协整与误差修正模型3-5

1、第三节 协整理论时间序列的协整关系 一、问题来源来源：伪回归现象MC 模拟结果表明， 2 个相互独立的非平稳序列很可能建 立显著的回归模型，这意味着传统统计检验方法失去意义。2 个含有趋势但无关的序列很可能建立显著的回归模型。 产生问题：非平稳序列能否直接建立回归模型？二、平稳性（一）平稳时间序列定义：E（yt）="COV（yt, yt）二 r（s）（序列的相关性只与间隔有关，与时刻无关） 推论：D（yJ=r （0）=常数图形特征：（1）在均值周围波动，频繁穿越均值;（2）波动幅度大致相同；图1日元兑美元差分序列平稳时间序列的含义：任何外来冲击（或振动）对序列变动轨迹的影响是短暂 的

2、， t 时刻的振动影响在 t+1 期会减弱， t+2 期会更弱，随 着时间推移这种影响会逐渐消失，序列将恢复到其平均水 平（称外来冲击影响具有“短记忆”特征） 。但是，对于非平稳时间序列，振动的影响会无限地持续 下去，t时刻的振动影响不会在以后的时期中衰减，所以序 列也难以恢复到一个稳定状态。(二) 常见平稳序列1. 白噪声过程 (white noise)记成:E(yJ =0D(yJ 乂2COV(yt,yJ =02. 自回归过程 (Auto regression AR)y y-1t I |1 ,厂 二2)yt=0.3*yt-1+£ t AR(1)（三）常见非平稳序列1. 趋势平稳过程

3、 （trend stationary）（又称为：退势平稳过程，确定趋势 平稳过程）性质：(1) E(yd= a+ 3, D(yt) = -2 , COV(yt, yt-s) = 0(2) 图形：围绕趋势线等幅波动，外来冲击影响短暂;(3) 可以扩展成带趋势的 AR过程：yt = a+ 3 + 柳一1 + q |时1(4) 平稳化处理：方式1 :退势(消除长期趋势)方式2:差分2 .随机游走过程(random walk)和单位根过程(unit root) 定义：随机游走过程：yt = yt-1 + &,&、(0, -2)单位根过程：y = yt-i + &,& &

4、quot;平稳过程性质：(1)外来冲击影响有长记忆性，难以回到稳定状态。(2) 阶差分为平稳过程(即增幅是平稳的)22002000180016001400 I I I I I I I I - I . I . . . I .501001502002503003带飘移项的随机游走过程/ 单位根过程（ 随机趋势 过程）yt = a + yt-i + g4带飘移项、趋势项的随机游走过程/ 单位根过程yt = a + b t + yt-i + 牟三、单整性1.定义：若非平稳序列 yt经过d阶差分后成为平稳序列， 则称其为d阶单整序列，记成：yt1(d);特别的，平稳序 列记成1(0)2 .性质(1) 若

5、 yt I (0)，则：yt I (0)(2) 若 yt 1(1)，则：yt 1(1)(3) 若 xt，yt I (0)，贝厂 yt I (0)(4)若 Xt I (0), yt I (1)，贝厂 Xt y I (非同阶单整序列的线性组合服从高阶单整)(5)若 Xt I (1), yt I (1)，则1(1)一般情况下：x ： y tyt1(0)协整情况下(同阶单整序列的线性组合可能会降阶)3 .单整性检验-单位根检验（DF/ADF 检验）等价检验模型：检验模型：(1)人二yt-ity-it(2)%八ytyry-i(3)yt - ：t丁2A t气H 0 :1 , H !:丫 ： 1H o :=

