高等数学：9_1多元函数的基本概念（新）

1、1一、平面点集二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性9.1 多元函数的基本概念 2( , )Px y与二元有序实数组当平面引进了一个直角坐标系后，平面之间就建立了一上的点一对应。P),(yx2Rxy0.,),(2就表示坐标平面，的全体，即，二元有序实数组RyRxyxRRRyx一、平面点集3( , ) ( , ).Ex yx yP记作具有的性质| 2EP OP22( , )4Ex y xy 平面点集：平面点集：或.P坐标平面上具有某种性质 的点的集合2. 如：平面上以原点为中心、 为半径的圆内所 有点的集合4 邻域邻域00(, )|U PP PP2200( , )|()().x

2、 yxxyy0P ，即，邻域，记作的去心点),(00PUPo.)()(0| ),(),(20200yyxxyxPUo000000(,)0.(, )P xyxOPPyPU设是平面上的一个点，且与点距离小于 的点的全体，称为，记为点的邻域，即，5 点与点集间的关系点与点集间的关系是平面上的一个点是平面上的一个点集，设PEEP ( ).PU PEPE若 点的某个邻域，则称为的内点 内内点点P P( )( ).PU PU PEPE 若 点 的某个邻域，满足，则称为的外点 外外点点.PEEPE若点 的任一邻域既含有属于的点，又含有不属于的点，则称为的边界点 边边界界点点.EEE的边界点的全体，记：为的边

3、界60( ,)( ,).PU PEU PEPE ，点 的去心邻域内总有中的点，即，称为的聚点则E 聚点聚点1. 1. 内点一定是聚点内点一定是聚点; ;2. 2. 边界点可能是聚点，也可能不是边界点可能是聚点，也可能不是. .10| ),(22yxyxE例例(0,0)(0,0)既是既是E E边界点，也是边界点，也是E E聚点，但不属于聚点，但不属于E E3. 3. E E的聚点可能属于的聚点可能属于E E，也可能不属于，也可能不属于E.E.7D 重要重要的平面点集的平面点集 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集开集； 若点集 E E , 则称 E 为闭集闭集；若集合 E 中任意两点都可用

4、一完全属于 E的折线相连 ，则称 E是连通集连通集 ; 开区域连同它的边界一起称为闭区域闭区域. 连通的开集称为开区域开区域 ，简称区域区域 ;。 。 E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作 E E ;8例如，例如，在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx开区域闭区域xyo21xyoxyo21xyo9 整个平面 点集 1),(xyx是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域；但非区域 .11oxy 点集 1),(xyx但非闭区域 .是闭集，11oxy100| ),( yxyx有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域xyo例如，例如，为无界

5、集否则称为有界集，是坐标原点，则称其中，使得，若存在某一正数对于平面点集EEOrOUErE),(41| ),(22 yxyx 有界集、无界集有界集、无界集11二、多元函数的概念二、多元函数的概念 1. 1. 引例引例: :圆柱体的体积2Vr h( , )0,0r hrhhr12( )-.u uf PPD数，集值值域域2. 2. 二元函数的定义二元函数的定义 - D平面点集；定定义义域域,.( , )( , )( )DzzxP x yDzf x yzfyP设平面上的一个点集，变量 按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称 是变量的，记为， 或二二元元函函数数类似地，我们可定义三元及三元以上的函数

6、2nn当时， 元函数称为多多元元函函数数13如何求二元函数的定义域？xyz 0),( xyyxDxyoyxz111),( yxyxDxy14222arcsin(), ) ( 3xyf x yxy求函数的定义域练练习习222310 xyxy解： 22224xyxy 222( , )|24.Dx yxyxy故，定义域15二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.3. 3. 二元函数的图形二元函数的图形 16举举 例例2222( , )11Dx yyxyxz( , ),insDx y xRzxyRy1722(), ),1Dx y xRzxyyR 22( , ),1Dx yyRxxR

7、yz18三、多元函数的极限Axfxx)(lim0回顾一元函数：为一常数，点某去心邻域内有定义在设Axxf0)(恒有时，使当，总,0000 xx( ),f xA.)(0的极限当为则称xxxfA.),(，也有极限的定义类似地，对于二元函数yxfz 19()二元函数极限的定义语言000( , )(,).zf x yDP xyD设函数的定义域为 ，是的聚点000000lim( , )( , )( , )(,)lim( )( ).xxyyPPf x yAf x yAx yxyf PAf PAPP记作或，；或，00( , )( , )(,.)Azf x yx yxy为则称当时的极限|( )|( , )|f

8、 PAf x yA恒有，02200000( , )(,)0 |()()P x yDU PPPxxyy ，使得当时，即，20说明：说明：(1) 二元函数的极限也叫二重极限；00(2) lim( )( ).PPf PAPPf PA以趋于时，任意方式0P21证证012222yxyxsin)(22221sinyxyx 22yx 取，220(0)(0)xy当时， 01sin)(2222yxyx01sin)(02222yxyx，要使22220011lim()sin0.xyxyxy例求证.依据二元函数极限的定义知结论成立22判定二元函数极限不存在的常用方法：00000()( , )(,)lim( )lim(

