高等数学课件：D3_2洛必塔

1、高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期三、其他未定式三、其他未定式 二、二、 型未定式型未定式一、一、 型未定式型未定式00第二节第二节洛必达洛必达(L(LHospital)Hospital)法则法则 第三章第三章 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期.)()(lim)()()()(型未定式型未定式或或常把这种极限称为常把这种极限称为在通在通可能存在、也可能不存可能存在、也可能不存极限极限大，那末大，那末都趋于零或都趋于无穷都趋于零或都趋于无穷与与时，两个函数时，两个函数或或如果当如果当 00 xFxfx

2、Fxfxaxxax定义定义例如例如, ,tanlim0 xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()( 本节建立用导数求极限的重要方法本节建立用导数求极限的重要方法. .高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期一、一、( )3) lim( )xafxFx 存在存在 (或为或为 )( )( )limlim( )( )xaxaf xfxF xFx ,)()()()内可导内可导在在与与axFxf2定理定理 1.型未定式型未定式00(洛必达法则洛必达法则) 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未

3、定式的值的方法称为极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则洛必达法则. .1) lim( )lim( )0 xaxaf xF x( )0F x 且且高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期( 在在 x , a 之间之间)证证: 无妨假设无妨假设( )( )0,f aF a在指出的在指出的,xa 则则( ),( )f xF x或或a , x 上满足柯西定理条件，故上满足柯西定理条件，故( )( )( )( )( )( )f xf xf aF xF xF a ( )( )fF ( )lim( )xaf xF x( )lim( )xafF ( )lim( )

4、xafxFx )3邻域内任取邻域内任取在以在以 x, a高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期推论推论1. 定理定理 1 中中xa换为换为,xa ,xa ,x x 推论推论 2. 若若( )lim( )fxFx 满满足足定定且且型型仍仍属属)(, )(,xFxf 00满足理满足理1条件条件, 则则( )( )limlim( )( )f xfxF xFx ( )lim( )fxFx 条件条件 2) 作相应的修改作相应的修改 , 定理定理 1 仍然成立仍然成立.,x 洛必达法则洛必达法则满满足足定定且且型型仍仍属属)(, )(,xFxf 00( )( )

5、limlim( )( )xaxaf xfxF xFx 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例1解解0tanlimxxx求求0(tan )lim( )xxx 原原式式1seclim20 xx . 1 例例2解解0sinlimsinxaxbx求求bxbaxaxcoscoslim0 原式原式ba 00型型00型型高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例3. 求求332132lim1xxxxxx解解: 原式原式1 limx 00型型16lim62xxx 32 注意注意: 不是未定式不能用洛必达法则不是未定式不

6、能用洛必达法则 !16lim62xxx 16lim16x 233x 2321xx高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例4. 求求arctan2lim1xxx 解解:原式原式 lim x 00型型22lim1xxx 1 211x 21x 211lim1xx 型型高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期二、二、 型未定式型未定式1) lim ( )lim( )xaxaf xF x ( )3) lim( )xafxFx 存在存在 (或为或为)( )lim( )xaf xF x定理定理 2.( )lim( )xa

7、fxFx (洛必达法则洛必达法则),)()()()内内可可导导在在与与axFxf20 )(xF且且高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例5解解2tanlimtan3xxx 求求222seclim3sec 3xxx 原原式式xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 3 00型型型型 00型型高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例6. 求求lnlim(0)nxxnx 解解: 型型原式原

8、式11limnxxnx 1limnxnx 0 例例7. 求求解解: 原式原式0 1limnxxnxe 22(1)limnxxn nxe !limnxxne limnxxxe 型型n为正整数为正整数,0高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期说明说明:1) 例例6 , 例例7 表明表明x 时时,ln,x后者比前者趋于后者比前者趋于更快更快 .(0)xe (0),nxn lnlim0(0)nxxnx例例6. 例例7.lim0(0 ,0)nxxxne 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例如例如,21limxxx

9、 2lim1xxx 21limxxx 而而21limxxx 21lim11xx用洛必达法则用洛必达法则2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法在满足定理条件的某些情况下洛必达法 则不能解决计算问题则不能解决计算问题 . 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期类似的例子如类似的例子如,(1) limxxxxxeeee limxxxxxeeee limxxxxxeeee 2sin( ) limcosxxxexex coslimsinxxxexex sinlimcosxxxexex coslimsinxxxexexsinlimcosxxxexex 高等数学

