测试技术信及描述

1、第一章 信号及描述第一节 信号的分类与描述一、 信号分类为了深入了解信号的物理实质，将其进行分类研究是非常必要的。以不同的角度来看待信号，可以将信号分为 a. 确定性信号与非确定性信号； b. 连续时间信号与离散时间信号； c. 能量信号与功率信号； （一）按信号的性质分类图1-1 信号的分类描述 1.确定性信号 定义：可以用明确的数学关系式或图表描述的信号称为确定性信号。它可以进一步分为周期信号、非周期信号与准周期信号等。Ø 确定性的数学解析式：即是可以书写出的数学公式；Ø 确定性的图表：在相同的条件下，通过相同的重复性实验所得到的图（曲线）或表（数据）相同。²

2、 确定性信号具有以下两个特性：可以通过重复性实验得到相同的结果；可以预计将来某时刻数值的大小和方向（极性）。(1)周期信号是指经过一定时间可以重复出现的信号，满足条件。 x( t ) = x ( t+nT0 )(1-1)式中T0周期，T0=2/0；。0基频； 。n= 1,2,3 。 例 集中参量的单自由度振动系统（图1-1）作无阻尼自由振动时，其位移x( t )就是确定性的，可用下式确定质点的瞬时位置 （1-2） ² 简谐周期信号的频率为单一频率，其不可再分。如 ，或 在测试技术中，正弦信号和余弦信号统称为正弦信号。² 复杂周期信号可以分解成若干个或无穷个两两频率之比完全为

3、有理数的简谐周期信号叠加形式的信号称为周期性信号。例如，上述两式都可通过三角变换写成标准形式x( t ) = x( t + nt )，即合成一个正弦函数。周期的计算方法：, (2)非周期信号：定义：是确定性信号中不具有周期重复性的信号。x（t）x（nT+t），或者说周期为无穷大。例如，锤子的敲击力、承载缆绳断裂时的应力变化、热电偶插入加热炉中温度的变化过程等，这些信号都属于瞬变非周期信号，并且可用数学关系式描述。 ² 准周期信号：可以分解成若干个或无穷个两两频率之比不完全为有理数的简谐周期信号叠加形式的信号称为准周期性信号。如准周期信号的特征：可以分解，频谱是离散的，但周期无穷大。按

4、复杂周期信号的定义，好象是周期信号，但为有理数，而是无理数，它与、之比均为无理数，这不符合周期信号的定义，不能通过三角变换成一个正弦函数，因为各各频率的最高公约数将趋于零，这意味着合成波形的重复周期T趋于无穷大，波形是非周期的。但它可以用离散谱来表示，即一个合成波形可以分解成若干个（或无穷多）谐波，这是它区别于瞬变非周期信号的关键所在。² 瞬变周期信号：不能用付氏级数法分解成若干个或无穷个谐波分量叠加形成的信号。即为通常所说的非周期信号。如图1-2。2随机信号不能用确定性的数学解析式或图表来描述的信号称为随机信号。是不能准确预测其未来瞬时值，无法用数学关系式描述的信号。特征：不能用重

5、复性实验得到相同的结果；不能预计将来某时刻数值的大小和方向（极性）；符合统计规律。可用概率统计方法由其过去估计其未来。（二）按信号的连续性分类1连续信号信号的数学表示式中的独立变量取值是连续的信号。包括幅值连续（如，炉温随时间变化的曲线），幅值不连续（如人口随时间的变化）。若独立变量和幅值均取连续值的称为模拟信号。 2离散信号信号的数学表示式中的独立变量取值是离散的信号。若离散信号的幅值也是离散的称为数字信号。 分为幅值连续（如采样信号）、幅值不连续（如采用信号经过模数变换量化后的值数字信号）（三） 能量信号和功率信号 1能量信号在非电量测量中，常把被测信号转换为电压或电流信号处理。显然，电压

