工程力学C：第十二章弯曲变形

1、工程力学多媒体课件工程力学多媒体课件第十二章 弯曲变形 摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。甚至会出现废品。 在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。12.1 概述概述一、工程中的弯曲实例一、工程中的弯曲实例 桥式起重机的横梁变形过大桥式起重机的横梁变形过大, ,则会使小车行走困难，出现则会

2、使小车行走困难，出现爬坡现象。爬坡现象。 但但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。形，以满足特定的工作需要。 例如，例如，车辆上的叠板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆上的叠板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。车辆受到的冲击和振动作用。P2P2P二、计算弯曲变形的目的二、计算弯曲变形的目的1 1、研究刚度、研究刚度2 2、解静不定问题、解静不定问题控制变形：齿轮轴，镗刀杆控制变形：齿轮轴，镗刀杆使用变形：叠板弹簧，跳水板使用变形：叠板弹簧，跳水板三、弯曲变形的基本概念三、弯曲变形的基

3、本概念对称轴对称轴轴线轴线纵向对称面纵向对称面1 1、挠曲线、挠曲线 梁在平面弯曲时，其轴线在载荷作用平面（纵向对称面）梁在平面弯曲时，其轴线在载荷作用平面（纵向对称面）内，变成了一条曲线，该曲线称为内，变成了一条曲线，该曲线称为挠曲线挠曲线。表示：表示：连续光滑连续光滑特点：特点：w=f(x)，它是坐标，它是坐标x的连续函数。的连续函数。2.2.挠度和转角挠度和转角规定规定：向上的挠度为正：向上的挠度为正 逆时针的转角为正逆时针的转角为正xyxw挠曲线方程：挠曲线方程：( )w f x转角方程：转角方程：d( )dwfxxtan: : 是度量弯曲变形的两个基本量是度量弯曲变形的两个基本量四、

4、画挠曲线近似形状的方法四、画挠曲线近似形状的方法2 2、考虑支座的约束特点、考虑支座的约束特点固定端：固定端：w = 0,= 0, = 0= 0铰支座：铰支座：w A= 0,= 0,wB = 0= 01 1、明确：挠曲线是一条连续光滑的曲线、明确：挠曲线是一条连续光滑的曲线3 3、考虑弯矩的变化、考虑弯矩的变化弯矩为正，下凸弯矩为正，下凸弯矩为负，上凸弯矩为负，上凸弯矩为弯矩为O O的线段，直线的线段，直线弯矩为弯矩为O O的点，拐点的点，拐点ABPP/2xMP2PL2PL2PLq2qaqaMxMx22qa3mMxPm3m32mMxpapa例：例：12.2 挠曲线近似微分方程及其积分挠曲线近似

5、微分方程及其积分一、挠曲线近似微分方程的导出一、挠曲线近似微分方程的导出222 3/2dd1d1 () dwxwx( )1zzMxEI平面曲线平面曲线( (挠曲线挠曲线) ) 上任意点的曲率公式。上任意点的曲率公式。( )wf x纯弯曲梁变形后中性层的曲率纯弯曲梁变形后中性层的曲率公式，对于横力弯曲（公式，对于横力弯曲（l5h）可近似使用。可近似使用。22d( )dwM xxEI 对于小挠度情形有对于小挠度情形有2d1dwxddwx220ddwx22022d( )dwM xxEI 22d( )dwM xxEI22d( )dwM xxEI22d( )dwM xxEI挠曲线的近似微分方程挠曲线的近

6、似微分方程二、积分法求弯曲变形二、积分法求弯曲变形 DxCxEIxMwCxEIxMxwdd)(d)(dd DCxxxxMEIwCxxMEIdd)(d)( 22d( )dwM xxEI由挠曲线近似微分方程，由挠曲线近似微分方程， 得：得：对于等截面直梁，有：对于等截面直梁，有：说明：说明：（1 1）若）若M（x）方程方程 或或 EI有变化，则应分段。有变化，则应分段。（2 2）C C、D D为积分常数，由边界条件和连续性条件确定。为积分常数，由边界条件和连续性条件确定。固定端固定端：w = 0,= 0, = 0= 0确定积分常数：确定积分常数：（1 1）边界条件）边界条件（2 2）连续性条件）连

