概率论与数理统计第六章统计量,样本及抽样分布

1、 数理统计学是一门应用性很强的学科数理统计学是一门应用性很强的学科. 它是研究它是研究怎样以怎样以有效的方式收集有效的方式收集、 整理和分析带有整理和分析带有随机性的随机性的数据数据，以便对所考察的问题作出，以便对所考察的问题作出推断和预测推断和预测. 由于大量随机现象必然呈现它由于大量随机现象必然呈现它规规律性律性，只要对随机现象进行，只要对随机现象进行足够多次足够多次观察，被研究的规律性一定能清楚地观察，被研究的规律性一定能清楚地呈现出来呈现出来. 客观上，客观上， 只允许我们对随机现象只允许我们对随机现象进行次数不多的观察试验进行次数不多的观察试验 ，我们只，我们只能获得能获得局部局部观

2、察资料观察资料.第一节第一节 随机样本随机样本 在数理统计中，不是对所研究的对象全体在数理统计中，不是对所研究的对象全体 ( 称称为总体为总体)进行观察，而是抽取其中的部分进行观察，而是抽取其中的部分(称为样本称为样本)进行观察获得数据（抽样），并通过这些数据对总进行观察获得数据（抽样），并通过这些数据对总体进行推断体进行推断.数理统计方法具有数理统计方法具有“部分推断整体部分推断整体”的的特征特征 . 在数理统计研究中，人们往往研究有关对象的在数理统计研究中，人们往往研究有关对象的某一项某一项(或几项或几项)数量指标和为此，对这一指标进行数量指标和为此，对这一指标进行随机试验，观察试验结果全

3、部观察值，从而考察该随机试验，观察试验结果全部观察值，从而考察该数量指标的分布情况数量指标的分布情况.这时，每个具有的数量指标的这时，每个具有的数量指标的全体就是总体全体就是总体.每个数量指标就是个体每个数量指标就是个体.某批某批灯泡的寿命灯泡的寿命该批灯泡寿命的全该批灯泡寿命的全体就是总体体就是总体国产轿车每公里国产轿车每公里的耗油量的耗油量国产轿车每公里耗油量国产轿车每公里耗油量的全体就是总体的全体就是总体 一一个统计问题总有它明确的研究对象个统计问题总有它明确的研究对象.1.1.总体总体研究某批灯泡的质量研究某批灯泡的质量 研究对象的全体称为研究对象的全体称为总体总体，总体总体一、总体和

4、样本一、总体和样本总体中所包含的个体的个数称为总体的容量总体中所包含的个体的个数称为总体的容量.总体中每个成员称为个体，总体中每个成员称为个体，总体总体有限总体有限总体无限总体无限总体 因此在理论上可以把总体与概率分布等同起来因此在理论上可以把总体与概率分布等同起来. 我们关心的是总体中的个体的某项指标我们关心的是总体中的个体的某项指标( (如人的如人的身高、灯泡的寿命身高、灯泡的寿命, ,汽车的耗油量汽车的耗油量) ) . 由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指标的出现也带有随机性标的出现也带有随机性 . 从而可以把这种数量指标看从而可以把这

5、种数量指标看作一个随机变量作一个随机变量x ，因此随机变量，因此随机变量x的分布就是该数的分布就是该数量指标在总体中的分布量指标在总体中的分布. 总体就可以用一个随机变量及其分布来描述总体就可以用一个随机变量及其分布来描述. 例如例如:研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量x表示，表示，或用其分布函数或用其分布函数f(x)表示表示.x:某批某批灯泡的寿命灯泡的寿命总体总体 寿命寿命 x 可用一概率分布可用一概率分布（如指数分布）来刻划（如指数分布）来刻划鉴于此，常用随机变量的记号鉴于此