6、信号x(t )加到电阻R上，其瞬时功率P(t)=x2(t)/R。当R=1时，P(t)= x2(t)。瞬时功率对时间积分就是信号在该积分区间内的能量。因此，人们不考虑信号实际的量纲，而把信号x(t)的平方x2(t)及其对时间的积分分别称为信号的功率和能量。当满足时，则认为信号的能量是有限的，称之为能量有限信号，简称能量信号。 例如矩形脉冲信号、衰减指数函数等。 2功率信号信号在区间的能量是无限的，但在有限区间(t1 ,t2)的平均功率是有限的，即 则称为功率有限信号，或功率信号。二、 信号的描述1时域描述以时间t为独立变量的，直接观测或记录到的信号，称为信号的时域描述。信号时域描述直观地表示出信

7、号瞬时值随时间变化的情况，而不能明显揭示信号的频率组成关系。2频域描述信号以频率f为独立变量的，称为信号的频域描述。频域描述则反映信号的频率组成及其幅值、相角之大小。实际上，两种描述方法可以相互转换，包含同样的信息。把信号的时域描述通过适当的方法变成信号的频域描述，即是以频率为独立变量来表示信号。3. 频谱图的概念 工程上习惯将计算结果用图形方式表示，以fn(0 )为横坐标，bn、an为纵坐标画图，称为实频虚频谱图；以fn为横坐标， An、为纵坐标画图，则称为幅值相位谱；以fn为横坐标，为纵坐标画图，则称为功率谱。例： 图1-4是一个周期方波的一种时域描述、而下式则是其时域描述的另一种形式。若

8、该周期方波应用傅里叶级数展开，即得此式表明该周期方波是由一系列幅值和频率不等、相角为零的正弦信号叠加而成的。实际上此式可改写成其中可见，此式除t之外尚有另一变量为各正弦成分的频率。若视t为参变量，以为独立变量，则此式即为该周期方波的频域描述。第二节 周期信号与离散频谱一、傅立叶级数的三角函数展开式 在有限的区间上，凡满足狄里赫利条件的周期函数（信号）可以展开成傅立叶级数。1. 狄里赫利条件 函数x(t)在闭区间上,如果满足：(1)连续或至多只具有有限个第一类间断点；(2)只具有有限个极值点。则x(t)的傅里叶级数收敛。2. 相关概念连续：设y =f(x)在x0的某邻域内有定义，且有，则称y =

9、f(x)在x=x0处连续。第一类间断点：若x=x0不是y =f(x)的连续点，则称x=x0是y =f(x)的间断点。间断点可以分成两类，即第一类间断点与第二类间断点。若x=x0是y =f(x)的间断点，但y =f(x00)与y =f(x00)都存在，则称x=x0为y =f(x)的第一类间断点。3. 三角函数系（1） 三角函数系：由一系列的三角函数构成的系列，称为三角函数系。（2） 可以证明：当m、n为正整数时，： （3）三角函数系正交性的定义：在三角函数系1、cosx、sinx、cos2x、sin2x、cosnx、sinnx、之中任意两个不同的函数的乘积在区间，-上的积分为0，则称这个三角函数

10、系在该区间上正交。（4）推广：一个函数系u1（x）、u2（x）、u3（x）、un（x）、之中任意两个不同的函数的乘积在某个区间a，b上的积分为0，则称该函数系在该区间上是正交的。所谓三角级数是具有这样性质的级数，是在一个正交系为“基”展开形式。“基”：基础、坐标、参考。4. 傅立叶级数的三角函数展开式 （1-7）式中，常值分量 余弦分量的幅值 （1-8）正弦分量的幅值 T0 周期 圆频率, n = 1,2,3,将展开式中的同频项合并，可改写成 （1-9）式中 ； 由此可见，周期信号是由一个或几个、以至无穷多个不同频率的谐波叠加而成的。例：求1-6图周期性三角波的傅立叶级数解：在x(t)的一个周

11、期中可表示为常值分量：余弦分量的幅值正弦分量的幅值上式是因为x(t)为偶函数，为奇函数，所以 也为奇函数，而奇函数在上下限对称区间积分之值等于零。于是，该周期性三角波的傅立叶级数展开式为周期性三角波频谱图1-7，其幅频谱只包含常值分量、基波和奇次谐波的频率分量，谐波的幅值以1/n2 的规律收敛。在其相频谱中基波和各次谐波的初相位均为零。二、傅立叶级数的复指数函数展开式1. 复指数函数展开式根据欧拉公式： （1-10）有 （1-11） （1-12）傅立叶级数展开式可改写成为 （1-13）令 （1-14a） （1-14b） （1-14c）则 或 （1-15）（1-15）就是傅立叶级数的复指数函数形

