圆锥曲线六类问题

1、圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程 ：221、（ 1）已知双曲线C1 与椭圆 C2 ： xy1 有公共的焦点，并且双曲线的离心率e1 与椭圆的3649离心率 e2 之比为 7 ，求双曲线 C1 的方程（ 2）以抛物线 y238x 上的点 M 与定点A(6,0)为端点的线段MA 的中点为 P，求 P 点的轨迹方程（1）解： C1的 焦点 坐 标 为 (0,13). e213e17得 e113设双曲线的方程为由e233722a 2b 21322y2x21(a , b0) 则a 2b213解得 a29,b24双曲线的方程为yx1aba 2994xx06x02x62（ 2）解：设点 M (x0 , y0

2、 ), P(x, y) ，则，y0y02 yy2代入 y028x0 得： y 24x12此即为点 P 的轨迹方程2、（ 1）ABC 的底边 BC16 ， AC 和 AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心 G 的轨迹和顶点A 的轨迹（ 2） ABC中， B(-5,0),C(5,0), 且 sinC-sinB= 3sinA, 求点 A5的轨迹方程BCBCG1所在的直线为x 轴，中点为原点建立直角坐标系设点坐标为x， y ，解：（）以由 GCGB20，知 G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆， 且除去轴上两点 因 a10 ，c 8 ，有 b6，故其方程为x2y21 y0 设A

3、 x， y， G x ， y， 则10036x2y2xx ，x2y21 y0 由题意有3代入，得 A 的轨迹方程为1 y 0 ，10090032436yy3x 轴上两点）其轨迹是椭圆（除去（ 2）分析： 由于 sinA 、 sinB 、 sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径） ，可转化为边长的关系解： sinC-sinB=3sinA2RsinC-2RsinB=3 · 2RsinA55 ABAC3 BC即ABAC6（*）点 A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） 2a=6， 2c=10 a=3， c=5， b=4x2y21（ x>3 ）所求轨迹方程为169

4、点评： 要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）3、如图，两束光线从点M（ -4， 1）分别射向直线y= -2 上两点 P（ x1， y1）和 Q（ x2， y2）后，反射光线恰好通过椭圆C： x2y 21（ a>b>0 ）的两焦点，已知椭圆的离心率为1 ，且6 ，求椭圆 C 的方程 .a2b22x2-x1=5x 2y2解 ：设a=2 k， c= k， k 0 ，则b =31 .k，其 椭圆的 方 程为23k 2021(2)4k由题设条件得：x14，kx1021(2) ，kx24x2x2-x1=6 ，5x 2y 2由、解得：111.k=1， x1=，

5、 x2=-1，所求椭圆 C 的方程为4351， tan N2 ，建立适当的坐标系，求出以M、N为4、在面积为 1 的 PMN 中， tan M2焦点且过 P 点的椭圆方程解：以 MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设 P( x , y) y2,x5xc3c52 ) 则即P(,y1 ,4且3233xc2y3cc2cy1 .所求椭圆方程为4x2y 225411,15 ,15312 a23b2a 2a2b23 ,得4b23.545、已知点P 是圆 x2+y2=4 上一个动点，定点Q 的坐标为（ 4， 0）（ 1）求线段PQ 的中点的轨迹方程； （ 2）设 POQ 的平分线交PQ

6、 于点 R（O 为原点），求点 R的轨迹方程解：（ 1）设线段PQ 的中点坐标为M（ x，y），由 Q（ 4， 0）可得点P（ 2x-4， 2y），代入圆的方程 x2+y2=4 可得（ 2x-4） 2+（ 2y） 2=4，整理可得所求轨迹为（x-2） 2+y2=1.（ 2）设点 R（ x， y）， P（ m，n），由已知 |OP|=2， |OQ|=4， | OP |1 ，由角平分线性质可|OQ |2得|OP|PR|=1 ，又点 R 在线段 PQ 上， |PR|= 1|RQ|，点 R 分有向线段 PQ 的比|OQ |RQ|2214m4x22mm3x41132为，由定比分点坐标公式可得1，即，点

