2020年湖南省邵阳市高考数学二模试卷(文科)(含答案解析)

1、2020 年湖南省邵阳市高考数学二模试卷（文科）、选择题（本大题共 12小题，共 60.0 分）1. 已知集合 ， ，则A.B.C.D.2. 已知 x， ， ，则A.B.C.D.3. 若双曲线 C：的一条渐近线方程为，则A.B.C.D.4. 某地区城乡居民储蓄存款年底余额单位：亿元 如图所示，下列判断一定不正确的是A. 城乡居民储蓄存款年底余额逐年增长B. 农村居民的存款年底余额所占比重逐年上升C. 到 2019 年农村居民存款年底总余额已超过了城镇居民存款年底总余额D. 城镇居民存款年底余额所占的比重逐年下降5. 已知向量 ， ，且 ，则A. B. 2 C. D. 36. 设 x， y满足约

2、束条件，则 的最大值为A.B. 2C. 0D. 47. 从集合 中任意取出两个不同的元素，则取出的两元素之和为奇数的概率是A.B.C.D.8. 在中，A，B，C 的对边分别是 a， b， c，且， ， ， ，则AC 边上的高线的长为A. B. C. D.9. 如图，在正方体中，M，N，P 分别是，BC，的中点，有下列四个结论：与 CM 是异面直线；，CM ，相交于一点； ；平面 D.其中所有正确结论的编号是A. B. C. D.10. “斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多 斐波那契发现， 因为斐 波那契以兔子繁殖为例子而提出，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契 数列 满足 ， ，

3、如图是输 出斐波那契数列的一个算法流程图，现要输出斐波那契数列的前 50 项，则图 中的空白框应填入A.，B.，C.，D.，11. 过抛物线 C：的焦点 F作直线 l，且直线 l与 C及其准线分别相交于 A，B，D 三点，若 ，则A. 直线 l的斜率为B. 直线 l 的斜率为C.D.12. 已知函数 ，若 在 上无零点，则 的取值 范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0分）13. 已知函数 ，则 14. 已知直线 是曲线 的一条切线，则 15. 设 为锐角，若 ，则 16. 一个圆锥恰有三条母线两两夹角为 ，若该圆锥的侧面积为 ，则该圆锥的体积为 三、解答题（

4、本大题共 7 小题，共 70.0分）17. 在公比大于 0 的等比数列中，已知 ，且 ， ， 成等差数列求 的通项公式；已知 ，试问当 n 为何值时， 取得最大值，并求 的最大值18. 在三棱锥 中， ， ， 平面 平面 ABC，点 M 在棱 BC 上若 M 为 BC 的中点，证明： 若三棱锥 的体积为 ，求 M 到平面 ABD 的距离19. 某水果批发商经销某种水果 以下简称 A 水果 ，购入价为 300 元 袋，并以 360元 袋的价格 售出，若前 8小时内所购进的 A 水果没有售完，则批发商将没售完的A 水果以 220 元 袋的价格低价处理完毕 根据经验， 2小时内完全能够把 A 水果低

5、价处理完， 且当天不再购入 该水果 批发商根据往年的销量，统计了 100天 A水果在每天的前 8小时内的销售量，制成如频数分布 条形图记 x 表示 A水果一天前 8 小时内的销售量， y表示水果批发商一天经营 A水果的利润， n 表示水 果批发商一天批发 A 水果的袋数若 ，求 y 与 x 的函数解析式；假设这 100天中水果批发商每天购入 A水果 15 袋或者 16袋，分别计算该水果批发商这 100 天经营 A 水果的利润的平均数，以此作为决策依据，每天应购入A 水果 15袋还是 16袋？20. 已知函数 若 ，求 的单调区间；若 存在唯一的零点 ，且 ，求 a 的取值范围21. 已知椭圆上

6、的点 P 到左、右焦点， 的距离之和为 ，且离心率为求椭圆的标准方程；过 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，点 C与点 B 关于 x轴对称，求 面积的最大值22. 在极坐标系中，极点为 O，一条封闭的曲线 C 由四段曲线组成：，求该封闭曲线所围成的图形面积；若直线 l：与曲线 C恰有 3个公共点，求 k 的值23. 已知函数 m 的取值范围求不等式的解集；若存在，使得关于 x 的方程恰有一个实数根，求答案与解析1. 答案： D解析： 解：因为集合 ， ， 所以 ， ，所以 故选： D先求出集合 A， B，由此能求出本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2. 答

