2020清华强基计划试题

1、2020年清华大学强基计划 数学试题1. 已知x2 + y2<,则x2+!>-/的最值为()A.最大值为迈、无最小值：B.最小值为-逻，无最大值；2 2C.最大值为迈，最小值为-Q；D.既无最大值也为最小值.2 2解 i5x = cos&,y = Fsin&, JVP&w0,2;r), re0J,所以x2 +xy y2 =r2 cos 2 + ?-2 sin 20 = - r2 sin(2 + (p),因为-l<sin(2 + )<l,所以一斗sF+jiy-故选 c.2. 非等边AABC中，BC = AC. O,P分别为AABC的外心和内心，D在

2、BC上且OD丄BP , 下列选项正确的是()A. BODP 四点共圆 B OD / AC C. OD/ ABD. DP/ AC答案：AD解DO与BP交于E , F为初的中点，则ZOEP = ZCFB = 90 ,所DOEFB四点共圆. 所以ZCBP = ZEBF = ZEOP,所以BODP四点共圆.由于 BODP 四点共圆，所以= ZPOB = ZFOB = 2ZOCB = ZACB.故 DP AC.3 A.B.C均为1,2,3,2020的子集，且AuCBuC，问有序的三元组(A.B,C)的个数为 ()A. 32020B.4202。 C. 52020D. 20203答案：C解 方法1设u =

3、12,2020.如图所示方法2若C已确左，贝'J(AB)有半中方法，其中s为集合C元素的个数.因此有序三元组的2020个数为工。4(1 + 4严=5迥J-0解乐 若集合c有点个元素，则/有2打中选择，B有2上种选择，让R遍历1-2020,可 以、得到所有有序集合组，容易得到符合的组数为：320203MD込C爲2乞<4"=(1+4严=5姙°. VU1U1204.5 = 0,1 如 1=1 q +11,令 A =乞5 '则A.A可以等于0 B. A可以等于2 C.A可以等于10 D.A可以等于1220解 人=|q+“2 + “20卜由条件It/j 1= 1

4、 Ja21= 2或0, 1他1=3或1,，A-i将 叫 +曲 =12,10作为一个整体考虑,a2k H«n_,+ll，即a2k =a2Jk_t +1或a2k =所以 a2k +a2k-l =-!或夠 + % = 2弘 + 1 20设£兔中有F组取2dg+l，10-/组取一1.则A = |2(q； +q, + + q ) + F + (10/)(1)| = |2/ 10 + 2(q + ci( +q )|其中Z|,L,(为奇数,其中和2,讥全为奇数现考虏模 4. OtI 2-»-1=0故从吗=0出发模4后余数为°片宀勺0-> I±1或Ot

5、I t2t±1,故47全为奇数.回到M =- 5 + 0 + +他)|若f为奇数.则川=2(mod4)若f为偶数.则"2(mod4)综上 >l = 2(mod4).故选 BCF y25. P为椭圆C: + = 1±一点，A(1,O),B(1,1),则IE4I+IPBI ()4 3A.最大值为4 +75,无最小值：B.最小值为4_$ 无最大值:C.最大值为4 +厉,最小值为4->/5 ; D.既无最大值也为最小值.答案：c解易知A为C的右焦点，设其左焦点为F(-1,0),IPAI+IPBI=4-IPFI + IPBI=4+IPBIIPFI,而一IBF 1

6、<1 PBI-I PF 1<1 BFI,故4-y/5<IPAI + IPBI<4+y/5 .6. AABC三边均为整数，且而积为有理数，则边长"可以为()A.1 解边长为1,1,1B. 2C.D.4解析：边长为3, 4. 5的R込応然符合若 = 则三边长为1, h 1 (舍)或I. 8. 8Itb每伦公式知S = £j(28+lX28-l)因(28-128-1) = 1故"1若“2則三边长为2. 8841则S =丄J(28 + 3)x3(28-1)=丄丁3(28 + 1)2 _4)2 2又 3(28 + l)2-4)w3(mod4)故踪l.

7、a = 4 ?彳介.27. P为双曲线罕-护=1上一点，a(2,0),B(2,0)，令乙PAB = a、乙PBA = /3、下列为左值的是 4( )ci BA. tan a tan ftB. tan tan C.tan(a + J3)D. S>Aii cos(a + /?)2 2t/-i解 设 P(5J),贝'J tana =,tanp =,所以 tancrtan/? = =一，为左值：5 + 2" 5-2於一4 4tan(a + /?)=4 1st3 52 -4解析：设 P(5j) > lana = lan“=5+25-2： tan a tan 8 = = s2

8、-44tan(a + /?) = S”b + tan(a + 0) = -4-均非常数 3 ” 一48豺故选A.ZCPBZBPA£APB = £BPC = ZCP/f = 120° P 为费勺点AJCD > NBCE均为正1角形，易知亦与3D交点即为P点,共线由I 述可知上（：7?=厶"弋=120。-AfiCP-AfiCD BP BC BC 1 叭s CP CD CA 2同理込竺=竺=2,即廿= 2CTCP EC BC答案为ABCD8. 甲乙丙做一道题，甲：我做错了，乙：甲做对了，丙：我做错了，老师：仅一人做对且一 人说错，问以下正确的是（）A.甲

