速度ux和 y 成对数关系。假设层流底层与紊流分界面的速度为ub，即：当y = 时，u = ub 。

30、xuu yuxuuu则1lnbuCuk11lnlnbbbuuuyuukuku整理，得11lnbuyuCuk适用于高雷诺数（1）水利光滑管的速度分布Nikuradse 由水利光滑管实验得出k = 0.40，C1= 5.5，代入上式。有2.5ln5.5buyuu5.75lg5.5buyuu或（2）水利粗糙管的速度分布Nikuradse 由水利光滑管实验得出k = 0.40，C1= 8.48，代入上式。有5.75lg8.48buyu：粗糙度结论：圆管紊流时，速度分布规律为：层流底层区：y 0 ，速度为对数分布规律。紊流速度的对数分布规律较准确，但公式复杂。工程计算光滑管道紊流速度时，常采用下式：max0nxuyur其中，r0为圆管半径； umax 圆管中心速度。指数 n 随 Re 而变化。当Re 5104时，n = 1/7，此时的公式称为1/7 指数速度分布。 沿程阻力是造成沿程水头（或压强、能量）损失的原因。计算沿程损失的公式是达西公式。Re,fdNikuradse 将不同管径的管道内壁均匀地粘涂上具有同粒径的砂粒，制成人工粗糙管道进行实验研究，实验范围Re=500106 ，相对粗糙度/d =1/1014 1/30，实验曲线如图所示。