高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.6.2 求曲线的方程作业 苏教版选修21

1、我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 进 进 入 入 新 新 常 常 态 态 ， ， 需 需 要 要 转 转 变 变 经 经 济 济 发 发 展 展 方 方 式 式 ， ， 改 改 变 变 粗 粗 放 放 式 式 增 增 长 长 模 模 式 式 ， ， 不 不 断 断 优 优 化 化 经 经 济 济 结 结 构 构 ， ， 实 实 现 现 经 经 济 济 健 健 康 康 可 可 持 持 续 续 发 发 展 展 进 进 区 区 域 域 协 协 调 调 发 发 展 展 ， ， 推 推 进 进 新 新 型 型 城 城 镇 镇 化 化 ， ， 推 推 动 动 城 城 乡 乡 发 发 展 展

2、一 一 体 体 化 化 因 因 ： ： 我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 还 还 面 面 临 临 区 区 域 域 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 、 、 城 城 镇 镇 化 化 水 水 平 平 不 不 高 高 、 、 城 城 乡 乡 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 不 不 协 协 调 调 等 等 现 现 实 实 挑 挑 战 战 。 。2.6.22.6.2 求曲线的方程求曲线的方程基础达标1.已知椭圆的焦点是f1、f2，p是椭圆的一个动点，如果m是线段f1p的中点，则动点m的轨迹是_解析：由图知pf1pf22a.连结mo，则f1mmoa(af1o)故m的轨迹是以f1

3、、o为焦点的椭圆答案：椭圆2.已知动点m到a(2，0)的距离等于它到直线x1 的距离的 2 倍，则点m的轨迹方程为_解析：设m(x，y)，由题意，得 （x2）2y22|x1|.化简，得3x212xy20.答案：y23x212x3.已知动抛物线以y轴为准线，且过点(1，0)，则抛物线焦点的轨迹方程为_解析：设焦点坐标为(x，y)，因动抛物线以y轴为准线，且过点(1，0)，根据抛物线的定义得：（x1）2y21(x0)，即(x1)2y21(x0)答案：(x1)2y21(x0)4.设圆c与圆x2(y3)21 外切，与直线y0 相切，则c的圆心轨迹为_解析：设圆c的半径为r，则圆心c到直线y0 的距离为

4、r.由两圆外切可得，圆心c到点(0，3)的距离为r1，也就是说，圆心c到点(0，3)的距离比到直线y0 的距离大 1，故点c到点(0，3)的距离和它到直线y1 的距离相等，符合抛物线的特征，故点c的轨迹为抛物线答案：抛物线5.设动点p在直线x1 上，o为坐标原点，以op为直角边，点o为直角顶点作等腰 rtopq，则动点q的轨迹是_解析：设q(x，y)，p(1，y0)，由oqop0 知y0yx.又由oqop，得x2y21y20，即x2y21y20.由消去y0，得点q的轨迹方程为y1 或y1.故动点q的轨迹是两条平行线答案：两条平行线6.在平面直角坐标系中，a为平面内一个动点，b(2，0)，若oa

5、ba|ob|(o为坐标原点)，则动点a的轨迹是_解析：设a(x，y)，则oa(x，y)，ba(x2，y)，因为oaba|ob|，所以x(x2)y22，即(x1)2y23，所以动点a的轨迹是圆答案：圆7.长度为 1 的线段ab在x轴上运动，点p(0，1)与点a连结成直线pa，点q(1，2)与点b连结成直线qb，则直线pa与qb交点的轨迹方程为_我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 进 进 入 入 新 新 常 常 态 态 ， ， 需 需 要 要 转 转 变 变 经 经 济 济 发 发 展 展 方 方 式 式 ， ， 改 改 变 变 粗 粗 放 放 式 式 增 增 长 长 模 模 式 式

6、， ， 不 不 断 断 优 优 化 化 经 经 济 济 结 结 构 构 ， ， 实 实 现 现 经 经 济 济 健 健 康 康 可 可 持 持 续 续 发 发 展 展 进 进 区 区 域 域 协 协 调 调 发 发 展 展 ， ， 推 推 进 进 新 新 型 型 城 城 镇 镇 化 化 ， ， 推 推 动 动 城 城 乡 乡 发 发 展 展 一 一 体 体 化 化 因 因 ： ： 我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 还 还 面 面 临 临 区 区 域 域 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 、 、 城 城 镇 镇 化 化 水 水 平 平 不 不 高 高 、 、 城 城 乡 乡