9、 ).PPPPP CDP x yCP xyf Pf P 某种特殊方式若按照趋于时，不存在，则不存在2( , )(0,0)2limcos.x yyx例证明不存在( , )(0,0)x yyx证: 当沿直线趋于点时，有2( , )(0,0)01limcoslimcos.x yxy xyxx不存在.因此，原极限不存在230000( , )(,)( , )lim( )PPP x yP xyf x yf P若按照趋于时，某类特殊方不趋于常数，则.式不存在( , )(0,0)3lim.x yxyxy例证明不存在( , )(0,0)x yykx证: 当沿直线趋于点时，有( , )(0,0)0(1)1liml

10、im1.(1)1x yxy kxxyk xkkxyk xk ，.因此，原极限不存在k此值随 值不同而不同，240001212()()lim( )lim( )lim( ).PPPPPPP CDP CDCCf Pf Pf P两种特殊方找出：与，若，式则不存在22222( , )(0,0)4lim.()x yx yx yxy例证明不存在( , )(0,0)x yyx 证: 依次取的两种方式：，分别求极限2242224( , )(0,0)0limlim1()x yxy xx yxx yxyx，.两种方式得到的极限值不同，故原极限不存在22422242( , )(0,0)0limlim0()4x yxy

11、xx yxx yxyxx，25222200lim.xyxyxy练证明不存在习，此时，轴趋于原点沿当点解0)0 , 0(),(:yOxyxP222200limyxyxyx220limxxx1，此时，轴趋于原点沿当点0)0 , 0(),(xOyyxP222200limyxyxyx220limyyy1.故，极限不存在，得证26证证36200lim.xyx yxy练习证明不存在3ykx取，36200limxyx yxy3336260limxy kxxkxxk x21kk，.k由于上述极限值随 的不同取值而变化，故，极限不存在27 二元函数求极限的方法：化二元函数的极限为一元函数的极限02sin()li

12、mxyxyx例02sin()limxyxyyxy0022sin()limlim2xxyyxyyxy28利用极限的四则运算22()+5lim()x yxyxye 例22+limx yxyxye =(0 0+0 0)=022+11lim ()xyyxxyxyeeee =29利用无穷小量与有界函数的乘积222200+1 16limxyx yxy例22022220lim()(+1 1)xyx yxyx y=022011lim=2+1 1xyx y而，22220lim01xyxxy，=0故，原式222200lim=0.xyx yxy3022200sin()limxyx yxy练求习解解2222200)s

13、in(limyxyxyxyxyx原式其中，其中，yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx xyxyxx21)(212222, 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 31利用夹逼准则2222007limxyx yxy例222222x yyyxy即，22222,x yyxy因为222200lim=0.xyx yxy故，220000lim()lim()0 xxyyyy而32利用直角坐标与极坐标之间的关系2222008limxyx yxy例cossinxx令，则2222222000(cos ) ( sin )lim= limxyx yxy

14、（ 任意）220= lim (cos sin ) 0（ 任意）33四、多元函数的连续性0( ).nDf PPD设 元函数定义域聚点为 ，定定义义：000lim( )()( )PPf Pf Pf PP，在则点若称，连连续续0000( , )(,)lim( , )(,)x yxyf x yf xy0.P否则称为，此时称为不不连连续续间间断断点点.DD若函数在上各点处都连续，则称数在此上连续函000( , )(,)f x yP xy二元函数在点处连续34说说明明: :000( , )(,)zf x yP xy在处连续下三条同时成立000( )( , )(,)azf x yP xy在处有定义；00(

15、, )(,)( )lim( , )x yxybf x y存在；0000( , )(,)( )lim( , )(,).x yxycf x yf xy000( , )(,).zf x yP xy在处不连续上三条至少有一个不成立35.二元连续函数的图形是一无洞、无裂个缝的曲面)(122yxz如36闭区域上多元连续函数的性质最大值和最小值定理DD在有界闭区域上的多元连续函数，在上至少取得它的最大值和最小值各一次DDD在有界闭区域上的多元连续函数，若在上取得两个不同的函数值，则它在上取得介于这两数值之间的任何值至少一次介值定理37 多元初等函数.由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元初元函数叫等函数多是指包含在定义域内的区域或定义区域闭区域定一义切多区域元初等函数在其是内连续的cos(1)zxy如，1322yxxyz380, 02)sin(cos0332233rrryxyx)0 , 0(0)sin(coslim),(lim33000fryxfryx故，连续sin,cosryrx解：令3322, ( , )(0,0)9( , )0,( , )(0,0)(0,0).xyx yf x yxyx y例讨论函数在点的连续性3922222210,0( , )0,0(0,0)xyxy