6、0 , H 1 :： 0原假设：单位根过程，备选假设：平稳（或趋势平稳）过程。即：当检验统计量的伴随概率 P =时，是单位根过程，P厂时，是平 稳（或趋势平稳）过程。说明:（1）单位根检验过程通常按照模型 3 >2 >1的顺序进行检验；这 个检验顺序容易犯第H类错误，即误认为存在单位根（非平稳），所 以在p 时，还要由模型2、1进一步判断是否是平稳过程，以免 错误接受假设。总之，平稳的结论容易接受，非平稳的结论要慎重。（2）利用模型3检验时，如果p则拒绝存在单位根的原假设， 但并不意味着序列是平稳过程，实际上是趋势平稳过程，还需要经 过1阶差分才是平稳序列。(3) 当序列是AR(p

7、)或误差项£存在自相关性时，此时采用ADF检 验(扩展的DF检验)：丄 y t 二 y t _1' i 厶 y t ； tu y v " y ；ti y t = ： ry t _i ' i a y t _i； tADF检验要确定适当的滞后阶数，可以用 AIC和SC准则来确定四、协整性1.定义：设时间序列Xit，X2t，,Xktl(d)，都是d阶单整序列，且存 在非零向量 a (r，>2,，k)'，使得-Xi >2X2 亠i：kXk I (d -b),，则称变量Xix，Xk之间存在阶数为(d，b)的协整 关系，简称Xi之间的关系是协整的，记

8、成 XiCI(d，b)。 其中，a称为协整向量，Xi的线性组合称为协整方程。2. 协整关系的含义协整关系中，我们最感兴趣的是Cl (d, d),其中最常见 的又是 Cl ( 1 , 1 ),即 xx2, ,xk I ，而必 g2X2 1 心kxk I (0)。协整关系的统计含义： 若干个非平稳序列经过线性组合之 后成为平稳序列。例如，设yt,Xt都是一阶单整序列，如果 Ut “yt Xt I (0)， 即：yt 二豪，(一2/：i ；t =山/1 )这表明，虽然yt、Xt是非平稳变量，但是它们的线性关系却 是平稳的。因此，对于非平稳变量，只要它们之间是协整的， 就可以利用回归分析方法建立模型，

9、称这样的方程为协整回归方程。协整关系的经济含义：协整意味着变量之间存在着一种 长期稳定的均衡关系。在外来 “冲击” 的影响下， 经济变量 可能会暂时偏离均衡状态（即原有的比例关系） ，但是随着 时间的推移， 偏差将会逐渐消失， 系统将会恢复到长期均衡 状态。3. 协整与回归模型中变量的选择一般要求：（1）y与Xi、X2、 、Xk同阶单整;（ 2 ）模型的误差项（即线性组合后的剩余部分）平稳。设定计量经济模型时，对于“同阶单整”需要注意：（1）如果只有一个解释变量 X,则y和x的单整阶数必 须相同。（2）如果有多个解释变量，则y的单整阶数不能高于任 何一个解释变量的单整阶数。（3） 如果有一个解

10、释变量的单整阶数高于 y，则模型中 至少还要有一个相同阶数的解释变量， 这样才可能组合降阶 成与y同阶的变量；例如，对于模型：ytoxit x2t *如果 yt I (1) , x1t I (2),那么只有 x2t I (2),并且：必 ：2X2 I (1) 时，y与Xi、X2之间才可能存在协整关系，使得；t I (0)。4. 协整检验协整性的检验方法主要有两个，一个是恩格尔和格兰杰于1987年提出的“两步估计法”，简称“ EG两步法”，这种 方法适用于检验变量之间只存在一个协整关系的情况。当变量之间有多个协整关系时，乔纳森(S.Johansen )在1988、1991年的两篇论文中提出了一个

11、更为有效的检验方法 Johansen检验(具体检验过程在 VAR模型中讨论)。EG两步法检验过程：第一步：利用最小二乘法估计模型，并计算相应的残差序列： = % +陥+勺et =笊-（凫+陥）第二步：检验残差序列的平稳性：如果经过DF检验（或ADF检验）拒绝了存在单位根的原假设，残差序列是平稳序 列，则意味着y和x存在着协整关系，称回归模型为协整回 归方程；如果接受了存在单位根的原假设，则残差序列是非平稳的，y和x之间不可能存在协整关系，模型是虚假回归方程。第四节 误差修正模型误差修正模型（Error Correction Model, ECM最初是 由 Sargan （ 1964 年）提出，