10、高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期3) 若若( )lim( )fxFx ( )( )limlim( )( )f xfxF xFx 例如例如,sinlimxxxx 1coslim1xx 极限不存在极限不存在洛必达法则失效洛必达法则失效+1lim (1sin)xxx 原原式式1 不存在不存在高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期三、其它未定式三、其它未定式:0,00 ,1 , 0 型型解决方法解决方法:通分通分转化转化0 取倒数取倒数转化转化001 0 取对数取对数 0 转化转化00 高等数学高等数学 化学化学14

11、1、142 20142015学年第一学期学年第一学期型型 0. 1步骤步骤: :,10 .0100 或或例例8. 求求00limln()nxxxn 0型型解解: 原式原式0lnlimnxxx 101limnxxn x 0 0lim()nxxn 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例9解解011lim()sinxxx 求求型型 0101 0000 0sinlimsinxxxxx 原原式式01coslimsincosxxxxx 型型 . 2步骤步骤: :0sinlim2cossinxxxxx 0 高等数学高等数学 化学化学141、142 201420

12、15学年第一学期学年第一学期步骤步骤: :型型00,1 ,0. 3 ln01ln0ln01000取对数取对数.0 例例10解解0limxxx 求求型型00ln0limxxxe 原原式式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e 1 xxxe1lnlim0 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例11解解111lim.xxx 求型型 11ln11limxxxe 原原式式xxxe 1lnlim111lim1xxe 1 e高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例12解解xxxln10)(cotlim

13、求求型型0 )ln(cotlnln)(cotxxxex 11取对数得取对数得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 1 .1 e原式原式高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期注意：注意：洛必达法则是求不定式的一种有效洛必达法则是求不定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好果更好. .例例13解解20tanlimtanxxxxx 求求30tanlimxxxx 原原式式xxxx6tansec2lim20 22031seclimxxx xx

14、xtanlim310 31 220tanlim3xxx 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期先化为先化为 型或型或 型型.1. 只有只有 型或型或 型未定式才能直接用罗型未定式才能直接用罗必达法则必达法则.应用罗必达法则应注意的问题应用罗必达法则应注意的问题00002. 0,0 ,1 型的未定式应型的未定式应具体应化为哪一种具体应化为哪一种,应以一阶导数之比比原来未定式简单的应以一阶导数之比比原来未定式简单的原则原则,视具体情况而定视具体情况而定. 00 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期应用罗必达法

15、则应注意的问题应用罗必达法则应注意的问题3. 若满足条件若满足条件,罗必达法则可连续使用罗必达法则可连续使用.4. 若用罗必达法则时若用罗必达法则时,永远是未定式永远是未定式,则此则此法不可用法不可用.5. 若用罗必达法则求极限较繁时若用罗必达法则求极限较繁时,可改用可改用其他方法其他方法.高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期6. 罗必达法则的条件是充分的不是必要的罗必达法则的条件是充分的不是必要的,因此因此( )lim( )fxFx 不存在时不存在时(不包含不包含 的情况的情况), 并不能肯定并不能肯定,( )lim( )f xF x不存在不存在

16、.不能再用罗必达法则不能再用罗必达法则.7. 罗必达法则最好能与求极限的其他方法罗必达法则最好能与求极限的其他方法结合使用结合使用.只是此时只是此时高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期课堂练习课堂练习20sinlim(1) xxxxxe0limcot2xxxtan01lim xxx1 求极限求极限3 求极限求极限4 求极限求极限2 求极限求极限2lim(sectan )xxx 答案答案:1/6答案答案:0答案答案:1/2答案答案:1高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期型型2lim(sectan )xxx

17、 解解: 原式原式21sinlim()coscosxxxx 21sinlimcosxxx 2coslimsinxxx 0 例例10. 求求高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期思考与练习思考与练习2013sincos1. lim(1cos )ln(1)xxxxxx 原式原式2013sincos1lim2xxxxx 1(30)232分析分析:高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期分析分析:201coslim3xxx 30 limxx 2.011limcotsinxxxx原式原式sin xx0limcos1xx sinxx 21220lim3xxx 1cos x 212x16 1620cos(