7、续性条件 梁的挠曲线是一条连续而光滑的曲线，因此在挠曲线梁的挠曲线是一条连续而光滑的曲线，因此在挠曲线的任一点处（如：弯矩方程的分界处，截面的突变处）左的任一点处（如：弯矩方程的分界处，截面的突变处）左右两截面的转角和挠度均相等。右两截面的转角和挠度均相等。A铰支座：铰支座：w A= 0,= 0,wB = 0= 0 已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程、作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定挠曲线方程，并确定max和和wmax。xylqx例：例：222xqxqlwEI CxqxqlwEI3264DCxxqxqlEIw432

8、412由边界条件由边界条件：000wlxwx时，时，得：得：CqlD 3240,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：qEIlxxl2464233()2(24332lxlxEIqxw最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：EIqlBA243maxEIqlwwlx384542max解：解：222)(xqxqlxM 已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力。试求图示悬臂梁在集中力P作用下的转角方程、作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定挠曲线方程，并确定max和和wmax。xylPABx例：例：解：解：M xP lx( )() lPxPw

9、EI CxlPxPwEI22DCxxlPxPEIw2326由边界条件：由边界条件：0, 00wwx时，CD 0梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：PxEIxl22()3(62lxEIxPw最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：max BPlEI22EIPlwwB33max试求图示简支梁的弯曲变形试求图示简支梁的弯曲变形例：例：axyABblCP解：解：lPbRA1.1.求支反力、写出弯矩方程；求支反力、写出弯矩方程；lPaRBACAC段：段：x11M1xlPbCBCB段：段：2M)(22axPxlPbax 10lxa22.2.列出挠曲线微分方程，并积分

10、；列出挠曲线微分方程，并积分；ACAC段：段：11xlPbwEI 121112CxlPbEIwEIz1113116DxCxlPbEIwCBCB段：段：)(222axPxlPbwEI 22222222)(2CaxPxlPbEIwEI222323226)(6DxCaxPxlPbEIw3.3.列出边界条件；列出边界条件；,01时x01w,2时lx 02w4.4.连续性条件；连续性条件；,21时当axx21ww)(2121ww 由连续性条件，可求得由连续性条件，可求得21CC 21DD x2由边界条件，可求得由边界条件，可求得)(62221bllPbCC021 DD（抗弯刚度（抗弯刚度: :EIz）5

11、.5.求最大转角和最大挠度求最大转角和最大挠度axyABblCPRARBx1x2 对简支梁受集中力，最大转角一般在对简支梁受集中力，最大转角一般在两端截面上两端截面上: :)(622011bllPbwxA)(622allEIPabwzlxB)(6bllEIPabz比较，当比较，当 a b 时，时，)(6maxallEIPabzB挠度最大值发生在挠度最大值发生在d()dwx00截面上，截面上，当当 a b 时，发生在时，发生在ACAC段：段：ddwx1100)3(62022xbllPb3220blx3221max)(390bllEIPbwwzxx最后得转角方程和最后得转角方程和挠曲挠曲线方程为：

12、线方程为：ACAC段：段：)3(6212211xbllPbEIwEIz)(6212211xbllPbxEIw)0(1ax CBCB段：段：)(2lxa)3(6222222xbllPbEIwEIz22)(3axbl222222)3(6xxbllPbEIw32)(axbl讨论：讨论：（1 1）AC段：段：11xlPbwEI 121112CxlPbEIwEI1113116DxCxlPbEIwCB段：段：)(222axPxlPbwEI 22222222)(2CaxPxlPbEIwEI6)(632322axPxlPbEIw222DxC（2 2）当须分段表示弯矩方程时，需用连续条当须分段表示弯矩方程时，需

