2020年海南省天一大联考高考数学一模试卷

1、2020 年海南省天一大联考高考数学一模试卷、选择题13 分）已知集合 A x| 0, x2 ，则集合 A的子集的个数为 （23A23 分）A1BC4D1i1 2i3i56 52i (B1 3i5C 1 iD1i3 分）祖暅原理“幂势既同，则积不容异”中的“幂”指面积，势”即是高，意思是：224范围是 （ ）第2页（共 18页）则这两几何体的体积相等 设夹若两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积恒等，在两个平行平面之间的几何体的体积分别为V1 ，V2 ，它们被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为 S1 ， S2 ，则“ S1 S2恒成立”是“ V1 V2”的 （ ）A 充分

2、不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（3 分）将函数ysin2x 的图象向左平移个单位长度后得到曲线4C1 ，再将 C1 上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍得到曲线 C2，则 C2 的解析式为 （)A y sin xB ycosxCy sin 4xDy cos4 x5（3 分）不等式(x211)2 (3x15） 2 的解集为 （)A 53, 1)U(4,)B( 1,4)C (4, )D( ， 1)(4，)6（ 3分）已知 a ， b是不同的直线， ， 是不同的平面，给出以下四个命题：若 a / / ， b / / ，a/b，则 / /； 若 a / / ， b / /

3、，/ / ，则 a/ /b ；若 a ， b ，a b ，则； 若 a ， b ，则a b ()其中真命题的序号是A BCD7（3 分）函数 y x4 x2 1的图象大致为 （ ）8（3 分）如图，矩形花园 ABCD 的边 AB 靠在墙 PQ上，另外三边是由篱笆围成的若该矩形花园的面积为4 平方米，墙 PQ 足够长，则围成该花园所需要篱笆的A 最大长度为 8 米B 最大长度为 4 2 米C最小长度为 8 米D最小长度为 4 2 米9（3 分）若 alog1 3 ， b13 80222 ， c 2log210 ，则 a ， b ， c的大小关系为 （A a b cC b a c10（3 分）如图

4、为函数 y sin（2 x ） 的图象，3P， R ， S为图象与 x轴的三个交点，Q为函数图象在 y 轴右侧部分上的第一个最大值点，则uuur uuur uuur uuur(QP QR)g(QR QS) 的值为 (A 2 B 4CD11（3 分）已知 a 1，若存在 x 1 ，） ，使不等式 3xlna（x 1）lna a 成立，则 a的取值A (1,B(54,C(32,D (2, )12（ 3 分）已知函数 f （x）22x3f(x则函数 yfg(x)在(2n(nbx c, x, 0, g(x)2), x 0,N) 上的零点之和为 (2x1f(1)f ( 3) ， f (0) 2 ，A 2

5、n2B 2n2n12C 2n23n2D n 4n 1二、填空题133 分）函数 f (x)（2x 1）ex 的图象在点（0， f （0）处的切线的倾斜角为143 分）已知向量 a (1,x) ， b (2 x,4) 若 a/ /b，则|x|的值为第6页（共 18页）153 分)在四棱锥 A1 ABCD 中，若 BC 2BA 2AD 2DC 4， A1A 平面 ABCD ，A1A 4 ，则该四棱锥的外接球的体积为16（3 分）顶角为 36 的等腰三角形称为 “黄金三角形” ，黄金三角形看起来标准又美观 如AC 于点 D ，易知 BCD 也图所示， ABC是黄金三角形， AB AC ，作 ABC的

6、平分线交BC 1 ，则 AB；借助黄金三角形可计算sin234317已知 Sn是数列 an的前 n项和，且 Sn 32（an 1）1）求 an 的通项公式；2）设 bn，求数列 bn的前 n项和 TnACDlog3anlog3an 118在平面四边形 ABCD中，已知 AD /BC ， CBD BDC1）若30 ，75 ， 3AC 2CD 5，求 AC ，CD的长；2）若90 ，求证： AB AD EAB 为正三角形 沿平面 EAB ，设F 在线19如图（1），在平面五边形 EADCB 中，已知四边形 ABCD为正方形，着 AB 将四边形 ABCD 折起得到四棱锥 E ABCD ，使得平面 A

