数学应用题专题复习一

1、西场中学数学教研组西场中学数学教研组 覃以新覃以新1、教学大纲对数学建模的要求、教学大纲对数学建模的要求 培养学生的创新意识和实践能力要成为培养学生的创新意识和实践能力要成为数学教学的一条重要目的和一条基本原则。数学教学的一条重要目的和一条基本原则。在教学中要在教学中要.，更重要的是使学生能够运，更重要的是使学生能够运用已有的知识进行交流，并能将实际问题抽用已有的知识进行交流，并能将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型，从而形成比象为数学问题，建立数学模型，从而形成比较完全的数学知识。较完全的数学知识。2、高考说明对数学建模的要求、高考说明对数学建模的要求要求考生关心国家大事，了解信息社会，讲

2、究联系要求考生关心国家大事，了解信息社会，讲究联系实际，重视数学在生产、生活及科学中的应用；实际，重视数学在生产、生活及科学中的应用；考查理解语言的能力，要求考生能够从普通语言中捕考查理解语言的能力，要求考生能够从普通语言中捕捉信息，将普通语言转化为数学语言，以数学语言为工捉信息，将普通语言转化为数学语言，以数学语言为工具进行数学思维与交流；具进行数学思维与交流；考查建立数学模型的初步能力，并能运用考查建立数学模型的初步能力，并能运用“考试说考试说明明”所限定的数学知识和方法来求解，即把陌生的问所限定的数学知识和方法来求解，即把陌生的问题情景数学化，会数学地提出问题解决问题。题情景数学化，会数

3、学地提出问题解决问题。3、1995 2001年高考数学应用年高考数学应用问题（解答题）情况分析问题（解答题）情况分析（1）注重知识积累，加强阅读理解）注重知识积累，加强阅读理解5、高考应用问题的对策、高考应用问题的对策（2）掌握语言转化，熟悉常见模型）掌握语言转化，熟悉常见模型（3）加强算法算理的训练，培养思维）加强算法算理的训练，培养思维 的严密性的严密性 解决应用性问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：解决应用性问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：实际问题实际问题 分析、联系、抽象、转化分析、联系、抽象、转化建立数学模型（列数学关系式）建立数学模型（列数学关系式）数学方法数学方法

4、数学结果数学结果实际结果实际结果回答问题回答问题解决应用性问题的关键是读题解决应用性问题的关键是读题懂题懂题建立数学关系式。建立数学关系式。考点分析考点分析： 近年来高考应用题所涉及的数学知识无外乎函数、近年来高考应用题所涉及的数学知识无外乎函数、方程、不等式、数列、立体几何等到高中数学中最基方程、不等式、数列、立体几何等到高中数学中最基本、最重要的内容，其中尤其以函数应用性问题最多。本、最重要的内容，其中尤其以函数应用性问题最多。这类问题题源丰富，内容深刻，解法灵活多样，且较这类问题题源丰富，内容深刻，解法灵活多样，且较易与不等式、数列、几何等内容相关联，是历年高考易与不等式、数列、几何等内

5、容相关联，是历年高考应用问题命题的一个热点。应用问题命题的一个热点。 我们应该留心观察周围的现实世界并经常读报，我们应该留心观察周围的现实世界并经常读报，以努力拓宽自已的知识面，对于一些常识性的概念如以努力拓宽自已的知识面，对于一些常识性的概念如“复利复利” 、“本息和本息和”、“百分点百分点”、 “利润利润率率”、“甲甲a联赛场数联赛场数”等，都应成为我们熟知的词等，都应成为我们熟知的词语。此外，环境、能源、人口、营养保健、知识经济，语。此外，环境、能源、人口、营养保健、知识经济，科技生产生活等方面的问题我们要予以高度重视。科技生产生活等方面的问题我们要予以高度重视。宇宙之大，宇宙之大， 粒

6、子之微，粒子之微， 火箭之速，火箭之速， 化工之巧，化工之巧， 地球之变，地球之变， 生物之谜，生物之谜， 日用之繁，日用之繁， 无处不用数学。无处不用数学。 华罗庚华罗庚 分期付款方式在今天的商业活动中应用日益广泛，为越来越多的顾客所接受，这一方面是因为很多人一次性支付售价较高商品的款额有一定的困难，另一方面是因为不少商店也在不断改进营销策略，方便顾客购物和付款， 可以说分期付款与每个家庭、每个人的日常生活密切相关。 1. 在分期付款中，每月的利息均按复利计算；在分期付款中，每月的利息均按复利计算；2. 分期付款中规定每期所付款额相同；分期付款中规定每期所付款额相同； 3. 分期付款时，商品