7、案： A解析： 解：由 ， 得， 则 ， ，即 ， ， 所以 ， 故选： A利用复数的四则运算、复数相等即可得出本题考查了复数的四则运算式、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3. 答案： C解析： 解：由题意知双曲线的渐近线方程为可化为故选： C由题意知 ，且双曲线是焦点在 x 轴上的双曲线，写出其渐近线方程，结合已知可得关于m的方程，则 m 值可求本题考查双曲线的渐近线方程，考查运算求解能力，是中档题4. 答案： C解析： 解：到 2019 年，在城乡居民储蓄存款年底总余额中，农村居民储蓄存款所占的比例仍然小于 城镇居民储蓄存款所占的比例，因此农村居民的存款年底总余额仍然少于城镇

8、居民的存款总额， 选项 C 说农村居民的存款年底总余额已经超过了城镇居民的存款总额显然是错误的故选： C根据扇形统计图和条形统计图即可判断出答案 本题考查表的应用，考查数据分析能力以及运算求解能力5. 答案： A解析： 解： 向量 ， ，由 ，得 ，所以 ，则 故选： A直接根据数量积结合已知条件即可求解结论 本题考查平面向量数量积公式，考查运算求解能力6. 答案： B解析： 解：由题可知， 再画出可行域如图，解解析：解：由题可知， 再画出可行域如图，解得，当 l： 平移到过点 时， z 取得最大值， 最大值为： 2故选： B作出不等式组对应的平面区域，平移直线 ，判 断最优解，利用数形结合即

9、可的得到结论本题考查线性规划问题，考查数形结合的思想以及运算求 解能力7. 答案： B解析： 解：由题可知1， 2， 3， ，从集合 A 的元素中取出两个不同的元素共有种情况，取出的两元素之和为奇数的有 种情况，故取出的两元素之和为奇数的概率为 故选： B从集合 A 的元素中取出两个不同的元素共有种情况，取出的两元素之和为奇数的有种情况，由此能求出取出的两元素之和为奇数的概率本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力，是基础题8. 答案： D解析： 解：因为 ， ， ，所以由余弦定理 ，可得 ，整理可得，又，所以 因为 所以 AC 边上的高线的长为 故选： D

10、由已知利用余弦定理可得 ，结合 ，可求 a 的值，进而根据三角形的面积公式 即可求解 AC 边上的高线的长 本题考查余弦定理以及三角形面积公式，考查运算求解能力，属于基础题9. 答案： B解析： 解：因为 ， ，所以 AP与 CM 是相交直线，又面 面 ，所以 AP，CM ，相交于一点，则 不正确， 正确令 ，因为 M，N分别是，BC 的中点，所以 ， ，则 为平行四边形，所以，因为平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 不正确， 正确 综上所述，正确，故选： B本题利用线线间的关系，以及线线平行和线面平行的条件求解 本题考查了空间中点、线、面的位置关系，需要学生有较强的空间想象能力，逻辑分析能力

11、10.答案： A解析： 解：模拟程序的运行，可得执行第 1 次， ， ， ， ，循环， 因为第二次应该计算 ， ，循环， 执行第 3 次，因为第三次应该计算 ， 由此可得图中的空白框应填入 ， 故选： A 由已知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 本题考查数学文化在算法中的应用，考查赋值语句的应用，考查逻辑推理能力，属于基础题 11.答案： C解析： 解：当直线 l 的斜率为正数时，准线与 x 轴交于点 M，过 A， B 两点分别作， 垂直于准线，如图所示，则 ，即 ，设 ， 所以 ， ， ， 所以直线 l 的斜率为 ， ，解得 ，即 由对称性可知直线 l

12、 的斜率为， 当直线 l 的斜率为正数时，准线与 x轴交于点 M，过 A，B 两点分别作， 垂直于准线，结合图形，设 ，通过比例关系，转化求解弦长即可 本题考查抛物线的方程和直线与抛物线的位置关系，考查了数形结合的思想和运算求解能力解析： 解：12.答案： B若 ，则在 上无零点，则 ，解得 ，解得 ， ，当 时， ；当 时， 故选： B先结合二倍角公式和辅助角公式将函数进行化简，得 ，由于 在 上无 零点，因此 ，且 ， ，在 的限制 条件下，解不等式即可得解本题主要考查三角函数的图象与性质， 还涉及二倍角公式和辅助角公式， 考查学生数形结合的思想、 逻辑推理能力和运算能力，属于中档题13.