6、，常用随机变量的记号或用其分布函数表示总体或用其分布函数表示总体. 如如说总体说总体x或总体或总体f(x) . 类似地，在研究某地区中学生的营养状况时类似地，在研究某地区中学生的营养状况时 ，若关心的数量指标是身高和体重，我们用若关心的数量指标是身高和体重，我们用x 和和y 分分别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量量(x,y)或其联合分布函数或其联合分布函数 f(x,y)来表示来表示. 统计中，总体这个概念统计中，总体这个概念 的要旨是：的要旨是：总体就是一个概总体就是一个概率分布率分布.参数的分布，为推断总体分布及各种特征，按一参数的分布

7、，为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息获得有关总体的信息 ，这一抽取过程称为，这一抽取过程称为 “抽抽样样”，所抽取的部分个体称为样本，所抽取的部分个体称为样本. 样本中所包样本中所包含的个体数目称为含的个体数目称为样本容量样本容量.2. 样本样本从国产轿车中从国产轿车中抽抽5辆辆进行耗油量试验进行耗油量试验样本容量为样本容量为5抽到哪抽到哪5辆是随机的辆是随机的 总体分布一般是未知，或只知道是包含未知总体分布一般是未知，或只知道是包含未知 一旦取定一组样本一旦取定一组样本x1， ,xn ,得到得到

8、n个具体的数个具体的数 (x1,x2,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值，称为样本的一次观察值，简称样本值 .n称为这个样本的容量称为这个样本的容量.21nxxxnx，观察，其结果依次记为观察，其结果依次记为次重复、独立次重复、独立在相同的条件下，进行在相同的条件下，进行对总体对总体.,21分布分布同的同的与总体随机变量具有相与总体随机变量具有相的一个简单随机样本，的一个简单随机样本，是来自总体是来自总体这样得到的随机变量这样得到的随机变量xxxxn最常用的一种抽样叫作最常用的一种抽样叫作“简单随机抽样简单随机抽样”，其特点：，其特点：1. 代表性：代表性： x1,x2,xn中每一个与所

9、考察的总体有中每一个与所考察的总体有 相同的分布相同的分布.2. 独立性：独立性： x1,x2,xn是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量.定义：定义： 由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本，由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本，它可以用与总体独立同分布的它可以用与总体独立同分布的n个相互独立的随机个相互独立的随机变量变量x1,x2,xn表示表示.),(21*nxxxf=f(x1) f(x2) f(xn) ),(21*nxxxf=f(x1) f(x2) f(xn) 若总体的分布函数为若总体的分布函数为f(x)、概率密度函数为、概率密度函数为f(x),则其简单随机样本的联合分布函数为则

10、其简单随机样本的联合分布函数为其简单随机样本的联合概率密度函数为其简单随机样本的联合概率密度函数为的取值的取值是总体随机样本是总体随机样本这里这里),(),(2121nnxxxxxx 事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值定的值. 如我们从某班大学生中抽取如我们从某班大学生中抽取10人测量身高人测量身高,得到得到10个数，它们是样本取到的值而不是样本个数，它们是样本取到的值而不是样本. 我我们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量.3. 总体、样本、样本值的关系总体、样本、样本值的关系总体（理论分布）总

11、体（理论分布） ？ 样本样本 样本值样本值 统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料-样本值，去推断总样本值，去推断总体的情况体的情况-总体分布总体分布f(x)的性质的性质. 总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体总体. 样本是联系二者的桥梁样本是联系二者的桥梁总体：研究对象的全体称为总体总体：研究对象的全体称为总体个体：总体中每个成员称为个体个体：总体中每个成员称为个体:简单随机样本简单随机样本 由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本，由简单随机抽样得到

12、的样本称为简单随机样本，它可以用与总体它可以用与总体x独立同分布的独立同分布的n个相互独立的随机个相互独立的随机变量变量 x1,x2,xn表示表示, n为样本容量为样本容量,其观察值为其观察值为.,21nxxx统计模型：统计模型：)(),(21独立同分布独立同分布的联合分布的联合分布样本样本nxxx小结小结第三节第三节 样本及抽样分布样本及抽样分布统计量统计量统计三大抽样分布统计三大抽样分布几个重要的抽样分布定理几个重要的抽样分布定理 由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某，这就要构造一些样本