7、发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 不 不 协 协 调 调 等 等 现 现 实 实 挑 挑 战 战 。 。解析：如图所示，设直线pa与qb的交点为m(x，y)再设a(a，0)(a0)，则b(a1，0)由截距式得直线pa的方程为xay11，即xaya.由两点式得直线qb的方程为y202x1a11，即 2xay2a20.故点m的坐标是方程组xaya2xay2a20的解，消去参数a得(2x)y2，故点m的轨迹方程为(2x)y2.答案：(2x)y28.曲线c是平面内与两个定点f1(1， 0)和f2(1， 0)的距离的积等于常数a2(a1)的点的轨迹给出下列三个结论：曲线c过坐标原点；曲线c关于坐标

8、原点对称；若点p在曲线c上，则f1pf2的面积不大于12a2.其中，所有正确结论的序号是_解析： 设曲线c上任一点p(x，y)， 由pf1pf2a2， 可得（x1）2y2 （x1）2y2a2(a1)，将原点(0，0)代入等式不成立，故不正确点p(x，y)在曲线c上，点p关于原点的对称点p(x，y)，将p代入曲线c的方程等式成立，故正确设f1pf2，则sf1pf212pf1pf2sin12a2sin12a2，故正确答案：9.abc的顶点a固定，点a的对边bc的长是 2a，边bc上的高的长是b，边bc沿一条定直线移动，求abc外心的轨迹方程解：如图所示，以bc所在的定直线为x轴，以过a点与x轴垂直

9、的直线为y轴，建立直角坐标系，则a点的坐标为(0，b)设abc的外心为m(x，y)，作mnbc于n，则mn是bc的垂直平分线bc2a，bna，mn|y|.又m是abc的外心，mamb.而max2（yb）2，mbmn2bn2a2y2，x2（yb）2a2y2.我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 进 进 入 入 新 新 常 常 态 态 ， ， 需 需 要 要 转 转 变 变 经 经 济 济 发 发 展 展 方 方 式 式 ， ， 改 改 变 变 粗 粗 放 放 式 式 增 增 长 长 模 模 式 式 ， ， 不 不 断 断 优 优 化 化 经 经 济 济 结 结 构 构 ， ， 实 实

10、现 现 经 经 济 济 健 健 康 康 可 可 持 持 续 续 发 发 展 展 进 进 区 区 域 域 协 协 调 调 发 发 展 展 ， ， 推 推 进 进 新 新 型 型 城 城 镇 镇 化 化 ， ， 推 推 动 动 城 城 乡 乡 发 发 展 展 一 一 体 体 化 化 因 因 ： ： 我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 还 还 面 面 临 临 区 区 域 域 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 、 、 城 城 镇 镇 化 化 水 水 平 平 不 不 高 高 、 、 城 城 乡 乡 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 不 不 协 协 调 调 等 等 现 现 实 实

11、挑 挑 战 战 。 。化简，得所求轨迹方程为x22byb2a20.10.如图，从双曲线x2y21 上一点q引直线xy2 的垂线，垂足为n，求线段qn的中点p的轨迹方程解：设p点坐标为(x，y)，双曲线上点q的坐标为(x0，y0)，因为点p是线段qn的中点，所以n点的坐标为(2xx0，2yy0)又点n在直线xy2 上，所以 2xx02yy02，即x0y02x2y2.又qnl，kqn2y2y02x2x01，即x0y0 xy.由，得x012(3xy2)，y012(x3y2)又因为点q在双曲线上，所以14(3xy2)214(x3y2)21.化简，得(x12)2(y12)212.所以线段qn的中点p的轨

12、迹方程为(x12)2(y12)212.能力提升1.设向量i i，j j为平面直角坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量， 若向量a a(x3)i iyj j，b b(x3)i iyj j，且|a a|b b|2，则满足上述条件的点p(x，y)的轨迹方程是_解析：因为|a a|b b|2，所以 （x3）2y2 （x3）2y22，其几何意义是动点p(x，y)到定点(3，0)，(3，0)的距离之差为 2，由双曲线定义可知点p(x，y)的轨迹是以点(3，0)和(3，0)为焦点，且 2a2 的双曲线的一支，由c3，a1，解得b2c2a28，故点p(x，y)的轨迹方程是x2y281(x0)或(x1)答案：x

