高等数学：8_6 空间直线及其方程

1、-1-一、空间直线的一般方程二、空间直线的对称式方程与参数方程三、两直线的夹角四、直线与平面的夹角8.6 空间直线及其方程空间直线及其方程五、平面束-2-xyzo1 2 定义定义 空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线 0022221111DzCyBxADzCyBxA 空间直线的一般方程空间直线的一般方程L2562123,zyxzyx如一、空间直线的一般方程-3-xyzo若一非零向量平行于一条已知若一非零向量平行于一条已知直线，则此向量称为这条直线，则此向量称为这条直线直线的方向向量的方向向量sL 直线的方向向量直线的方向向量1. 对称式方程 特征：一条直线的法向量不唯一.二、空

2、间直线的对称式方程与参数方程-4-pzznyymxx000对称式方程对称式方程( (点向式方程点向式方程) ),的的方方向向向向量量为为Lpnms 为直线的方向数。为直线的方向数。、pnm),(zyxML上一点解：任取sMM0则/,0000zzyyxxMM而而.,),(0000的直线方程试求的方向向量为上一点，为设LLpnmsLzyxMxyzosL0M M -5-:说明01000zznyymxx)(000zznyymxxpzzyyxx0000000yyxx00)2(22221111DzCyBxADzCyBxAL若的方向向量则L22211121CBACBAkjinnS-6-ptzzntyymtx

3、x000 参数方程参数方程pzznyymxx000令令t2. 参数方程-7-1例例121121121zzzzyyyyxxxx.,),(),(2122221111直线方程的求过是空间两点设PPzyxPzyxP 两点式方程两点式方程例2 用对称式方程及参数方程表示直线（P45 例例 1）.043201 zyxzyx-8-解解在直线上任取一点在直线上任取一点),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2, 000 zy点坐标点坐标),2, 0 , 1( 取取21nns ,3, 1, 4 312111kji对称式方程对称式方程,321041 zyx参数方程参数方程.3241 t

4、ztytx-9-:解解)5 , 2 , 3(0M21nns 512401kji,134直线方程直线方程153243zyx3例.15234)5 , 2 , 3(的交线平行的直线方程和且与两平面求过点zyxzx-10-:解解直线的参数方程直线的参数方程tztytx2321代入平面方程得代入平面方程得0523212)()()(ttt4t交点交点),(563.052231211的交点和平面求直线zyxzyx4例-11-解解因因为为直直线线和和y轴轴垂垂直直相相交交, 所以交点为所以交点为),0, 3, 0( B取取BAs ,4, 0, 2 所求直线方程所求直线方程.440322 zyx-12-定义定义

5、直线直线:1L,111111pzznyymxx 直线直线:2L,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 两直线的方向向量的夹角两直线的方向向量的夹角. .（取锐角取锐角）两直线的夹角公式两直线的夹角公式三、两直线的夹角-13-两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直线直线:1L直线直线:2L,0, 4, 11 s,1 , 0 , 02 s, 021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即-14-5例134111zyxL :设

6、设12222zyxL :.求两直线的夹角求两直线的夹角46例例-15-解解先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx令令tzyx 12131. 1213 tztytx代入平面方程得代入平面方程得 ,73 t交点交点)73,713,72( N取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为MNMN373, 1713, 272 ,724,76,712 所求直线方程为所求直线方程为.431122 zyx-16-定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹角直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角 ,:000pzznyy

7、mxxL , 0: DCzByAx,pnms ,CBAn 2),(ns 2),(ns 0.2 或或四、直线与平面的夹角-17-222222|sinpnmCBACpBnAm 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系： L)1(.pCnBmA L)2(/. 0 CpBnAm .cos 2 cossin2 -18-例例 8 8 设直线设直线:L21121 zyx，平面，平面: 32 zyx，求直线与平面的夹角，求直线与平面的夹角. 解解,2, 1, 1 n,2, 1, 2 s222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21| .637

8、 637arcsin 为所求夹角为所求夹角-19-)2(0) 1 (022221111DzCyBxADzCyBxAL的方程设直线建立方程建立方程)()()(3022221111DzCyBxADzCyBxA 0)()()()(21212121DDzCCyBBxAA即，).)2(: ) 3(外除的任一平面表示通过L五、平面束称（3 3）为通过直线L的平面束方程-20-上的投影直线方程在平面求直线例0:0101:9zyxzyxzyxL:解解的平面束方程为设过直线L011)()(zyxzyx 01111)()()()( zyx垂直与欲使平面束中的某平面01)1(1)1 (1)1 (则1 投影平面方程投

9、影平面方程0222 zy投影直线方程投影直线方程001zyxzy-21-10例.0552:42113，求其方程于平面且垂直已知平面过直线zyxzyx:解解直线可写成一般式方程直线可写成一般式方程423113zxyx0634033zxyx即即作平面束方程063433)()(zxyx 0633341)()( zyx-22-垂直垂直待求平面与待求平面与 05313241)()()( 71 平面方程平面方程057zyx-23-11例例.12:11231:) 1 , 2 , 1 (21相交，求该直线方程又和直线且垂直直线一直线过点zyxLzyxLA:解解,S设待求直线方向向量为.)2() 1 (21nL

10、ASSS的平面的法线量点及过；则,nLA的的平平面面的的法法向向量量点点及及先先求求过过2),(00022ML 上一点上一点任取任取,1212AMAMSn22121112kjikji333-24-待求直线的方向向量待求直线的方向向量nSS1333123kjikji523直线方程直线方程512231zyx-25-:法二),(0002zyxBL 的交点为设待求直线与12000zyx0000,2yzyx即10001, 2, 1LABzyxAB，且又0) 1()2(2) 1(3000zyx代入，将00002yzyx7871678000zxy,7151762791zyx待求直线512231zyx即，-26-空间直线的一般方程空间直线的一般方程.空间直线的对称式方程与参数方程空间直线的对称式方程与参数方程.两直线的夹角两直线的夹角.直线与平面的夹角直线与平面的夹角.（注意两直线的位置关系）（注意两直线的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）六、小结六、小结-27-4968P习题习题15,11, 8, 7, 5, 4, 3总习题八总习题八 P50 13, 14(1)(2), 17, 18, 20-28-思考题思考题