9、对B.乙对 C.丙对 D.以上说法均不对解析：说对的人是丙，若丙说错.则丙做对.即甲.乙均说对，矛盾題忖做对的屮.乙都右可能,情况如下:9. 直角 中，ZABC = 90= >/18（? = 1,上1 +旦- += 0,以下正确的是（）IPAI PB PCA. ZAPB = 120二210. limV arctan- =a 3兀口A.B.n4B. ZBPC = 120D.7T2则 tan 0 =C. 2BP = PCD. AP = 2PC2产1 +伙+ 1）伙-1）R + 1 _伙_1）=相（_0）.所以 8 = a 卩、即arctan = arctan（R +1） - arctan伙

10、一 1）, 故!cfX27T2 arctan = aictan（/i + 1） + arctan n 一 arctan 1 = arctan（；z + 1） + arctan 2/ + 1 n 3tt2/ + 1=兀一 arctan 一一 = 一 arctan .tr +/?-144iv +n-故 lim V arctan -4- = .f 幺 k2 411从0,1,2,3,4,567,8.9这10个数字中任取5个组成一个5位或4位（0在首位）数，则该数 被396整除的概率为（）讲圻：396 = 9x4x11先考世被9整除的纽合1. 8: 2. 7： 3. 6： 4. 5 任盘 2 爼Hh 9

11、 (I)12348： 12357： 12456 (2) 126： 135. 234. 09 (3)再考虑被II整除(I中只能加0址肩韦世被4整除.12357舍去135409舎去(2)所有悄况数为韦4斥+缶4斎=8(I)的所冇悄况为C；x2x+C；x2x=48综卜共仃8 + 8 + 4864种故概率为642945A.最大值为4迥B.最大值为2y/5 C.最小值为0D.最小值为2。解析：396=4x9x11,被4整除的数后两位被4整除，被9整除的数黃个位数之和被9 整除，被11整除的数奇数位的和与偶数位的和被11整除“考虑3类数，没有0和9, 0和9有一个，有0和9卩(1)没有0和9:先考虑能被9

12、整除，只有这些组合“18234”，“27135” “45126”" 再考虑被11整除，比如18234中1和8只能非在第二位和第四位，再考虑祓4整除，卩 组合18234共有4个，组合27135有0个，组合45126有4个，一共有8个；卩<2)0和9有一个：先考虑敝9整除，先在09选二个数，再在1.8; 27； 36; 45中任选 2对数.再考虑褲11整除，这时候选的两队数分别在帝数位和偶数位，所叹只能再选0,不 能选9,共有C：种选择，再考虑被4整除，例如组合“ 18270”，有21780, 71280, 08712,78012, 17820, 81720, 17028, 017

13、28.每种组合有 8 个，共C：x8=48® p(3) 0和9都有：先考虑能被9整除，有组合126, 135, 234.再考虑被11整除，这时0 和9在偶数位，再考虑彼4整除，组合12(5有4个(10296, 20196, 10692, 60192.组合 135有0个，组合234有4个，一共有8个.卩所以槪率为8+48+8294512. 随机事件X等于R的概率P(X =k) = *，丫为除以3的余数，则Y的数学期望EY(13. kiI<1J/?I<Aa + 2h-c=a-2b9 则O 的()解析：a-2ba2bcc-a2b |c|a-2d| + |a + 2|(拿)又 |

14、a - 2肝 +| + 261= 2(| + |26|')510由柯两不等式知O li<24S|c|<275 当« = (0.1)* 6 = (1.0)时取到 若|齐0则只需厶丄6即可符合题总。14. x,yeN+,下列说法正确的是（）A.兀2 + 2y与尸+ 2x可以均为完全平方数B x2+4y与尸+心可以均为完全平方数C. ?+5y与尸+5兀可以均为完全平方数D. J2+6y与b+6x可以均为完全平方数翼祈：A.x2 2y y2 + 2x由对称性不妨设y2 + 2x+ 2y< / + 2y +1 = (y +1 )：而y2 +2x> y2故y3十&

15、quot;2I)2 M EM矛JSA错谡B.x* 4- 4y 1 j y2 4x不妨设xyH y* >4x5 y' 4v* 4y 4 4 n (y 4 2)2fl® / +4xi(y4-l)2故y* +4x = (y + l)2 = y2 *2>* I o4x = 2y 1x2 -4r = jT48x-2 = r o(x44):-r =18(jr + 4-/)(*+4i)l8览时无解.BHJ谋选项C.只需宴令x=y=4.则河个式f弗彎T 36満足？!求.送项D只語翌令“厂2则两个式产都等丁 16.満足耍求.15. sin arctan 1 + arccos + a

16、rccos-U I =(>/10 A.1解设 Z| = 3 + i z2 = 2 + i Z3 = l + i,所以 Z|Z2z3 =(5+5i)(l + i) = 10i,即原式=1.16正四棱锥中，相邻两侧而夹角为侧棱与底面夹角为0,则（问tan/7与cosa之间的 一个关系）=1 - 4=】-2(1 * tan： p cosa矿»-l-2tan? fl cm ar2ex17. 函数/（x）= +sinx在区间-2,2上的最大值与最小值之和为（） e +eH/(r)-l = -mijr林边是話函数C 2/(X)关 J (0.1)对称Ilflilt为(I W. W - 1>ff域嬪点和为2 (无fiffi)18. /U）的图彖如图所示，/与直线A =t/, x = t, X轴围成图形的而积为S（l）.贝IJS0）的最大值，厂（X）的最大值为解析：5(0