7、售价和每期所付款额在货分期付款时，商品售价和每期所付款额在货款全部付清前会随着时间推移而不断增值；款全部付清前会随着时间推移而不断增值； 各期所付款额连同到最后一次付款所生的利各期所付款额连同到最后一次付款所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和（这一规定实际上作为解决问题关时的利息之和（这一规定实际上作为解决问题关键步骤列方程的依据）。键步骤列方程的依据）。关键词 复利计息（1）按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式。 答：x期后的本利和为y=a（1+r）x（

8、2）如果存入本金a元,每月的利率为0.8%,试分别计算1月后,2月后,3个月后，12个月后的本利和是多少？ 解:已知本金为a元, 1月后的本利和为a(1+0.8%) 2月后的本利和为a(1+0.8%)2 3月后的本利和为a(1+0.8%)3 12月后的本利和为a(1+0.8%)12 购买一台售价为5000元的电脑，采用分期付款的办法，每期付款数相同，购买后1个月第1次付款，再过1个月第2次付款，如此下去，共付款5次后还清，如果按月利率0.8%，每月利息按复利计算（上月利息要计入下月本金），那么每期应付款多少?(精确到1元）分析：本题可通过逐月计算欠款来处理，根据题意，第5个月的欠款数为零，据此

9、可得等量关系。购买一台售价为购买一台售价为5000元的电元的电脑，采用分期付款的办法，脑，采用分期付款的办法，每期付款数相同，购买后每期付款数相同，购买后1个个月第月第1次付款，再过次付款，再过1个月第个月第2次付款，如此下去，共付款次付款，如此下去，共付款5次后还清，如果按月利率次后还清，如果按月利率0.8%，每月利息按复利计算，每月利息按复利计算（上月利息要计入下月本（上月利息要计入下月本金），那么每期应付款多金），那么每期应付款多少少?(精确到精确到1元）元） (50001.0082-1.008x-x)1.008-x 即即 50001.0083-1.0082x-1.008x x 这就是说

10、，每月应付款这就是说，每月应付款1024元元。55008.150001008.11008.1, x于于是是)(10241008. 1) 1008. 1 (008. 1500055元元 x购买购买5个月后的欠款数为：个月后的欠款数为： 50001.0085-1.0084x1.0083x-1.0082x-1.008x x由题意由题意 50001.0085-1.0084x1.0083x-1.0082x-1.008x x=0 即即 x+1.008x+1.0082x+1.0083x+1.0084x=50001.0085解解 ：设每月应付款：设每月应付款x元，元，购买购买1个月后的欠款数为个月后的欠款数为

11、 50001.008-x购买购买2个月后的欠款数为个月后的欠款数为 ( 50001.008-x)1.008-x 即即 50001.0082-1.008x-x购买购买3个月后的欠款数为个月后的欠款数为x+1.008x+1.0082x+1.0083x+1.0084x=50001.0085第第 5 次 付 款次 付 款(即最后一次即最后一次付款付款)x元。元。(由于款已全由于款已全部付清，因部付清，因此这一期付此这一期付款没有利息款没有利息)第第4次付次付款款x元后元后到 款 全到 款 全部 付 清部 付 清时 连 同时 连 同利 息 之利 息 之和和第第3次付次付款款x元后元后到 款 全到 款 全

12、部 付 清部 付 清时 连 同时 连 同利 息 之利 息 之和和 第第2次付次付款款x元后元后到 款 全到 款 全部 付 清部 付 清时 连 同时 连 同利 息 之利 息 之和和第第1次付次付款款x元后元后到 款 全到 款 全部 付 清部 付 清时 连 同时 连 同利 息 之利 息 之和和5000元商元商品在购买品在购买5 个 月 后个 月 后（即货款（即货款全部付清全部付清时）连同时）连同利息之和利息之和各次（期）所付的款以及各次（期）各次（期）所付的款以及各次（期）所付款到最后一次付款时所生的利所付款到最后一次付款时所生的利息之和息之和商品的售价及从商品的售价及从购买到最后一次购买到最后一