12、式。将式（1-8）代入式（1-14a）和（1-14b），令n0，得 一般情况下cn 是复数， （1-16）式中 （1-17） （1-18）cn与c-n共轭cnc-n；。 周期函数x（t）展开为傅立叶级数的复指数函数形式后，可分别以和作幅频谱图和相频谱图也可分别以cn的实部或虚部与频率的关系作幅频图，并分别称为实频谱图和虚频谱图。三、总结：1. 频谱的含义任意波形的周期信号都可以分解为两种基本的连续时间信号（函数）正弦信号和复指数信号的叠加形式，也就是，一个周期信号可以用正弦信号描述，也可以用复指数信号描述，不同形状的周期信号其区别只在于基本频率（或基本周期T0）的不同、组成的各谐波分量的振幅和

13、相位不同。频谱、或是抽取反映信号全貌的三个基本特征，即基频、振幅或和相位来描述时域信号x(t)，也就是说频谱、或是时域信号x(t)的频域描述，即描述了x(t)的频率结构。频率的高低：相当于时间信号x(t)波形变化的快慢。 幅值的大小：表示在某个频率点上其信号x(t)的能量（或冲击力）的大小。相位：表示波形在时域中出现的时刻。由于周期函数的谱线是离散的其图形类似于光谱图，故称为频谱图，每根谱线代表一个分量。中的每根谱线代表一个正弦分量。中的每根谱线代表一个复指数分量。谱线的高度代表该分量的振幅该频率下冲击力的大小。2分析复指数函数形式的频谱为双边谱（从-到+），三角函数形式的频谱为单边谱（从0到

14、+）；两种频谱各谐波幅值在量值上有确定的关系，即，双边幅频谱为偶函数，双边相频谱为奇函数。3. 复指数级数中的负频率说明在式（115）中，n取正、负值。当n为负值时，谐波频率为“负频率”，主要原因角速度按其旋转方向可以为正或负，一个向量的实部可以看成为两个旋转方向相反的矢量在其实轴上投影之和，而虚部则为虚轴上投影之差。例题1-2画出余弦、正弦函数的实、虚部频谱图。解 ：根据式子（1-11）和（1-12）得故余弦函数只有实频谱图，与纵轴偶对称。正弦函数只有虚频谱图，与纵轴奇对称。一般周期函数按傅立叶级数的复指数形式展开后，其实频谱总是偶对称，其虚频谱总是奇对称。4.周期信号频谱的三大特点1）离散

15、性周期信号的频谱是离散的。2）谐波性每条谱线只出现在基波频率的整倍数上，基波频率是诸分量频率的公约数。3）收敛性各频率分量的谱线高度表示该谐波的幅值或相位角。工程中常见的周期信号，其谐波幅值的总趋势是随谐波次数的增高而减少的。因此，在频谱分析中没必要取那些次数过高的谐波分量。三、周期信号的强度表述周期信号的强度表述方式有四种： 1）峰值：峰值 是信号可能出现的最大瞬时值，即 峰-峰值 是一个周期中最大瞬时值和最小瞬时值之差 2）均值：是信号的常值分量。3）绝对均值：周期信号全波整流后的均值。 4）有效值：是信号的均方根值。 5）平均功率：有效值的平方，反映信号的功率大小。第三节 瞬变非周期信号