7、BCD段 AD 上且满足 DF 2AF ，G 在线段 CF 上且满足 FG CG，O为 ECD 的重心，如图（2）（1）求证： GO/ 平面 ABE；（2）求直线 CF 与平面 BCE 所成角的正弦值20某大型企业生产的某批产品细分为10 个等级，为了了解这批产品的等级分布情况，从仓库存放的 100000 件产品中随机抽取 1000 件进行检测、 分类和统计， 并依据以下规则对产 品进行打分： 1级或 2 级产品打 100分； 3 级或 4级产品打 90分； 5 级、6级、7级或 8 级 产品打 70 分；其余产品打 60 分现在有检测统计表：等级12345678910频数1090100200

8、2001001001007030规定：打分不低于 90 分的为优良级（1） 试估计该企业库存的 100000 件产品为优良级的概率；请估计该企业库存的 100000 件产品的平均得分（2）从该企业库存的 100000 件产品中随机抽取 4 件，请估计这 4件产品的打分之和为 350 分的概率221已知抛物线 C :y2 2px（ p 0）上横坐标为 2的点到焦点的距离为 41）求抛物线 C 的方程；2）若过 A（m，0）（m 4）的直线与圆 D:（x 2）2 y2 4切于 B点，与抛物线 C交于 P，Q点，证明：| PQ |8 2 22设函数f (x)x 2 x e cosx ， g( x)

9、e2ax （1）当 x0, 3时，求 f（x） 的值域；（2）当 x0，） 时，不等式 g（ x）f （2xx） 恒成立 （ f （x）是 f（x） 的导函数），求实数 a的取e值范围第5页（共 18页）2020 年海南省天一大联考高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题1（ 3分）已知集合 A x N* |0, x 2 ，则集合 A的子集的个数为 （ ）A2B3C4D8【解答】 解：A x*N*| 0, x 2 1 ，则集合 A 的子集的个数为2故选： A 1i62i2（3 分）()12i51 3i1 3iABC 1 iD 1 i55【解答】 解：1i62i (1 i )(1 2i )6

10、 2i 1 3i 6 2i1i1 2i55555故选： D 3（3 分）祖暅原理“幂势既同，则积不容异”中的“幂”指面积，“势”即是高，意思是若两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积恒等， 则这两几何体的体积相等 设夹 在两个平行平面之间的几何体的体积分别为V1 ，V2 ，它们被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为 S1 ， S2 ，则“ S1 S2 恒成立”是“ V1 V2 ”的 （）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】 解：根据祖暅原理，由“ S1 S2恒成立”可得到“ V1 V2 ”，反之不一定“ S1 S2 恒成立”是“ V1

11、 V2 ”的充分不必要条件故选： A 4（3 分）将函数 y sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到曲线 C1，再将 C1上所有点4的横坐标伸长到原来的 2 倍得到曲线 C2，则 C2 的解析式为 （ ）Ay sinx By cosx C y sin4x D y cos4x【解答】 解：将函数 y sin 2 x的图象向左平移 个单位长度后得到曲线 C1 ， C1的解析式为4 1 1y sin 2（x） cos2x ，cosxx 再将 C1上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍得到曲线 C2，C2 的解析式为 y cos2g故选： B 25（3 分）不等式 （x211)2(3x15） 2 的解

12、集为 （第13页（共 18页）A 3,1)U(4,)B ( 1,4)C (4,)D （ ，1) (4 ， )【解答】 解：不等式(x211)2(3x15)2等价于 x 2 13x 50，解得 5 , x31或 x4；所以原不等式的解集为5，3，1)(4，）故选： A 6（ 3分）已知 a ， b是不同的直线， 是不同的平面，给出以下四个命题：若 a / / ，b/ / ，a/ /b，则 / /；若 a/ / ，b/ /， / / ，则 a/ /b ；若 a ，b，ab，则；若 a， b， ，则 a b 其中真命题的序号是()A CBD解答】 B/ / ；如图所示，解： 若 a / / ， b

