高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第6讲抛物线练习理北师大版0510480

1、1第第 6 6 讲讲抛物线抛物线一、选择题1.(2016全国卷)设f为抛物线c：y24x的焦点，曲线ykx(k0)与c交于点p，pfx轴，则k()a.12b.1c.32d.2解析由题可知抛物线的焦点坐标为(1，0)，由pfx轴知，|pf|2，所以p点的坐标为(1，2).代入曲线ykx(k0)得k2，故选 d.答案d2.点m(5，3)到抛物线yax2(a0)的准线的距离为 6，那么抛物线的方程是()a.y12x2b.y12x2或y36x2c.y36x2d.y112x2或y136x2解析分两类a0，a0)的焦点为f， 其准线与双曲线y2x21 相交于a，b两点，若abf为等边三角形，则p_.解析y

2、22px的准线为xp2.由于abf为等边三角形.因此不妨设ap2，p3 ，bp2，p3 ，又点a，b在双曲线y2x21 上，从而p23p241，所以p2 3.答案2 3三、解答题9.(2016江苏卷)如图，在平面直角坐标系xoy中，已知直线l：xy20，抛物线c：y22px(p0).(1)若直线l过抛物线c的焦点，求抛物线c的方程；(2)已知抛物线c上存在关于直线l对称的相异两点p和q.求证：线段pq的中点坐标为(2p，p)；求p的取值范围.(1)解l：xy20，l与x轴的交点坐标为(2，0).即抛物线的焦点为(2，0)，p22，p4.抛物线c的方程为y28x.(2)证明设点p(x1，y1)，

3、q(x2，y2).则y212px1，y222px2，则x1y212p，x2y222p，kpqy1y2y212py222p2py1y2，又p，q关于l对称.kpq1，即y1y22p，y1y22p，又pq的中点一定在l上，x1x22y1y2222p.线段pq的中点坐标为(2p，p).解pq的中点为(2p，p)，4y1y22p，x1x2y21y222p42p，即y1y22p，y21y228p4p2，y1y22p，y1y24p24p，即关于y的方程y22py4p24p0，有两个不等实根.0.即(2p)24(4p24p)0，解得 0p43，故所求p的范围为0，43 .10.已知抛物线y22px(p0)的

4、焦点为f，a(x1，y1)，b(x2，y2)是过f的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2p2，x1x2p24；(2)1|af|1|bf|为定值；(3)以ab为直径的圆与抛物线的准线相切.证明(1)由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0).由题意可设直线方程为xmyp2，代入y22px，得y22p(myp2)，即y22pmyp20.(*)则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2p2.因为y212px1，y222px2，所以y21y224p2x1x2，所以x1x2y21y224p2p44p2p24.(2)1|af|1|bf|1x1p21x2p2x1x2px1x2p2（x1x2）p24

5、.因为x1x2p24，x1x2|ab|p，代入上式，5得1|af|1|bf|ab|p24p2（|ab|p）p242p(定值).(3)设ab的中点为m(x0，y0)，分别过a，b作准线的垂线，垂足为c，d，过m作准线的垂线，垂足为n，则|mn|12(|ac|bd|)12(|af|bf|)12|ab|.所以以ab为直径的圆与抛物线的准线相切.11.(2017汉中模拟)已知抛物线y22px(p0)的焦点弦ab的两端点坐标分别为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1y2x1x2的值一定等于()a.4b.4c.p2d.p2解析若焦点弦abx轴，则x1x2p2，则x1x2p24；若焦点弦ab不垂直于x

6、轴，可设ab：yk(xp2)，联立y22px得k2x2(k2p2p)xp2k240，则x1x2p24.又y212px1，y222px2，y21y224p2x1x2p4，又y1y20，y1y2p2.故y1y2x1x24.答案a12.(2016四川卷)设o为坐标原点，p是以f为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点，m是线段pf上的点，且|pm|2|mf|，则直线om的斜率的最大值为()a.33b.23c.22d.1解析如图，由题可知fp2，0，设p点坐标为y202p，y0(y00)，6则omoffmof13fpof13(opof)13op23ofy206pp3，y03 ，komy03y206p

7、p32y0p2py022 222，当且仅当y202p2等号成立.故选 c.答案c13.(2016湖北七校联考)已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为 2xy40，在抛物线上有一动点a，点a到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，则mn的最小值为_.解析如图，过a作ahl，an垂直于抛物线的准线，则|ah|an|mn1，连接af，则|af|ah|mn1，由平面几何知识，知当a，f，h三点共线时，|af|ah|mn1 取得最小值，最小值为f到直线l的距离，即656 55，即mn的最小值为6 551.答案6 55114.(2017南昌模拟)已知抛物线c1：y24x和c2：x22py(p0)的焦点分别为f1，f2，点p(1，1)，且f1f2op(o为坐标原点).(1)求抛物线c2的方程；(2)过点o的直线交c1的下半部分于点m，交c2的左半部分于点n，求pmn面积的最小值.解(1)由题意知f1(1，0)，f20，p2 ，f1f21，p2 ，f1f2op，f1f2op1，p2 (1，1)1p20，p2，抛物线c2的方程为x24y.(2)设过点o的直线为ykx(k0)，联立ykx，y24x得m4k2，4k，7联立ykx.x24y得n(4k，4k2)，从而|mn| 1k2|4k24k| 1k24k24k，又点p到直线mn的距离d|k1|1k2，进而spmn12|