13、的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来一方面）的信息集中起来.1. 统计量统计量 这种不含任何未知参数的样本的函数这种不含任何未知参数的样本的函数 称为统称为统计量计量. 它是完全由样本决定的量它是完全由样本决定的量,其取值其取值(观察值观察值)是是一、统计量一、统计量),(21nxxxg),(21nxxxg 几个常见统计量几个常见统计量样本平均值样本平均值niixnx11它反映了总体均值它反映了总体均值的信息的信息样本方差样本方差niixxns122)(11它反映了总体它反映了总体方差的信息方差的信息 niixnxn12211样本标准差样本标准差 niixxns12)(11常用的

14、统计量常用的统计量 niixnx11观察值观察值 niixnxns122211观察值观察值 niixxns12)(11观察值观察值nikikxna11它反映了总体它反映了总体k 阶矩的信息阶矩的信息样本样本k阶原点矩阶原点矩样本样本k阶中心矩阶中心矩nikikxxnb1)(1 k=1,2,它反映了总体它反映了总体k 阶阶中心矩的信息中心矩的信息请注意请注意 :., 2 , 11)(1 kxnanxekxkpnikikkk时，时，存在，则当存在，则当阶矩阶矩的的若总体若总体.),(),(2121为连续函数为连续函数其中其中可将上述性质推广为可将上述性质推广为由依概率收敛性质知，由依概率收敛性质知

15、，再再ggaaagkpk .根据根据这就是矩估计法的理论这就是矩估计法的理论., 2 , 1)(,2121上述结论上述结论再由辛钦大数定律可得再由辛钦大数定律可得同分布同分布独立且与独立且与有有同分布，同分布，独立且与独立且与由由事实上事实上nkxexxxxxxxxkkikknkkn 二、统计三大抽样分布二、统计三大抽样分布定义定义: 设设 相互独立相互独立, 都服从正态分布都服从正态分布n(0,1), 则称随机变量：则称随机变量： nxxx,21222212nxxx2分布是由正态分布派生出来的一种分布分布是由正态分布派生出来的一种分布. .分布分布2. 1 )(22nn 分布，记为分布，记为

16、的的为为所服从的分布为自由度所服从的分布为自由度)()(1),()1(212222nxnxniii 则则若若独立，则独立，则21222121,),(),()2(xxnxnx ).(21221nnxx .,2)(,)(),()3(2nxdnxenx分布的分位点分布的分位点2).4( )(222)()(ndyyfnp, 10 ，对于给定的正数对于给定的正数称满足条件称满足条件.381.34)25()(.)()(20.1222 可通过查表求，例可通过查表求，例如图所示如图所示分位点，分位点，分布的上分布的上为为的点的点nnn)(2n 386,25, 1 . 0pn见见 概率密度函数为：概率密度函数为

17、： tntnnnthn212)1()2(2)1()( 定义定义: 设设xn(0,1) , y , 且且x与与y相互相互 独立，则称变量独立，则称变量nyxt 所服从的分布为自由度为所服从的分布为自由度为 n的的 t 分布分布.)(2n).(ntt记为记为分布的密度分布的密度分布又称为学生氏分布分布又称为学生氏分布)(. ntt分布分布t. 2分布的性质：分布的性质：t)2()2()(, 0)(),(. 1 nnntdtentttn与与方方差差为为：其其数数学学期期望望分分布布的的具具有有自自由由度度为为.21)(lim,.0. 222tnethntt 函数的性质有函数的性质有由由再再分布概率密

18、度的图形，分布概率密度的图形，其图形近似于标准正态其图形近似于标准正态充分大时充分大时当当对称对称分布的密度函数关于分布的密度函数关于).1 , 0(ntn近似近似足够大时，足够大时，即当即当分布分布t. 2.)()(如图所示如图所示分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点 ntnt)(nt )()()(ntdtthnttp称满足条件称满足条件，对于给定的对于给定的分布的分位点分布的分位点, 10. 3 t)(nt )()(1ntntt 分位点的性质：分位点的性质：分布的上分布的上.1315. 2)15(p285)(025. 0 tntt求得，例求得，例可查表见可查表见分位点分位点分布的上分布

