2020年浙江省杭州市学军中学高考数学模拟试卷(4月份)(含答案解析)

1、2020 年浙江省杭州市学军中学高考数学模拟试卷（4月份）1.2.3.、选择题（本大题共 10小题，共 50.0 分）已知集合 ，0， 1， 2，3， ，则A. B.1，C. D.0， 1，2，3，已知 i 为虚数单位，复数 z 满足，则 z 在复平面内对应的点位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限已知直线 ： ， ： ，则“ ”是“ ”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.5.A.B. 6C.D.已知随机变量 X 有三个不同的取值，其分布列如表，则 的最大值为：X4X4Pm6. 将函数 的图象沿 x 轴向左平移

2、个单位后得函数 的图象，则下列直线方程可为 的对称轴的是D.7. 已知矩形 ABCD， ，沿直线 BD将 折成 ，使点 在平面 BCD 上 的射影在 内 不含边界 设二面角 的大小为 ，直线 ， 与平面 BCD 所成的角分别为 ， ，则A. B. C. D.8. 已知双曲线 的右焦点为 F，以 F 为圆心，实半轴长为半径的圆与双曲线 C的某一条渐近线交于两点 P，Q，若其中 O 为原点 ，则双曲线 C的离心率A.B.D.9. 已知函数 ，设方程 的四个不等实根从小到大 依次为 、 、 、 ，则下列判断中一定成立的是A.B.C.D.10. 已知数列 满足：，前 n 项和为 参考数据：，则下列选项

3、中错误的是A. 是单调递增数列， 是单调递减数列B.C.D.二、填空题（本大题共 7 小题，共 35.0分），则 的最大值是 ，最小值是 12. 若二项式 的展开式中各项系数之和为 32，则 ，展开式中 的系数为体的最长的棱长为 该几何体的表面积为 13. 如图为某几何体的三视图， 若该几何体的体积为 ，则该几何14. 已知 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，若， ，且 ，则 ； 的面积为 15. 已知实数 x，y 满足，且 ，则 的最小值为 16. 已知 a， ，函数 的最小值为 ，则 b 的取值范围是 17. 若平面向量 是两个单位向量，且 ，空间向量 满足 ， ，则对任意的

4、实数 ， ， 的最小值是 三、解答题（本大题共 5 小题，共 66.0分）18. 已知 中，角 A， B， C 所对的边为 a， b， c，且满足求角 A 的大小； 若 ， 的面积为， D 为边 BC 的中点，求 AD 的长度19. 如图，菱形 ABCD 中， ，O为线段 CD 的中点，将 沿BO折到 的位置，使得， E为的中点 求证： ； 求直线 AE 与平面所成角的正弦值20. 已知数列的前 n 项和为 ，且满足 ，求 的通项公式；数列 满足 ， ，求 的通项公式21. 椭圆 E：的右焦点 F 到直线 的距离为 ，抛物线 G： 的焦点与椭圆 E 的焦点 F 重合，过 F 作与 x轴垂直的直

5、线交椭圆于 S，T 两点， 交抛物线于 C， D 两点，且求椭圆 E及抛物线 G 的方程；常数 ，使过点 F且斜率为 k的直线 l 交椭圆于 A、 B两点，交抛物线于 M ，N两点，请问是否存在实 为常数若存在，求出 的值；若不存在，说明理由22. 已知函数 讨论函数 的单调性；若函数 在区间 上有两个极值点 ， ，证明：答案与解析1. 答案： B解析： 【分析】可以求出集合 A，然后进行交集和并集的运算即可 本题考查了描述法和列举法的定义，交集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题 【解答】解： ，0， 1， 2，3， ，1， ， ，或 故选： B2. 答案： A解析： 解：由 ，得则复数

6、 z 在复平面内对应的点的坐标为： ，位于第一象限故选： A把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z 在复平面内对应的点的坐标得答案本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3. 答案： C解析： 解：已知直线 ：， ： ，又“ ”的充要条件为：，解得： ，即“”是“”的充分必要条件，故选： C由两直线平行的充要条件得：“”的充要条件为： ，即： ，即“ ”是“ ”的充分必要条件，得解 本题考查了两直线平行的充要条件及命题间的充要关系，属简单题4. 答案： A解析： 【分析】本题主要考查函数图象的判断和识别， 结合函数奇偶性和特殊值的符