13、/ /，a/ /b，则答案错误 若 a/ ，b/ ， / / ，则 a/b；如图所示：答案错误若 a ， b ， a b ，则；直线 a 和 b 相当于平面 和 的法向量，由于法向 量互相垂直，所以 ，故正确，直线 a 和 b 相当于平面 和 的法向量，由于平面 和 互相垂直，所以平面的法向量互相垂直，故正确故判断得 为假， 为真故选： B 427（3 分）函数 y x4 x2 1的图象大致为 （ ）解答】 解： y 4x3 2x 2x(2 x2 1)，令y令y0，解得 x ( 2,0)U( 2, ) ，故函数的增区间为 ( 2 ,0),( 2, ) ，2 2 2 20，解得 x ( , 2)

14、U(0, 2) ，故函数的减区间为 ( , 2 ),(0, 2 )，2 2 2 2结合选项可知，只有选项 A 符合题意故选： A 8（3 分）如图，矩形花园 ABCD 的边 AB 靠在墙 PQ上，另外三边是由篱笆围成的若该 矩形花园的面积为 4 平方米，墙 PQ足够长，则围成该花园所需要篱笆的（ ）A 最大长度为 8 米B 最大长度为 4 2 米C最小长度为 8 米D最小长度为 4 2 米解答】 解：设 BC a米， CD b米，则ab4，所以围成矩形花园所需要的篱笆长度为2a4 2 ，42aa当且仅当 2a44 ，即 aa2 时取等号故选： D 9（3 分）若3a log13 830， bl

15、og210A a bBac解答】 解：Q21log 13 9log 13 80故选： C 10（ 3 分）如图为函数 y2 2 ，则a，C blog13 217 3，22sin（2 x ） 的图象，函数图象在 y 轴右侧部分上的第一个最大值点，则解答】 解：设 PR的中点为A， RS的中点为5y sin(2x 3)中，令 2x 3 2，解得 x 51222令2x 3 ，解得 x 23 ，所以 A（23 ，0）；b，c 的大小关系为 （ ）P，R，uuur(QPC 2B，2,2 log210 10，S为图象与 x 轴的三个交点，uuur uuurQR)g(QRuuurQS) 的值为 (Q为)5，

16、所以 Q（512 ，1）；同理 R(7 ， 0)，65S(53 ， 0)；第17页(共 18页)17 uuur uuur所以 B(1172 ， 0) ， QuuAur (4 ， 1)， QuuBur ( , 1)；所以 (QPuuur uuur uuur uuur uuurQR)g(QR QS) 2QAg2QBuuur uuur4QAgQB11(3 分)已知 a 1，若存在 x 1 ，范围是()A(1,)B (54,)4【解答】解3xlna(x1)lna a3xlna a( x1)lna因为存在 x1，) 使不等式 3xlna) ，使不等式 3xlna (x 1)lna a 成立，C(2,)D

17、(2,：因为a13x a (x 1)3xax1(x 1)lna a 成立，则 a 的取值)所以所以 a (3x)min ，又 y3xx 1 minx1( 3x )33，() min(3 ) minx1x123a，2故选： C 3 3 在区间 1 ， ) 单调递增， x112( 3 分)已知函数 f (x)223x2 bx c,x, 0,g(x) 2x 1若 f( 1) f( 3) f (x 2), x 0,f (0) 2，则函数 y fg(x)在 (， 2n(n N) 上的零点之和为 (A 2n 22B 2n2 n 122C 2n2 3n 1D n24n 1解答】 解：因为 f( 1) f(

18、3) ， f(0) 2，b4 所以 432,解得 b83， c 2，c 2,2 2 8x x 2, x, 0所以 f (x) 3 3f (x 2), x 0.所以 f(x)在 ( 2,) 上是周期为 2 的函数，x, 2n ，ABCD ，f(x) 在 R上的所有零点为 2k 3(k N) ，所以 y fg(x)在 ( ， 2n(n N)上的所有零点为 g(x) 2k 3(k N )的零点且所以 2x 1 2k 3(k N) 且 x, 2n ，解得 x k 1(0剟k 2n 1且 k N)，所以函数 y fg(x)在( ，2n(n N) 上的零点之和为 (2n 2)( 1 2n) 2n22故选：