13、次付款时的利息之付款时的利息之和。和。从最后一次付款（即款全部付清）时的角度看从最后一次付款（即款全部付清）时的角度看分析分析：利用分期付款的有关规定直接列出方程解法解法2 2：设每月应付款x元 ，那么到最后1次付款时（即商品购买5个月后） 付款金额的本利和为：（x+1.008x+1.008x+1.008x+1.0082 2x+1.008x+1.0083 3x+1.008x+1.0084 4x x）元；另外，5000元商品在购买后5个月后的本利和为 500050001.0081.0085 5元。根据题意， x+1.008x+1.008x+1.008x+1.0082 2x+1.008x+1.00

14、83 3x+1.008x+1.0084 4x=5000 x=50001.0081.0085 5（以下同解法1） 从数学的角度看，本课题是等比数列前从数学的角度看，本课题是等比数列前n项和项和的公式在购物付款方式上的一个实际应用。的公式在购物付款方式上的一个实际应用。 问题的问题的关键在于需要了解分期付款到底是怎么一回事，尤关键在于需要了解分期付款到底是怎么一回事，尤其要弄清以下情况和规定其要弄清以下情况和规定： 在分期付款中，每月的利息均按复利计算；在分期付款中，每月的利息均按复利计算； 分期付款中规定每期所付款额相同；分期付款中规定每期所付款额相同； 分期付款时，商品售价和每期所付款额在货分

15、期付款时，商品售价和每期所付款额在货款全部付清前会随着时间推移而不断增值；款全部付清前会随着时间推移而不断增值； 各期所付款额连同到最后一次付款所生的利各期所付款额连同到最后一次付款所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和（时的利息之和（这一规定实际上作为解决问题关这一规定实际上作为解决问题关键步骤列方程的依据）。键步骤列方程的依据）。 顾客购买一件售价为顾客购买一件售价为50005000元的商品时，如果采取分期付款，那么在一年内将元的商品时，如果采取分期付款，那么在一年内将款全部付清的前提下，商店又提出了下表所示的几种付款方案，

16、以供顾客选择。款全部付清的前提下，商店又提出了下表所示的几种付款方案，以供顾客选择。 顾客在从上表中选择付款方案时，需要知道几种方案中每期应付款多少，顾客在从上表中选择付款方案时，需要知道几种方案中每期应付款多少，总共应付款多少，这样才便于比较。总共应付款多少，这样才便于比较。方案类别分几次付清付款方法每期所付款额付款总额与一次性付款差额 1 3次购买后4个月第1次付款，再过4个月第2次付款，再过4个月第3次付款。 2 6次购买2个月第1次付款，再过2个月第2次付款购买后12个月第6次付款。 3 12次购买后1个月第1次付款，再过1个月第2次付款购买后12个月后12次付款。规定月利率为0.8%

17、，每月利息按复利计算。 注x1.008x 1.0082x 1.00811x x+1.008x+1.0082x+1.00811x 50001.00812 x1.0082x 1.0084x 1.00810 x x+1.0082x+1.0084x+1.00810 x 50001.00812 x1.0084x 1.0088x x+1.0084x+1.0088x 50001.00812 15)( 8 .8801008. 1) 1008. 1 (008. 1500012212元元 x（方案（方案2）略解：由题意得略解：由题意得: x(1+1.0082+1.0084+1.00810 )50001.00812

18、 每期所付款额为每期所付款额为880.8元，付款总额约为元，付款总额约为5285元，与一次性付款差额为元，与一次性付款差额为285元元)(6 .4381008. 1)1008. 1(008. 150001212元元 x（方案（方案3）略解：略解： x(1+1.008+1.0082+1.00811 )50001.00812 每期所付款额为每期所付款额为438.6元，付款总额约为元，付款总额约为5263元，与一次性付款差额为元，与一次性付款差额为263元元12434008. 150001008. 11)008. 1 (x)(8 .17751008. 1)1008. 1(008. 150001241

19、2元元 x（方案方案1）解：设每期所付款额解：设每期所付款额x元，那么到元，那么到最最 后后1次付款时付款金额的本利和为：次付款时付款金额的本利和为： x (1+1.0084+1.0088 ) 元。元。另外，另外，5000元商品在购买后元商品在购买后12个月后的本利个月后的本利和为和为50001.00812元元。由题意得由题意得 x(1+1.0084+1.0088)50001.00812 每期所付款额为每期所付款额为1775.8元，付款总额约为元，付款总额约为5327元，元，与一次性付款差额为与一次性付款差额为327元元 顾客购买一件售价为顾客购买一件售价为50005000元的商品时，如果采取