7、号是否一致是解决本题的关键 先判断函数的奇偶性，然后利用特殊点的函数值的符号进行排除即可【解答】解：定义域为R，则 是偶函数，排除 C ，排除 B， D故选 A5. 答案： D解析： 解：由 可得 ，故 E ，令 ，则令 ，可得 ，当 时， ，当 时， ，当当时， y 取得最大值时，X 的三个取值 4x， 4各不相等，符合题意，故选：D计算 m，得出 关于 x 的函数解析式，利用导数求出函数最大值即可 本题考查了随机变量的性质，数学期望的计算，属于中档题6. 答案： A解析： 解：函数；沿 x 轴向左平移 个单位后， 可得即， 令， 得令 ，可得对称轴为 故选： A的解析式，结合三角函数的性质

8、求解对称利用辅助角公式化简，根据平移变换的规律即可求解轴本题主要考查函数 的图象变换规律，对称轴的求法，属于基础题7. 答案： D解析：解：如图， 四边形 ABCD 为矩形， ， 当 点在底面上的射影 O 落在 BC 上时，有平面 底面 BCD ，又，可得 平面 ，则 ，平面 ，在 中，设 ， 则 ， ，说明 O 为 BC 的中点； 当 点在底面上的射影 E 落在 BD 上时，可知，设 ，则 ， ， 要使点 在平面 BCD 上的射影 F 在 内 不含边 界 ，则点 的射影 F 落在线段 OE 上 不含端点 可知 为二面角 的平面角 ，直线 直线 与平面 BCD 所成的角为 ，可求得 ， ，且

9、，而的最小值为 1，则 故选： D由题意画出图形，由两种特殊位置得到点 在平面 BCD 上的射影的情况，由线段的长度关系可得 三个角的正弦的大小，则答案可求本题考查二面角的平面角，考查空间想象能力和思维能力，训练了正弦函数单调性的应用，是中档 题8. 答案： A解析： 解：如图，H 为 PQ 的中点，可得化 为 由 F 到渐近线 的距离 ，得 又 ， ， 即 ，解得 故选： A由题意画出图形，求出 F 到渐近线的距离，再由向量等式及勾股定理列式求解 本题考查双曲线离心率的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题9. 答案： D解析： 解： ， 在上的图象关于直线 对称作出 与 的函数图象如图

10、所示：由图象可知 ， 不关于直线 对称， 故 A 错误； 由图象可得 ，由 是减函数可知 ，即 ，即故 B 错误；同理可得，即，故而 ，又，故 D 正确故选： D作出 的函数图象，根据 的单调性得出不等式，再利用对数的运算性质得出各根的关系 本题考查了方程的根与函数的图象的关系，属于中档题10.答案： C解析： 解：由 ，得 ，令 ，即 ，则 ， ， ， 作图如下：由图得：单调递增， 单调递减，故 A 正确；，故 B 正确；， ，故 C 错误由不动点 ，得 ， ， ，故 D 正确故选： C由 ，得，令，即 ，则 ， ， ，作出图象，数形结合能求出结果本题考查命题真假的判断，考查等差数列、等比数

11、列、函数性质等基础知识，考查了推理能力与计 算能力，属于难题11.答案： 12解析：解：由实数 x，y 满足作出可行域如，解得 ，图， 联立 得 化目标函数 由图可知，当直线 过 B 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值为 当直线 过 A 时，直线在 y轴上的截距最大，z 有最大值为： 12则 的最大值与最小值分别为： 12 ， 故答案为： 12； 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得 最优解的坐标，代入目标函数得答案本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题12.答案： 3 270解析： 解：二项式 的展开式中各项

12、系数之和为 ，展开式的通项公式为 ，令 ，求得 ， 可得展开式中 的系数为 ，故答案为： 3； 270先求出 a 的值，再由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中 的系数 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题解析： 解：根据几何体的三视图转换为直观图，该几何体为四棱锥体 如图所示：由于该几何体的体积 ，解得 所以最长的棱长 其中 ， ，所以 ，所以 故答案为： ； 首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的棱长和表面积 本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的棱长的求法和应用，几何体的表面公 式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属