19、 B 二、填空题13(3分)函数 f (x) (2x 1)ex的图象在点 (0， f (0)处的切线的倾斜角为4【解答】 解：由 f (x) (2x 1)ex ，得 f (x) 2ex (2 x 1)ex (2 x 1)ex，f (0) 1 ， 函数 f ( x) 的图象在 (0 ， f (0) 处的切线的斜率为 1 ，倾斜角为 4故答案为： 414(3分)已知向量 ar (1,x) ， b (2x,4) 若 ar / /b，则|x|的值为2【解答】 解：Q ar/br ，4 2x2 0，解得 |x| 2 故答案为： 2 15(3 分)在四棱锥 A1 ABCD 中，若 BC 2BA 2AD 2

20、DC 4 ， A1A 平面 A1A 4 ，则该四棱锥的外接球的体积为 64 2 3【解答】 解：由已知可得四边形 ABCD 为一个等腰梯形将四棱锥 A1 ABCD 补成一个正六棱柱 A1B1E1F1G 1D1 ABEFCD ，四棱锥 A1 ABCD 的外接球与正六棱柱 A1B1E1F1C 1D1 ABEFCD 的外接球为同一个设正六棱柱的上下底面的中心分别为O1，O2，则 O1O2的中点为外接球的球心 OQ BC 4 ， O1O2 A1 A 4 ，外接球的半径 OBBC 2(O1O222)2该四棱锥的外接球的体积为OB364 23故答案为：64 2316（3 分）顶角为 36 的等腰三角形称为

21、黄金三角形” ，黄金三角形看起来标准又美观第20页（共 18页）图所示， ABC是黄金三角形， AB AC，作 ABC的平分线交 AC 于点 D，易知 BCD也1 ，则 AB5 1 ；借助黄金三角形可计算 sin2342A ABD DBC 36 ， C BDC 72 ，所以 ABC BCD ，ABBC得BCCD，且 ADBDBC 1x 1 1 ，可解得 x52 1（负值舍去）设 ABACx ，则 CDx1，所以 x1因为 sin 234sin(18054 )sin54cos36 在 ABC 中，根据余弦定理可得 cos36x2 142x所以 sin 234514故答案为：512三、解答题317

22、已知 Sn是数列 an的前 n项和，且 Sn 32（an 1）1）求 an 的通项公式；2）设 bn，求数列 bn 的前 n 项和 Tn log3anlog3an 13解答】 解：（1）因为 Sn 3 （an 1） ，2所以 Sn 1 3（an 1 1）23 相减得 Sn 1 Sn 2 （ an 1 an） ， 所以 an 1 23（an 1 an），所以 an 1 3an 3 又 S1 a1（a1 1） ，解得 a1 3 ，2所以 an是以 3为首项， 3为公比的等比数列，所以 an a1g3n 1 3n， 即an 的通项公式为 an 3n（2）由（ 1）可得1bnlog3anlog3an

23、11 n(n 1)1 1 n n 1所以 Tn b1 b21 11bn ( ) (1 22113)1 1 1 n( ) 1n n 1 n 1 n 118在平面四边形 ABCD中，已知 AD /BC ， CBD BDC ， ACD1）若 30 ， 75 ， 3AC 2CD 5，求 AC ，CD的长；2）若90 ，求证：AB AD解答】（1）解：由已知得CBDBDC30 ， ACD 75 ，所以ACB 45 因为 AD /BC ，所以 ADBCBD30 ，DAC BCA 45 所以 ADC 60 在 ACD 中，由正弦定理得ACsin ADCCD ，所以 AC CD ，sin CAD sin 60

24、 sin 45所以 AC 26CD 又 3 AC2CD 5，所以 AC 3 ，CD 2 （2）证明：在 ACB 中，由余弦定理得AB AC 2 BC22ACBC cos ACB 在ACD 中 ，由余弦定理得AD AC2 CD 2 2 AC gCD gcos ACD AC2 CB2 2ACgCBgcos ACD ，因为 90 ， ACB 180 2 ，所以 ACB ACD （180 2 ） 180 2（ ） 0 ，即 ACB ACD 又 0 ACB 180 ， 0 ACD 180 ，所以 cos ACB cos ACD ，所以 AB AD 19如图（1），在平面五边形 EADCB 中，已知四边形

