2讲含真题0517326

1、1不等式选讲不等式选讲考点考点不等式选讲不等式选讲1.（2017新课标,23）已知函数 f（x）=x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x1| （10 分）(1)当 a=1 时，求不等式 f（x）g（x）的解集；(2)若不等式 f（x）g（x）的解集包含1，1，求 a 的取值范围1.（1）解：当 a=1 时，f（x）=x2+x+4，是开口向下，对称轴为 x=的二次函数，g（x）=|x+1|+|x1|=，当 x（1，+）时，令x2+x+4=2x，解得 x=，g（x）在（1，+）上单调递增，f（x）在（1，+）上单调递减，此时 f（x）g（x）的解集为（1，；当 x1，1时，g（x）=2，f（x

2、）f（1）=2当 x（，1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且 g（1）=f（1）=2综上所述，f（x）g（x）的解集为1，；（2）依题意得：x2+ax+42 在1，1恒成立，即 x2ax20 在1，1恒成立，则只需，解得1a1，故 a 的取值范围是1，12.（2017新课标,23）已知 a0，b0，a3+b3=2，证明：（） （a+b） （a5+b5）4；（）a+b22.证明： （）由柯西不等式得： （a+b） （a5+b5）（+）2=（a3+b3）24，当且仅当=，即 a=b=1 时取等号，（）a3+b3=2，（a+b） （a2ab+b2）=2，（a+b）（a+b）23ab=2，（

3、a+b）33ab（a+b）=2，=ab，2由均值不等式可得：=ab（）2，（a+b）32，（a+b）32，a+b2，当且仅当 a=b=1 时等号成立3.（2017新课标,23）已知函数 f（x）=|x+1|x2|（）求不等式 f（x）1 的解集；（）若不等式 f（x）x2x+m 的解集非空，求 m 的取值范围3.（）f（x）=|x+1|x2|=，f（x）1，当1x2 时，2x11，解得 1x2；当 x2 时，31 恒成立，故 x2；综上，不等式 f（x）1 的解集为x|x1（）原式等价于存在 xr 使得 f（x）x2+xm 成立，即 mf（x）x2+xmax， 设 g（x）=f（x）x2+x由

4、（1）知，g（x）=，当 x1 时，g（x）=x2+x3，其开口向下，对称轴方程为 x=1，g（x）g（1）=113=5；当1x2 时，g（x）=x2+3x1，其开口向下，对称轴方程为 x=（1，2） ，g（x）g（）=+1=；当 x2 时，g（x）=x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为 x=2，g（x）g（2）=4+2=3=1；综上，g（x）max=，m 的取值范围为（，4.（2017江苏,21d）已知 a，b，c，d 为实数，且 a2+b2=4，c2+d2=16，证明 ac+bd84. 证明：a2+b2=4，c2+d2=16，令 a=2cos，b=2sin，c=4cos，d=4sinac

5、+bd=8（coscos+sinsin）=8cos（）8当且仅当 cos（）=1 时取等号3因此 ac+bd85.(2016全国，24)已知函数f(x)|x1|2x3|.(1)在图中画出yf(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|1 的解集.5.解(1)f(x)x4，x1，3x2，132，yf(x)的图象如图所示.(2)当f(x)1 时，可得x1 或x3；当f(x)1 时，可得x13或x5，故f(x)1 的解集为x|1x3；f(x)1 的解集为x|x5.所以|f(x)|1 的解集为x|x13或 1x5.6.(2016全国，24)已知函数f(x)|2xa|a.(1)当a2 时，求不等式f(x)6

6、 的解集；(2)设函数g(x)|2x1|.当xr r 时，f(x)g(x)3，求a的取值范围.6.解(1)当a2 时，f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26 得1x3.因此f(x)6 的解集为x|1x3.(2)当xr r 时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a，所以当xr r 时，f(x)g(x)3 等价于|1a|a3.当a1 时，等价于 1aa3，无解.4当a1 时，等价于a1a3，解得a2.所以a的取值范围是2，).7.(2016全国，24)已知函数f(x)|x12|x12|，m为不等式f(x)2 的解集.(1)求m；(2)证明：当a，bm时，|ab|1

7、ab|.7.(1)解f(x)2x，x12，1，12x12，2x，x12.当x12时,由f(x)2 得2x1,所以,-1x-12；当-12x12时，f(x)2；当x12时，由f(x)2 得 2x2，解得x1，所以，-12x1.所以f(x)2 的解集mx|1x1.(2)证明由(1)知，当a,bm时,-1a1,-1b1,从而(ab)2-(1ab)2a2b2-a2b2-1(a2-1)(1-b2)0，即(ab)2(1ab)2，因此|ab|0.(1)当a1 时，求不等式f(x)1 的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于 6，求a的取值范围.10.解(1)当a1 时，f(x)1 化为|x1

8、|2|x1|10.当x1 时，不等式化为x40，无解；当1x0，解得23x0，解得 1x1 的解集为x|23x2.(2)由题设可得，f(x)x12a，xa.所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角 形的三个顶点分别为a2a13，0,b(2a1,0),c(a,a+1)，abc的面积为23(a1)2.由题设得23(a1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，).11.(2015新课标全国，24)设a、b、c、d均为正数，且abcd，证明：(1)若abcd，则abcd；(2)abcd是|ab|cd|的充要条件.11.证明(1)因为(ab)2ab2ab，(cd)2cd2cd，由题设abcd，abcd得(

9、ab)2(cd)2.因此abcd.(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24ab(cd)24cd.因为abcd，所以abcd.由(1)得abcd.若abcd，则(ab)2(cd)2，即ab2abcd2cd.6因为abcd，所以abcd，于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|cd|.综上，abcd是|ab|cd|的充要条件.12.(2014广东，9)不等式|x1|x2|5 的解集为_.12.x|x3 或x2原不等式等价于x1，（x1）（x2）5或2x1，（x1）（x2）5或x2，（x1）（x2）5，解得x2 或x3.故原不等式的解集为x|x3

10、或x2.13.(2014湖南，13)若关于x的不等式|ax2|3 的解集为x|53x13 ，则a_.13.3依题意，知a0.|ax2|33ax231ax0 时，不等式的解集为1a，5a，从而有5a13，1a53，此方程组无解.当a0).(1)证明：f(x)2；(2)若f(3)0，有f(x)|x1a|xa|x1a(xa)|1aa2.所以f(x)2.7(2)解f(3)|31a|3a|.当a3 时，f(3)a1a，由f(3)5 得 3a5 212.当 0a3 时，f(3)6a1a，由f(3)5 得1 52a3.综上，a的取值范围是1 52，5 21216.(2014天津，19)已知q和n均为给定的大于 1 的自然数.设集合m0,1,2，q1，集合ax|xx1x2qxnqn1，xim，i1,2，n.(1)当q2，n3 时，用列举法表示集合a；(2)设s，ta，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，其中ai，bim，i1,2，n.证明：若anbn，则st.16.(1)解当q2,n3 时,m0,1,ax|xx1x22x322,xim,i