13、用连续条件、边界条件一起确定积分常数。件、边界条件一起确定积分常数。（3 3）3220blx截面截面最大挠度最大挠度很接近于梁中点挠度值很接近于梁中点挠度值故工程上常用中点的挠度代替最大挠度：故工程上常用中点的挠度代替最大挠度：)43(48|222blEIPbfzlx（4 4）当当 b =l/2 时时zABEIPl162maxzlxEIPlwf48|22max（5 5）积分法适用于积分法适用于求任意截求任意截面的挠度和转角面的挠度和转角axyABblCPRARBx1x2例：例：用积分法求图示各梁的挠曲线方程，应分为几段？将出现几个积用积分法求图示各梁的挠曲线方程，应分为几段？将出现几个积分常数

14、？并写出各梁的边界条件和连续条件。分常数？并写出各梁的边界条件和连续条件。; 0, ; 0, 021BAwaxwx边界条件边界条件连续性条件连续性条件PqaaAB121212, ;BBxxa www边界条件边界条件; 0, 0, 01AAwx连续性条件连续性条件; ,212121CCwwwaxxPaaC边界条件边界条件连续性条件连续性条件; 0, ; 0, 0, 021BAAwlaxwx malABC;,2121Cwwwaxx边界条件边界条件;2-2-, ; , 0, 021EAqlaEAaqlwlxwxBAqABla12.3 叠加法求弯曲变形叠加法求弯曲变形一、叠加法前提一、叠加法前提 材料

15、服从胡克定律材料服从胡克定律 小变形小变形二、第一类叠加法二、第一类叠加法载荷叠加法载荷叠加法 当梁上同时作用有几种载荷时，可分别求出每一种载荷单独作用当梁上同时作用有几种载荷时，可分别求出每一种载荷单独作用下的变形，然后将各个载荷单独引起的变形叠加，得这些载荷共同作用下的变形，然后将各个载荷单独引起的变形叠加，得这些载荷共同作用时的变形。时的变形。：q、l、EI求求：wC , B 各种载荷与它所引起的变各种载荷与它所引起的变形成线性关系。形成线性关系。vvv=+用叠加法求用叠加法求BACw、例：例：解：解：Cw53844qlEIPlEI348mlEI216A qlEI324PlEI216ml

16、EI3BqlEI324PlEI216EIlm6若图示梁若图示梁B端的转角端的转角B=0，则力偶矩，则力偶矩等于多少？等于多少？例：例：解解：BPaEI 22EIam 2mPa40例：例：求图示梁求图示梁 B、D两点的挠度两点的挠度 wB、 wD。解：解： EIqaEIaqaEIaqwB3143)2(8)2(434 EIqaEIaqawwBD3848)2(2243y例：例：怎样用叠加法确定图示梁怎样用叠加法确定图示梁C截面的挠度截面的挠度 wC和转角和转角C。解：解：yyy418CqlwEI 316CqlEI 42128BqlwEI3248BqlEI422272384CBBlqlwwEI3224

17、8CBqlEI41241384CCCqlwwwEI 312748CCCqlEI 所以，所以，例：例：用叠加法求图示梁中点用叠加法求图示梁中点C的挠度的挠度 wC。ABqL/2L/2L/2L/2CABL/2L/2L/2L/2Cq/2q/2ABL/2L/2L/2L/2Cq/2445()52384768CqlqlwEIEI ABC0q)(xq例：例：求梁中点求梁中点C的挠度的挠度 wC。4400551()2384768Cq lq lwEIEI 解：解：ABC0q三、第二类叠加法三、第二类叠加法逐段分析求和法逐段分析求和法 为求梁某截面的挠度和转角，常把构件分成几段分别刚为求梁某截面的挠度和转角，常把

