高等数学：10_3 三重积分(新)

1、1 三重积分10.3 一、三重积分的概念二、三重积分的计算2 ),(kkkkv ( , , )( , , ).f x y zf x y zM，且设是某物体所占有的空间闭区域，该物体的密度函数为上连续，求该物体的在质量引引例例: :011lim( ,)max.niiiiii niMfvv ，的直径一、三重积分的概念用可“”采得分分割割，近近似似，求求和和，取取极极限限3112,( , , ).( ,)( ,)( ,)( , )nniiiiiiiiiiiiiif x y zvvnvvvvivff x yfD 设将任意分割成 个小闭区域，其中，表示第 个小闭区域，也表示其体积. 在每个上任取一点，作

2、乘积并作和.若当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，上述和式的极限总存在，则称此是空间有界闭区域上的有界函极限为在闭区域上的记数，为三三重重积积分分定定义义：. .01( , , )( , , )lim( ,)niiiiif x y z dvf x y z dvvdvf ，即，称为，其中，体体积积元元素素4(1)( ,)( , , )( ,)iiiiiif x y z 定义中，对闭区域的划分是任意的，的选取也是任意的；积分值只与和有关，而与闭区域的划分方式和的选取方式无关.(4)( , , ).Mf x y z dv引例中物体的质量注释：注释：( , , )(3).f x y z当在闭区域上

3、连续时，则三重积分必存在.( ,(2), )( , , ).dvdxdydzf x y z dvf x y z dxdydz在直角坐标系下用平行于坐标面的平面来划分区域，则体积元素故，二重积分可写为5性质性质1( , , )( , , )( , , )( , , ).f x y zg x y z dvf x y z dvg x y z dv 性质 设 , 为常数，则12122( , , )( , , )( , , ).f x y z dvf x y z dvf x y z dv 性质若分成有限个部分区域，则在上的二重积分等于在各个部分区域上的二重积分之和，比积分区域如，则的可加性3( , ,

4、)11.f x y zVVdvdv性质若，为的体积，则6( , , )( ,)( , , )( ,- -).6 -f x y zfVx y z dvfV 性质设在闭区域上连续，为的体积，则在上至少存在一点使得积分,，,中值定理4( , , )( , , )( , , )( , , ).( , , )( , , ).f x y zg x y zf x y z dvg x y z dvf x y z dvf x y z dv性质若在上，则特别的，( , , )( ,-, ).5,f x y zmVf x y z dvMMVmV性质设分别是在闭区域上的最大值和最小值，为的估面积，则值不等式7xyzo

5、 D2S1S1122( , )( , )Szz x ySzz x y：ab)(1xyy )(2xyy -化为三次积分二、三重积分的计算 ( , , )( , , )f x y z dvf x y z dxdydz1212( , )( , )( )( )( , ):z x yzzx yy xyyxx yDaxb.xOyD如图：若闭区域在平面上的投影为dvdxdydz在直角坐标系下体1. 投影法：积元素8( , , )f x y z dxdydz21( , )( , )( , , )xyzxDyzx yf x y zddz dx y 1212( , )( ,( )( )( , , )zx yyxy

6、xzbxayf x y z dz dy dx2211( )( , )( )( , )( , , ).byxzx yayxzx ydxdyf x y z dz化三重积分为三次积分91.21xdxdydzxyz例计算其中， 为三个坐标面及平面所围成的闭区域，1xyz12112012:0(1)01zxyyxx 解：121(1)12000148xxyxdxdydzdxdyxdz 故，10222,22.( ,)2If x y z dxdydzzxyzx例化三重积分为三次积分，其中，为由曲面及所围成的闭区域22222212.zxyxyzxxOy 解：由交线投影所围成得，也是在面上的投的区域影区域：2222

7、2112112( , , ).xxxxyIdxdyf x y z dz因此，22222111122xxyxxyzx 故， ：11.222( , , )10If x y z dxdydzzxyyxyz化三重积分为三次积分，其中，：曲面所围成的空练习，间立体.2221110 xxyzxy 解： ：2221110( , , )xyxIdxdyf x y z dz12z2、截面法2121( , , )( , , )(, , )zzccDccDf x y z dvf x y z dxdy dzdzf x y z dxdy 则( , , ),.f x y zzx y注：当被积函数只含 ，而不含时此法适用(