13、于基础题14.答案：解析： 解： ， ，故答案为： ， ，利用正弦定理可得： ， ，可得 B， 再利用三角形的面积计算公式即可得出本题考查了正弦定理、 和差公式、 三角形面积计算公式， 考查了推理能力与计算能力， 属于中档题15.答案：解析：解：设 ，可得所以，当且仅当 ， 时等号成立；故答案为： 利用 和 来表示 ，由 1 的妙用，转化为基本不等式求得最小值即可 本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题16.答案：解析： 解： ，即 ，当 与 没有交点或交点在 y 轴同侧时，此时 ，解得 ；当 与 的交点在 y 轴异侧时，则，当 时，最低点交点坐标为 ，此时 ， ，即 ； 当 时，最低点交点

14、坐标为 ，此时 ， ，即 ； 综上，实数 b 的取值范围为 故答案为： 分析可知， ，然后以 与 的交点情况讨论函数 的最小 值，结合题意，即可求得实数 b 的取值范围本题考查绝对值函数的最值求解，考查分类讨论思想，属于中档题 17.答案： 3解析： 解： ，由题得 ， ， ， ，将条件代入可得上式当且仅当 ， 取等号，故 的最小值是 3 ，故答案为： 3根据题意， ，将其代入 ，并且结合 ， ， ，化简整理 ，进而可求得 最小值本题主要考查平面向量的数量积及其运算性质以及二次式的最值问题，还考查了运算求解的能力， 属于中档题18.答案： 解：因为由正弦定理可得， 即， 因为 ，所以 ，因为

15、，所以 ，因为故，由题意可得， ，故 AD解析： 由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求tanA，进而可求 A；由已知结合三角形的面积公式可求 b，然后结合向量的线性运算及向量的数量积的性质可求本题主要考查了正弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用及三角结合向量的综合应用，属于中 档试题19. 答案： 证明： 为菱形， ，为等边三角形，又 是线段 CD 的中点，即折叠后有 ，而，又，面 BOD ，又 ，且 ，面，解： 由 可知， OB，OD ，两两互相垂直，建立如图空间直角坐标系 ，设平面 的法行量为 ，令 可得直线 AE 与平面所成角的正弦值解析： 推导出 为等边三角形从而 ，折叠后有

16、， ，推 导出 ，从而 面 BOD ， ，由 ，得 ，由此能证明 面 ，从而 由 OB，OD ，两两互相垂直，建立空间直角坐标系 ，利用向量法能求出直线 AE与 平面 所成角的正弦值本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的 位置关系等基础知识。20. 答案： 解：时可得： ，相减可得：，即 ，时， ， 数列 是等比数列，首项为 2，公比为综上可得： 解析： 时可得： ，相减可得： ， 时， ，满足上式，利用等比数列的通项公式即可得出可得于是对 n 分类讨论即可得出本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、累加求和方法、分类讨论方法，考查了推理能力 与计

17、算能力，属于中档题21. 答案： 解： 设椭圆 E、抛物线 G 的公共焦点，由点到直线的距离公式得 解得 ，故 ，即 ， 由， 得，即 ，又 ，解得故椭圆 E 的方程为，抛物线 G 的方程为设 ，把直线 l 的方程 ，与椭圆 E 的方程联立，得整理得把直线 l 的方程 ，与抛物线 G 的方程联立，得要使 为常数， 则 ，解得故存在 ，使得 为常数解析：根据点到直线的距离公式，以及 建立方程关系进行求解即可分别联立直线和椭圆， 直线和抛物线方程， 结合根与系数之间的关系， 利用设而不求思想进行转 化求解即可本题主要考查圆锥曲线方程的求解以及直线和圆锥曲线的位置关系，利用定义法以及联立方程组，利用设而不求思想是解决本题的关键综合性较强，运算量较大，有一定的难度22. 答案： 解：， 当 时， ，即 ，