25、 ABCD为正方形， EAB为正三角形 沿 着 AB 将四边形 ABCD 折起得到四棱锥 E ABCD ，使得平面 ABCD 平面 EAB ，设 F 在线 段 AD 上且满足 DF 2AF ，G 在线段 CF 上且满足 FG CG，O为 ECD 的重心，如图（2）第26页（共 18页）1）求证： GO/ 平面 ABE；2）求直线 CF 与平面 BCE 所成角的正弦值解答】 解：（1）如图，取 CD的中点 P ， AB的中点 H ，连接 PH ， PE， HE由已知易得 P，G，H 三点共线， P，O，E三点共线因为 DF 2AF ， FG CG ，所以 PGDF2DA PH又 O 为 ECD

26、的重心，所以 POPE3所以 OG/HE 因为 OG 平面 ABE， HE 平面 ABE，所以 OG/ 平面 ABE2）在 EAB中，因为 H 为AB的中点，所以 EH AB因为平面 ABCD 平面 EAB ，平面 ABCD 平面 EAB AB， EH 平面 EAB ，所以 EH 平面 ABCD 由（ 1）得， PH AB 所以 HE ， HB ， HP两两垂直，如图，分别以射线 HB，HP，HE的方向为 x， y，z轴PHPEHE的正方向建立空间直角坐标系 H xyz设OB 1，因为 PG PH ，PO PE，所以 OG HE333所以 HE 3 ， AB 2 3所以C( 3,2 3,0)

27、， F( 3,2 3,0) ，B( 3,0,0) ，E(0，0，3)3uuur 4 3 uuur uuur 所以CF ( 2 3, 4 3,0)， BC (0,2 3,0)，BE ( 3,0,3) 3uuur uur设平面 BCE的法向量为 n (a，b， c)，则 BCgrn 0，BE gnr 0( 3,0,1) 所以 b 0, 令c 1，则 a 3 ，所以可取 n 3c 3a 0.设直线 CF 与平面 BCE 所成的角为 ，uuur 则 sin| ngCuuFur| n|CF |2 3) 2 (3 392620某大型企业生产的某批产品细分为10 个等级，为了了解这批产品的等级分布情况，从仓

28、库存放的 100000 件产品中随机抽取1000 件进行检测、 分类和统计， 并依据以下规则对产品进行打分： 1级或 2 级产品打 100分； 3 级或 4级产品打 90分； 5 级、6级、7级或 8 级 产品打 70 分；其余产品打 60 分现在有检测统计表：等级12345678910频数10901002002001001001007030规定：打分不低于 90 分的为优良级（1） 试估计该企业库存的 100000 件产品为优良级的概率； 请估计该企业库存的 100000 件产品的平均得分2）从该企业库存的 100000 件产品中随机抽取 4 件，请估计这 4件产品的打分之和为 350分的概

29、率解答】 解：在 1000 件产品中，设任意1 件产品打分为100分、 90分、 70分、 60 分，分别记为事件 A， B，C， D，由统计表可得， P（ A）10 9010001110 ，P(B)100 20010003130，P(C)200 100 100 100 11000 2P(D)70 30 11000 10131110090 70601010210P( A B) P( A) P(B)100000 件产品的平均得分为78估计该企业库存的1） 估计该企业库存的 100000 件产品为优良级的概率为2)因为 350 2 100 90 60 100 2 90 70 ，所以从该企业库存的

30、100000 件产品随机抽取 4 件， 估计这 4 件产品的打分之和为 350 的概率为21 2131112 3 2136C4（ ）C 2C4C 3（ ）410210104103102625 21已知抛物线 C :y2 2px（ p 0）上横坐标为 2的点到焦点的距离为 4（1）求抛物线 C 的方程；（2）若过 A（m，0）（m 4）的直线与圆 D:（x 2）2 y2 4切于 B点，与抛物线 C交于 P，Q 点，证明： |PQ| 8 2 【解答】 解：（1）由已知可得 2 p 4，解得 p 4 2所以抛物线 C的方程为 y2 8x ；（2）设直线 AB的方程为 x ty m，因为直线 AB 与圆 D相切，2所以 |2 m| 2，即 t2