8、 , ):zzx yDazbDzz设空间闭区域其中，是的平面截所得平面区域.1310,zDzdxdydzzdzdxdy解：1| ),(zyxyxDz )1)(1(21zzdxdyzD xozy1111.zdxdydzxyz例3 计算，其中，为三个坐标面及平面所围成的闭区域14xyzozD22(1)zDzdxdyabc222222214.xyzz dxdydzabc例计算，其中，是由椭球面所围成的空间闭区域222222( , , )|1xyzx y zczcabc ，解： ：222222( , )|1zxyzDx yabc 222324(1).15zccccDzz dzdxdyabz dzabc

9、c原式1522:1.xzxOzDxz解：如图，将投影到平面得112221zxDydydxdzxxz原式dzzxxdxxx21221111222dxzzxxxx221132112| )3(14528)21 (311142dxxx2222251.111yx dxdydzxzyxzy 例计算，其中，是由曲面，所围成，160,02 ,.rz 规规定定：( , , ), ,M x y zMxOyPrrzM设为空间内一点，并设点在面上的投影的极坐标为，则这样的三个数就叫点的柱柱面面坐坐标标xyzo),(zyxM),(rPr、利用柱面坐标计算三重积分17),(zyxM),(rPrzxyzorz如图，三坐标面

10、分别为为常数圆柱面；为常数半平面；为常数平面xyzo),(zyxM),(rPrcos ,sin ,.xryrzz柱面坐标与直角坐标的关系：18 drxyzodzdr rd,dvrdrd dz如图，柱面坐标系中的体积元素：( , , )( cos , sin , ).f x y z dxdydzf rrz rdrd dz19222220(0)0.z xy dxd ydzxyxzza ay例计算，其中， 由曲面、，所围成的立体0: 02cos0zar解：在柱面坐标系下cos2raxyzo2zdrddrvd2cos22000adrdrz dz2zr drd dz原式398a20oxyhz2/4: 0

11、202rzhrh解：在柱面坐标系下4)41ln()41(4hhh22220041hhrrddrdzr原式222241(0).dxd ydzxyzxyzh h例 计算，其中，由曲面与平面所围成的立体zdrddrvd2122243rzrz解：两曲面的交线为13zr224:0302rzrr 23242030rrzdzrdrdI.413 2222243.Izdxdydzxyzxyz例计算，其中，是球面与抛物面所围的立体222D1D所围成立体的投影区域如图.2222() 028.yzIxydxdydzxzzz例计算， 其中，是曲线绕轴旋转而成的曲面与两平面，所围的立体2222 02 .yzzxxyz解：

12、由绕 轴旋转得旋转曲面方程：12222212()()IIIxydxdydzxydxdydz222212:16:4.DxyDxy，232120204:8rrz2220202:2rrz12222212()()IIIxydxdydzxydxdydz2D1D222212:16:4.DxyDxy，2222248222220000rrddrr r dzddrr r dz55423363624222824822002022336rIdr rdrdzdrrdrdz法二：88222232200()336zzDIdzxy dxdydzdr dr法三：250002r 规规定定：( , , )M x y zPMxOy

13、MrrOMOMzOPxrM 设为空间内一点， 为在面上的投影. 点可用三个有序数 , ,来确定. 其中， 为原点与间的距离；为与 轴正向之间的夹角； 为与 轴正向之间的夹角.这样的三个数 , ,就叫做点的球球面面坐坐标标Pxyzo),(zyxMr zyxA4、利用球面坐标计算三重积分26Pxyzo),(zyxMr zyxAsincos ,sinsin ,cos .xryrzr球面坐标与直角坐标的关系：r如图，三坐标面分别为为常数球面；为常数圆锥面；为常数半平面272( , , )( sincos , sinsin , cos )sin.f x y z dxdydzf rrrrdrd d 2si

14、ndvrdrdd 球面坐标系中的体积元素： drxyzodr dsinr rd d d sinr28222222222().Ixyzdxd ydzzxyxyzR例10 计算，其中，为锥面与球面所围成的立体0: 0402rR解：在球面坐标下)22(515R244000sinRIddrdrxyzo4Rr 22yxz2sindvrdrdd 29222cos4azarxyz，: 0002 .cos4ar，2222211()(0).Ixydxdydzxyzza a例计算，其中，是锥面与平面所围的立体 解法：采用球面坐标2434cos000sinaIddrdr53545012sin(0).5 cos10ada3022()Ixydxdydz22500.10aardrdrr dza222xy