13、答案： 12解析： 解：根据题意，函数则则有 故答案为：， ， ；12根据题意， 由函数的解析式可得 ， ， ；计算即可得答案 本题考查分段函数的函数值计算，注意认真分析函数的解析式，属于基础题14.答案：解析： 解：设 ，且与 相切于点 ， 因为 ，所以 ，且 ，解得 故答案为： 先对函数求导数，然后令导数为 4，求出切点的横坐标，进而利用曲线求出切点坐标，代入直线方 程，即可求出 b 的值本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力属于基础题15.答案：解析： 解：因为 为锐角， ，所以 ，所以故答案为：由已知利用同角三角函数基本关系式可求 ，进而根据二倍角公式即可求解 本题主要考查了同角三角

14、函数基本关系式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化 思想，属于基础题16.答案：解析： 解：如图，设 ，则 ， 设 ，则底面的直径为 ，该圆锥的侧面积为 ，解得 ，高，该圆锥的体积为 由题意画出图形，由圆锥的侧面积求出母线长及底面半径，再由圆锥体积公式求解 本题考查圆锥的结构特征、 体积与表面积计算公式， 考查空间想象能力和运算求解能力， 是中档题17. 答案： 解： 设的公比为 q，由 ，得 ，即 ，因为 ， ， 成等差数列，所以 ，即 ，即 ， 解得 舍去 ， ，所以 ， ；，由，所以当 或 4 时， 取得最大值， 解析： 设 的公比为 q，运用等比数列的通项公式和等差数列的

15、中项性质，解方程可得首项和公比，即可得到所求通项公式；由等比数列的通项公式和等差数列的求和公式，可得 ，结合二次函数的最值求法，可得所求 最大值和 n 的值本题考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和化简运算能力、推理 能力，属于中档题18. 答案： 解： 证明：取 AC 的中点 O，连接 OB，OD ， 因为 ，所以 又因为平面平面 ABC，且相交于 AC，所以平面 ABC，所以因为 ，所以 ，所以，所以 ，所以 ，且 M 为 BC 的中点，所以 解： ，所以在 中， ，设 M 到平面 ABD 的距离为 h，则，解得 所以 M 到平面 ABD 的距离为 解析： 取 A

16、C 的中点 O，连接 OB，OD ，则推导出 平面 ABC ，从而推导出 ， ， ， ，且 M 为 BC 的中点，由此能证明 ，从而 设 M 到平面 ABD 的距离为 h，由，能求出 M 到平面 ABD 的距离本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关 系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19. 答案： 解： 当 时， ，当 时， ，综上，若水果批发商每天购入 A水果 15袋，则这 100天中有 80天的利润为 900元，有 20 天的利润为760 元，因此该水果批发商这 100天经营 A 水果的利润的平均数为 若水果批发商每天购入 A水果 16

17、袋，则这 100天中有 50 天的利润为 960元，有 30 天的利润为 820 元，有 20 天的利润为 680元，因此该水果批发商这 100天经营 A 水果的利润的平均数为比较两个平均数可知，每天应购入A 水果 15 袋解析： 对x与16的大小关系进行分类，得出 y关于 x的分段函数； 分别计算两种情况时的平均利润，得出结论本题考查了函数解析式，函数值计算，属于基础题20. 答案： 解： 因为 ，则 ， ，令 ，解得 当 时， ；当 时， 故 在 ， 上单调递增， 在 上单调递减当 时， ， 的零点是 ，不符合题意当时， ，当 时， 在 R 上单调递增，所以 ，不符合题意，当时，令，解得，

18、 在 ， 上单调递增，在若 存在唯一的零点 ，且 ，则 ，解得 综上， a 的取值范围为解析： 将 代入，求导，解关于导函数的不等式，进而得出函数 的单调区间；分 及 两种情况讨论， 当 时显然不符合题意， 当时， 再分及 两种情况讨论，综合即可得出结论本题考查利用导数研究函数的单调性， 极值，考查函数的零点， 考查分类讨论思想及运算求解能力， 属于中档题21. 答案： 解：，所以 ， ，所以 ，所以 ，椭圆的标准方程为 由题可知直线 l 的斜率必存在，又 ，设直线 l 的方程为 ， ， ， 联立直线与椭圆的方程，化简得 ，所以当且仅当 时，取得最大值所以 面积的最大值为 解析： 利用椭圆的定义以及离心率，转化求解椭圆的标准方程已知， 直线斜率显然存在，设直线的方程为， ， ，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，结合三角形的面积通过基本不等式转化求解即可 本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能 力如果是考