18、构件分成几段分别刚化处理，进而计算出每段变形在该截面处引起的挠度和转化处理，进而计算出每段变形在该截面处引起的挠度和转角，然后将它们分别叠加，得到该截面处总的挠度和转角，角，然后将它们分别叠加，得到该截面处总的挠度和转角，这种计算变形的方法称为这种计算变形的方法称为逐段分析求和法逐段分析求和法，又称，又称位移叠加位移叠加法法。注：注：此种叠加方法在求外伸梁，或受力比较特殊的悬臂梁的变形时，此种叠加方法在求外伸梁，或受力比较特殊的悬臂梁的变形时，比较方便。比较方便。v例例求外伸梁求外伸梁ABC的外伸端的外伸端A的挠度的挠度。解：解：用逐段分析求和法。用逐段分析求和法。EIlqaaEIlqaawB

19、6-321-321 EIqaw8-42（2 2）将）将BC段刚化段刚化（1 1）将）将AB段刚化段刚化（3 3）最后结果）最后结果)34(246833421alEIqaEIlqaEIqawwwlABaC CqABq2wABC Cqa1wqa2/2例例求外伸梁求外伸梁ABC的外伸端的外伸端A的挠度和转角。的挠度和转角。解：解：EIqaawB12542 EIqaw841（1 1）将）将BC段刚化。段刚化。（2 2）将）将AB段刚化。段刚化。（3 3）最后结果）最后结果EIqawww2413421ABq1wABaC CqP=qaaam=qa2DEIqa631 1EIqaBmBPBmB12532 31

20、2712qaEIqaABC C2wm=qa2/2P=qam=qa2D例例求悬臂梁求悬臂梁ACB的自由端的自由端B的挠度和转角。的挠度和转角。解：解：EIqawwwPm127)()(4222EIqaw841（1 1）将）将AC段刚化。段刚化。（2 2）将）将BC段刚化。段刚化。EIqa631 1w1BCABqaaCqam=qa2/2ABC2w3wEIqaaawmCPCC43)()( 32CqaEI 两根材料相同、抗弯刚度相同的悬臂梁两根材料相同、抗弯刚度相同的悬臂梁、如图示，如图示，梁的最大挠度是梁的最大挠度是梁的多少倍？梁的多少倍？2llP2PPlEI33例：例：16倍倍 例例：简支梁在整个梁

21、上受均布载荷简支梁在整个梁上受均布载荷 q 作用，若其跨度增作用，若其跨度增加一倍，则其最大挠度增加多少倍？加一倍，则其最大挠度增加多少倍？lqIEl qw38454max16倍倍12.4 梁的刚度校核梁的刚度校核刚度条件：刚度条件：maxwwmax 、 是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正常工作时的要求。正常工作时的要求。w一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件二、三类刚度问题二、三类刚度问题（1 1）刚度校核）刚度校核（2 2）截面设计）截面设计（3 3）确定许可载荷）确定许可载荷例例：图示工字钢梁，：图示工字钢梁， l =8m， Iz=2370cm4,

22、 Wz=237cm3，w = l500，E=200GPa，=100MPa。试根据梁的刚度条。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷件，确定梁的许可载荷 P，并校核强度。，并校核强度。解：解：由刚度条件由刚度条件500483maxlwEIPlw得PEIl485002 711.kN所以 .P 711kNmaxmaxMWz所以满足强度条件。PlWz460MPa 解除多余约束，代之相应的反力；变静不定梁为形式解除多余约束，代之相应的反力；变静不定梁为形式上的静定梁系统上的静定梁系统一、静不定梁的概念一、静不定梁的概念不能由静力平衡方程求出全部未知力的梁不能由静力平衡方程求出全部未知力的梁 静不定梁静不定梁 或或超静定梁超静定梁二、相当系统的建立二、相当系统的建立解题方法步骤：解题方法步骤： 该梁称为原静不定梁的该梁称为原静不定梁的相当系统相当系统12.5 简单静不定梁简单静不定梁二、相当系统的建立二、相当系统的建立 求出解除约束处的变形，求出解除约束处的变