7、P 的坐标为223y10nn2y22n1312223x43y3x4，代入圆的方程22可得3y4，2,2x +y =4224216 （ y 0） . 点 R 的轨迹方程为4216 （ y 0） .即 x+y2=x+y2=39396、已知动圆过定点1,0，且与直线 x1 相切 .(1)求动圆的圆心轨迹C 的方程； (2) 是否存uuuvuuuv0 ？若存在，求出直在直线 l ，使 l 过点（ 0，1），并与轨迹 C 交于 P, Q 两点，且满足 OP OQ线 l 的方程；若不存在，说明理由 .解：（ 1）如图，设 M 为动圆圆心，F 1,0 ，过点 M 作直线 x1 的垂线，垂足为 N ，由题意知

8、： MFMN ， 即动点M 到定点 F 与定直线 x1 的距离相等，由抛物线的定义知，点 M 的轨迹为抛物线，其中F 1,0 为焦点， x1 为准线， 动点 R 的轨迹方程为 y 24x（ 2）由题可设直线l 的方程为 xk ( y1)(k0) ，由xk ( y1)得 y24ky4k0y24x16k 2 160 ， k1或 k1设 P(x1, y1 ) ， Q(x2 , y2 ) ，则 y1y24k ， y1 y24k由OP OQ0，即 OPx1 , y1， OQx2 , y2 ，于是 x1 x2y1 y20 ，即 k2 y11 y21 y1 y20 ， (k 21) y1 y2k 2 ( y

9、1y2 ) k20 ，21 )24k2，0解得 k4 或 k0 （舍去），4k (kkk又 k41 ， 直线l 存在，其方程为x 4 y407 、设双曲线 y 2x 21 的两个焦点分别为F1、 F2 ，离心率为2（.I）求此双曲线的渐近线 l1 、 l2a 23的方程；（II ）若 A、B 分别为 l1 、 l 2 上的点，且 2| AB|5| F1 F2 | ，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（ III）过点 N (1， 0) 能否作出直线l ，使 l 与双曲线交于 P 、Q 两点，且 OP · OQ0 . 若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理

10、由 .解：（ I）e2，c 24a2c2a 23，a1， c 2双曲线方程为y2x 23x4 分1，渐近线方程为 y33（ II）设 A( x1， y1 )， B( x2 ， y2 ) ， AB 的中点 M x， y2| AB| 5|F1F2| AB|5|F1F2| 52c 1022( x1x2 ) 2( y1y2 ) 210又 y13 x1 ， y23 x2 ， 2 x x1x2 ， 2 y y1 y233y1y23 ( x1x2 )， y1y23 (x1x2 )332323( y1y2 )x2 )10( x133(2 y) 21 (2 x) 2100，即 x 23y 2137525则 M

11、的轨迹是中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长为 103 ，短轴长为 103 的椭圆 .（9 分）3（ III）假设存在满足条件的直线l设 l： yk( x1) ， l与双曲线交于P( x1 ， y1 ) 、 Q( x2 ， y2 )OP·OQ0x1 x2y1 y20x1 x2k 2 ( x11)( x21) 0x1 x2k 2 x1 x2 ( x1x2 ) 1 0(i )yk( x1)2222由x得 ( 3k 1)x6kx3k3 0y21由（ i）（ ii）得 k23 03则 x1x26k 2， x1 x23k 23(ii )2213k13kk 不存在，即不存在满足条件的直线l .8

12、、设 M 是椭圆 C : x2y21上的一点， P 、 Q、T 分别为 M 关于 y 轴、原点、 x 轴的对称点，124N 为椭圆 C 上异于 M 的另一点，且 MN MQ ， QN 与 PT 的交点为 E，当 M 沿椭圆 C 运动时，求动点 E 的轨迹方程解：设点的坐标 M ( x1, y1 ), N (x2 , y2 )( x1 y10), E(x, y),则 P( x1, y1 ), Q ( x1 ,y1), T ( x1 ,y1 ), 1 分x12y121,(1)12413分由（ 1 ）（ 2）可得 kMN kQNx22y22.6 分1.(2)3124又MN MQ ， kMNkMQ1,

13、kMNx1 ,所 以 kQNy1 . 直 线QN的方程为y13x1yy1 (x x1) y1 ， 又 直 线 PT 的 方 程 为 yx1 x. 从 而 得 x1 x1 , y1 y1. 所 以3x1y122x12x, y12 y. 代入（ 1 ）可得 x2y21(xy 0), 此即为所求的轨迹方程 .39、已知：直线L 过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。若点A（ -1， 0）和点 B （ 0， 8）关于 L 的对称点都在C 上，求直线 L 和抛物线C 的方程分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法设出它们的方程，L： y=kx(k 0),C:y 2=2px(p>0).设