12、后经 Davidson 、Hendry、Srba 和 Yeo（ 1978 年）进一步完善， 恩格尔和格兰杰又将误差修 正模型与协整理论相结合， 提出了建立误差修正模型的一般 方法（ 1987 年）。一、误差修正模型的构造定义：y - o >xtecm_;t其中，ecm是回归模型的残差项，<o。称该模型为“误差修正模型”，简称ECM例如，对于yt的（1， 1）阶自回归分布滞后模型：% 二'°XtXm2%-1t 在模型两端同时减yt-1，并在模型右端0X2,得:9 Xt （o：i）Xt（匕-1）%一1ot + PP（21叽=7其中，（y-io1人_1）；t：2 -1

13、,：0 =C 0）心 一 -2）,： 1 二 S/（1 - ：2）。记ecg_1 二 y1 - ： o 一 ： 1Xt_1贝H屮二：o丄 Xt ecmt_1二、误差修正模型的含义当yt和xt协整时，设协整回归方程为：yt =X：”xt ；t它反映了 yt与xt的长期均衡关系，所以称 ECM中的ecmii 是前一期的“非均衡误差”，称误差修正模型中的 ecmz是误 差修正项，2 -1是修正系数，由于通常2“，这样<0 ；当ecmtVi >0时（即出现正误差），误差修正项ecmt, 0，而 ecmn-i < 0时（即出现负误差），ecg" 0,两者的方向恰好 相反，所以

14、，误差修正是一个反向调整过程（负反馈机制）。误差修正模型有以下几个明确的含义：1 .均衡的偏差调整机制误差修正模型表明，y的变化由两部分组成，一是解释 变量引起的变化，一是对前期非均衡状态的调整。只要上一 期存在非均衡误差，ecmtj"，即使t时刻解释变量不发生 变化(也人=0)，yt还是要进行调整(Ayt=Yecmt/O)，而且是 一个反向调整过程。所以，误差修正模型描述了经济系统的 动态调整过程一一由不均衡向均衡的转变过程，调整过程 中，调整的方向与偏离均衡的方向相反，调整的力度与修正系数和前期偏差值的大小有关。2.协整与长期均衡的关系当变量y和x协整时，设协整回归方程为：误差项

15、，反映了解释变量x以外的其他因素的影响；由于y、 x的协整性，*应该是平稳序列，所以在其他因素的“冲击” 下，y可能会偏离长期均衡线jx，但是随着时间的推移，t的影响会逐渐消失，y又会返回到长期均衡状态一一这是 利用的平稳性解释了协整与长期均衡的关系。利用误差修正模型可以从另一个角度解释这个关系：当y与x存在协整关系斤0 *1心时，误差修正模型描述了 y 关于这个关系的动态调整过程，在误差调整机制的作用下，y和x始终围绕着yt f 0 *1%变化，或者说，误差修正模型 约束的结果保证了这种均衡关系的持续。所以，y与x协整时，系统内在的约束机制使得 y与x有长期均衡关系。3. 经济变量的长期与短

16、期变化模型将协整回归模型和误差修正模型结合起来，可以更加全 面地描述y的变化规律:长期趋势模型：yt*必气短期波动模型 :yt 二：o 'Xt ecmtj ；t协整回归模型描述了 y的长期变化规律，：o、：i为长期 参数，：i衡量了 y与x的长期比例关系。而误差修正模型描 述了 y的短期变化规律，其短期波动由x的变化和上期均衡 误差决定，i和 为短期参数，表示变量之间的短期影响程 度和调整关系。由于误差修正模型的 ecm-i中含有长期参数， 所以ECM同时反映了变量之间的长期关系和短期效应。三、误差修正模型的估计格兰杰表示定理（ 1987 年）指出：如果非平稳变量之间 存在协整关系， 则必然可以