16、与连续频谱指数衰减信号矩形脉冲信号衰减振荡信号单一脉冲信号通常所说的非周期信号是指瞬变非周期信号。常见的非周期信号如图。（图111）一、傅立叶变换对于非周期信号的理解周期信号频谱谱线的频率间隔，当周期趋与无穷时，其频率间隔趋于无穷小，谱线无限靠近。变量连续取值以至离散谱线的顶点最后变成一条连续曲线。所以非周期信号的频谱是连续的。设有一个周期信号x(t)在区间（T0 /2，T0 /2）以傅立叶级数表示为式中 将cn代入上式则得当T0 趋于无穷大时，频率间隔成为，离散谱中相邻的谱线紧靠在一起， 成为连续变量，求和符号就变为积分符号，于是 （1-25）这就是傅立叶积分。圆括号里的积分，由于时间t是积

17、分变量，故积分后仅是的函数，记做X(),于是 （1-26） （1-27）式1-26称为x(t)的傅立叶变换，称式1-27为的傅立叶逆变换，两者称为傅立叶变换对，可记为把代入式1-25中，则式1-26，式1-27变为 （1-28） （1-29）公式简化后有关系是 （1-30）一般X(f)是实变量f的复函数，可以写成 （1-31）式中为信号x(t)的连续幅值谱，为信号x(t)的连续相位谱。说明：尽管非周期信号的幅值谱和周期信号的幅值谱很相似，但是两者是有差别的。其差别突出表现在的量纲与信号幅值的量纲一样，而的量纲则与信号幅值的量纲不一样，它是单位频宽上的幅值，所以更确切地说X(f)是频谱密度函数。

18、二、傅立叶变换的主要性质（四）时移与频移特性若 在时域中信号沿时间轴平移一常值t0时，则（1-40）在频域中信号沿频率轴平移一常值f0时（1-41）说明：将信号在时域中平移，则其幅频谱不变，而相频谱中相角的改变量和频率成正比 = -2f0。（五）卷积特性1. 卷积定义两个函数x1(t)与x2(t)的卷积定义为，记做x1(t)*x2(t)。2. 卷积特性若 ； 则 三、典型信号的频谱（一）矩形窗函数的频谱1. 定义 2. 频谱引入式 有 代入上式得 (1-33) 3. 抽样函数 这里x是自变量，c是函数符号中的一部分sinc（）为函数符号。该函数在信号分析中非常有用，它以2为周期，并随x的增加而

19、做衰减振荡。Sincx函数为偶函数，出其值为零。图1-13（P16）4. 相角讨论W(f)函数只有实部，没有虚部。其幅值频谱为其相位视sinc（fT）的符号而定，当sinc（fT）为正值时相角（f）为零，当sinc（fT）为负值时相角为 。 窗函数频谱图1-12。5. 窗函数的实际意义设客观存在的信号为x(t)，其理论定义域为（0，），在进行测试工作时，实际的记录为有限长的信号，记做y(t)其定义域为(0，T)，T 为记录时间，长度为有限值。“记录”相当于人为截取信号，这是不可避免的。在数学上相当于y(t)=x(t)wR(t) 信号从无限到有限发生了质的变化。例如x(t)为周期信号其频率谱为离

20、散的，但经截断后y(t)不再是周期的了其频谱也变为连续谱，这种现象叫截断效应，又叫窗效应，若不考虑截断效应，就会得出错误的结论。（二）函数及其频谱1. 定义在时间内激发一个矩形脉冲S(t)（或三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲），其面积为1（图1-16）。当趋于0时，S(t)的极限就称为函数，记做(t)。函数称为单位脉冲函数。(t)的特点有：从函数极值的角度看 （1-47）从面积的角度来看（也称为函数的强度）2.函数的采样性质如果函数与某一连续函数f(t)相乘，显然其乘积仅在t=0处为f(0) (t)，其余各点(t=/0)之乘积均为零。其中f(0) (t)是一个强度为f(0)的函数；也就是说，从函数值来看，该乘积趋于无限大，从面积(强度)来看，则为f(0)。如果函数与某一连续函数f(t)相乘，并在(-，)区间中积分，则有 （1-49） 同理，对于有延时t0的函数(tt0)，它与连续函数f(t)的乘积只有在t=t0时刻不等于零，而等于强度为f(t0)的函数；在(-，)区间内，该乘积的积分 （1-50）式(1-49)和式(1-50)表示函数的采样性质。此性质表明任何函数f(t)和(tt0)的乘积是一个强度为f(t0)