20、分期付款，那么在一年内将元的商品时，如果采取分期付款，那么在一年内将款全部付清的前提下，商店又提出了下表所示的几种付款方案，以供顾客选择。款全部付清的前提下，商店又提出了下表所示的几种付款方案，以供顾客选择。 从上表中选择付款方案时，需要知道几种方案中每期应付款多少，总共应付款从上表中选择付款方案时，需要知道几种方案中每期应付款多少，总共应付款多少，这样才便于比较。多少，这样才便于比较。方案类别分几次付清付款方法每期所付款额付款总额与一次性付款差额 1 3次购买后4个月第1次付款，再过4个月第2次付款，再过4个月第3次付款。 2 6次购买2个月第1次付款，再过2个月第2次付款购买后12个月第6

21、次付款。 3 12次购买后1个月第1次付款，再过1个月第2次付款购买后12个月后12次付款。规定月利率为0.8%，每月利息按复利计算。1775.8 元 5327元327元880.8元 5285元 285元438.6元5263元263元注例例3: 3: 某房地产开发公司因有大量住房闲置某房地产开发公司因有大量住房闲置, ,为为盘活资金盘活资金, ,促进住房销售促进住房销售, ,提出了两种优惠售房方提出了两种优惠售房方案案: : 第一种方案是分期付款第一种方案是分期付款: 2002: 2002年元月要求购年元月要求购房者先付房者先付1212万元万元, ,然后从第二年起每年元月付款然后从第二年起每年

22、元月付款2 2万元万元, ,连续付连续付5 5年年( (假设这五年中银行存款年利率假设这五年中银行存款年利率为为2%);2%); 第二种方案是第二种方案是20022002年元月一次性付款年元月一次性付款21.221.2万万元元. .如果购房者都是从银行贷款购房如果购房者都是从银行贷款购房, ,试问试问: :采取采取哪一种购房方案合算哪一种购房方案合算? ? ( (可选用以下数据可选用以下数据: ): )1.024=1.08 1.025=1.10 1.026=1.13 解法一解法一: 终值比较法终值比较法,选择比较的时点是选择比较的时点是2007年元月年元月分期付款 2002 2003 2004

23、 2005 2006 200712 12(1+2%) 12(1+2%)52 2(1+2%) 2(1+2%)42 12(1+2%) 2(1+2%)32 2(1+2%)22 2(1+2%)s分=12(1+2%)5 +2(1+2 %)4 + 2(1+2%)+2=23.2万元2s一=21.2(1+2%)5 =23.32万元可见,第一种方案比较合算分分期期付付款款解法二解法二: : 现值比较法现值比较法, ,选择比较的时点是选择比较的时点是20022002年元月年元月 年份年份 2002 2003 2004 20052002 2003 2004 2005 2006 2007 2006 2007 2/(1

24、+2%) 2/(1+2%)5 5 2/(1+2%) 2/(1+2%)4 4 2 2s s分分=12 +2/(1+2%) + 2/(1+2 %)=12 +2/(1+2%) + 2/(1+2 %)2 2 + + 2/(1+2%)+ 2/(1+2%)5 5 =21.09 =21.09万元万元1212s s一一=21.2=21.2万元万元可见可见, ,还第一种方案比较合算还第一种方案比较合算2/(1+2%)2/(1+2%)4 4 2/(1+2%) 2/(1+2%)3 3 2 22/(1+2%)2/(1+2%)3 3 2/(1+2%) 2/(1+2%)2 2 2 22/(1+2%)2/(1+2%)2 2

25、 2/(1+2%) 2/(1+2%) 2 2 2/(1+2%) 2/(1+2%) 2 2 课课 后后 请你算一算请你算一算 某私立学校规定学生入学时每人应交费某私立学校规定学生入学时每人应交费4万元万元rmb，等三年后学生毕业时学校将把，等三年后学生毕业时学校将把4万元如数归万元如数归还，试问在此规定下，学生念三年书实际交了多还，试问在此规定下，学生念三年书实际交了多少学费？（分别从三年后的角度和现在的角度考少学费？（分别从三年后的角度和现在的角度考虑；设银行利率（月利率）一年期是虑；设银行利率（月利率）一年期是0.75%，三，三年期是年期是0.9%）答案：从终值角度考虑时，三年至少交学费答案：从终值角度考虑时，三年至少交学费12960元；从现在角度考虑时，念三年书相元；从现在角度考虑时，念三年书相当于交当于交9788元学费。元学费。思考题思考题