19、的上 zntn)(45的值，可用正态近似的值，可用正态近似时，对于常用的时，对于常用的当当由定义可见，由定义可见，3、f分布分布121nunvf f(n2,n1)分布分布f. 3服从自由度为服从自由度为n1及及 n2 的的f分布，分布，n1称为第自称为第自由度，由度，n2称为第二自由度，记作称为第二自由度，记作21nvnuf ff(n1,n2) .则称随机变量则称随机变量定义：设定义：设),(),(2212nvnu 三、几个重要的抽样分布定理三、几个重要的抽样分布定理有有和样本方差和样本方差则样本均值则样本均值来自总体的一个样本，来自总体的一个样本，是是，方差为，方差为的均值为的均值为设总体设

20、总体2212,xsxxxxn 2(),(),e xd xn 22)()( xdse 定理定理 1 (样本均值的分布样本均值的分布) 设设 x1, x2, , xn 是来自正态总体是来自正态总体),(2 n的样本，的样本， 是样本均值，则有是样本均值，则有),(2nnx ) 1 , 0( nnx 即即x）本均值本均值已知，可由该定理求样已知，可由该定理求样，（若正态总体的（若正态总体的x2 0 1( , )xnn n取不同值时样本取不同值时样本均值均值 的分布的分布x请注意请注意 :),(2nnx 定理定理 2 (样本方差的分布样本方差的分布) 1() 1() 1 (222nsn 设设x1,x2

21、,xn是来自正态总体是来自正态总体),(2 n的样本的样本,2sx和分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差, 则有则有.)2(2独独立立与与sxn取不同值时取不同值时 的分布的分布22) 1(sn ）本方差本方差已知，可由该定理求样已知，可由该定理求样，（若正态总体的（若正态总体的22s 定理定理 3 (样本均值的分布样本均值的分布) 设设x1,x2,xn是取自正态总体是取自正态总体),(2 n的样本的样本,2sx和分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有则有) 1(ntnsx 且相互独立且相互独立分布的定义可得分布的定义可得、由定理由定理证证)1()1(,)1 , 0

22、(t2,1222 nsnnnx)1()1(22 ntsnnx则则 iixnxns2222211s.x(的值是的值是这里样本方差这里样本方差本均值本均值时，可用本定理计算样时，可用本定理计算样，在未知总体在未知总体 .),3 . 0 , 0(,. 23;,n(0,1)x. 1210122101232221232221321nxccnxxxxxxxxxxxxxiii分布，并求自由度分布，并求自由度服从服从使使的值，的值，求求独立同分布，独立同分布，设设是样本，则是样本，则，设总体设总体例例 )3(2 )3( t),1 , 0(3 . 0,3 . 03 . 03 . 0)()3 . 0(222nxx

23、dxdiii )10(3 . 03 . 03 . 022102221 xxx)10(3 . 012122 iix09. 01c分布分布，使得服从，使得服从求常数求常数，来自总体来自总体设样本设样本226542321621c)()()1 , 0(,. 3 xxxxxxynxxx )3 , 0(),3 , 0(654321nxxxnxxx )1 , 0(3),1 , 0(3654321nxxxnxxx )2(32 y31 c上的均匀分布。上的均匀分布。分布分布的样本，求的样本，求来自总体来自总体设设例例2 , 0. 2;)10(. 1)(),(),(),(21 xxsexdxexxxn ,)(,)(. 1pqxdpxe 解解 niixnx11)()(1)(;)(1)(212senpqxdnxdpxnenxeni 342)(;2e(x). 22202220 dxxxedxx解解)(3)()()(2222sexexexd nxdnxdxnenxeni3)(1)(;)(1)(212 的概率。的概率。于于样本均值差的绝对值大样本均值差的绝对值大的两独立的两独立的容量分别为的容量分别为求总体求总体例例3 . 015,10)3 ,20(ny，为为解：两样本均值分别记解：两样