13、2y281(x0)或(x1)2.如图， 半径为 1 的圆c过原点，q为圆c与x轴的另一个交点，oqrp为平行四边形，其中rp为圆c在x轴上方的一条切线，当圆心c运动时，则点r的轨迹方程为_解析：设圆心c的坐标为(x0，y0)(x00)，则点q、p的坐标分别为(2x0，0) 、(x0，y01)，得pq的中点m的坐标为(3x02，y012)，因为oqrp为平行四边形，pq的中点m也是or我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 进 进 入 入 新 新 常 常 态 态 ， ， 需 需 要 要 转 转 变 变 经 经 济 济 发 发 展 展 方 方 式 式 ， ， 改 改 变 变 粗 粗 放 放

14、 式 式 增 增 长 长 模 模 式 式 ， ， 不 不 断 断 优 优 化 化 经 经 济 济 结 结 构 构 ， ， 实 实 现 现 经 经 济 济 健 健 康 康 可 可 持 持 续 续 发 发 展 展 进 进 区 区 域 域 协 协 调 调 发 发 展 展 ， ， 推 推 进 进 新 新 型 型 城 城 镇 镇 化 化 ， ， 推 推 动 动 城 城 乡 乡 发 发 展 展 一 一 体 体 化 化 因 因 ： ： 我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 还 还 面 面 临 临 区 区 域 域 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 、 、 城 城 镇 镇 化 化 水 水 平 平

15、 不 不 高 高 、 、 城 城 乡 乡 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 不 不 协 协 调 调 等 等 现 现 实 实 挑 挑 战 战 。 。的中点，所以可得r点坐标为(3x0，y01)，令r点坐标为(x，y)，则x3x0yy01即x0 x3y0y1，又x20y201，代入得x29(y1)21，故点r的轨迹方程为x29(y1)21(x0，x2)答案：x29(y1)21(x0，x2)3.已知动点a、b分别在x轴、y轴上，且满足ab2，点p在线段ab上，且aptpb(t是不为零的常数)设点p的轨迹方程为c.(1)求点p的轨迹方程c；(2)若t2，点m、n是c上关于原点对称的两个动点(m、

16、n不在坐标轴上)，点q坐标为(32，3)，求qmn的面积s的最大值解：(1)设a(a，0)，b(0，b)，p(x，y)，因为aptpb，即(xa，y)t(x，by)，所以xatxyt（by），则a（1t）xb（1t）yt，由题意知t0，因为ab2，a2b24，即(1t)2x2(1tt)2y24，所以点p的轨迹方程为：x24（1t）2y24t2（1t）21.(2)t2 时，轨迹方程c为9x24916y21，设m(x1，y1)，则n(x1，y1)，mn2x21y21，设直线mn的方程为：yy1x1x(x10)，点q到直线mn的距离为：d|32y13x1|x21y21，所以smnq122x21y21

17、|32y13x1|x21y21|32y13x1|，又9x2149y21161，所以 9x219y2144.所以s2mnq49x1y1，而 19x2149y211623x123y149x1y14，所以9x1y14，当且仅当3x123y14，即x112y1时，取等号所以smnq的面积最大值为 2 2.4.(创新题)已知点m(4，0)，n(1，0)，若动点p满足mnmp6|pn|.(1)求动点p的轨迹c的方程；我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 进 进 入 入 新 新 常 常 态 态 ， ， 需 需 要 要 转 转 变 变 经 经 济 济 发 发 展 展 方 方 式 式 ， ， 改 改

18、变 变 粗 粗 放 放 式 式 增 增 长 长 模 模 式 式 ， ， 不 不 断 断 优 优 化 化 经 经 济 济 结 结 构 构 ， ， 实 实 现 现 经 经 济 济 健 健 康 康 可 可 持 持 续 续 发 发 展 展 进 进 区 区 域 域 协 协 调 调 发 发 展 展 ， ， 推 推 进 进 新 新 型 型 城 城 镇 镇 化 化 ， ， 推 推 动 动 城 城 乡 乡 发 发 展 展 一 一 体 体 化 化 因 因 ： ： 我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 还 还 面 面 临 临 区 区 域 域 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 、 、 城 城 镇 镇 化 化 水 水 平 平 不 不 高 高 、 、 城 城 乡 乡 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 不 不 协 协 调 调 等 等 现 现 实 实 挑 挑 战 战 。 。(2)设过点n的直线l交轨迹c于a，b两点，若187nanb125，求直线l的斜率的取值范围解：(1)设动点p(x，y)，则mp(x4，y)，mn(3，0)，pn(1x，y)由已知得3(x4)6 （1x）2（y）2，化简得 3x24y212，即x