14、 A、B 关于L的对称点分别为A / 、 B/ ，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：A /（ k 21,2k），B（/16k, 8(k 21) ）。因为 A /、B/均在抛物线上， 代入，消去 p，得：k2-k-1=0.k 21 k21k 21 k 21解得： k=15,p=2 5.所以直线 L 的方程为： y=15x,抛物线 C 的方程为 y2=45x.252510、已知椭圆x 2y 21( ab0) 的左、右焦点分别是F1（ c，0 ）、F 2（ c，0 ）， Q 是椭圆a 2b 2外的动点，满足| F1 Q | 2a. 点 P 是线段 F1 Q 与该椭圆的交点，点T 在线段 F2 Q

15、上，并且满足PT TF2 0,| TF2 |0. （）设 x 为点 P 的横坐标，证明|F1P|ac x ；（）求点 T 的轨a迹 C 的方程；（）试问：在点T 的轨迹 C 上，是否存在点 M，使 F 1MF 2 的面积 S= b 2 . 若存在，求 F1 MF2的正切值；若不存在，请说明理由.（）证法一：设点P 的坐标为 (x, y).由 P ( x, y) 在椭圆上，得2222b 22|F1P|( x c)y( x c)ba 2 x( ac x) 2 .a由 x a,知 ac xca0 ，所以|F1P|ac x. 3 分aa证法二：设点P 的坐标为 ( x, y). 记 | F1 P |r

16、1 ,| F2 P |r2 ,则 r1( x c) 2y 2 , r2(x c) 2y 2 .由r1 r22,224,得|F1 P|r1ac .ar1r2cxxa证法三：设点P 的坐标为 ( x, y). 椭圆的左准线方程为ac x 0.ac | x2c x | .由椭圆第二定义得| F1P|c ，即 | F1 P |a | | a| xa2|aacac由 xa, 知 ac xca0，所以 |F1P|ac x. 3 分aa（）解法一：设点T 的坐标为 ( x, y).当|PT |0 时，点（ a ， 0）和点（ a ， 0）在轨迹上 .当|PT |0且 |TF2 |0时，由 |PT|TF2 |

17、0，得 PTTF2 .又|PQ| |PF2| ，所以T为线段 F2Q的中点 .在QF1F2中， |OT | 1 |F1Q|a ，所以有 x2y2a 2 .2综上所述，点 T 的轨迹 C 的方程是 x 2y2a 2 .7 分解法二：设点 T 的坐标为 (x, y). 当 | PT |0 时，点（ a ， 0）和点（ a ， 0 ）在轨迹上 .当|PT |0且 |TF2 |0 时，由 PTTF20，得 PTTF2 .又| PQ| |PF2| ，所以 T 为线段 F2Q 的中点 .xxc设点 Q 的坐标为（ x , y ），则2,yy.2因此 x2xc,y2 y.由 | F1Q | 2a 得 ( x

18、c)2y 24a 2 .将代入，可得 x2y 2a 2 .综上所述，点T 的轨迹 C 的方程是 x 2y 2a2 . 7 分（）解法一： C 上存在点 M（ x0 , y0 ）使 S= b 2 的充要条件是x02y02a2 ,122c | y0 | b .2由得 | y0 |a ，由得 | y0 |b 2. 所以，当 ab2时，存在点 M，使 S= b 2 ；cc当 ab 2时，不存在满足条件的点M. 11分c当 ab 2时， MF1( c x0 ,y0 ), MF2(c x0 ,y0 ) ，c由 MF1MF2x02c2y02a2c2b2 ，MF1 MF2| MF1 | | MF 2 | co

19、s F1 MF2 ，S1|MF1|MF2| sinF1MF 2b2 ，得 tanF1MF22.2解法二： C 上存在点M（ x0 , y0 ）使 S= b 2的充要条件是x222,0y0a12c | y0| b 2 . 2由得 | y0 |b2.上式代入得x02a 2b4(ab2)(ab 2) 0.cc2cc于是，当 ab 2时，存在点 M，使 S= b2 ；c当 ab2时，不存在满足条件的点M.11分c当 ab2时，记 k1y0, k2k F2 My0kF1Mcx0 c，cx0由|F1F2 |2a,知 F1 MF290 ，所以 tanF1MF 2| k1k2 |2. 14 分1 k1 k21

20、1、设抛物线 C : yx 2 的焦点为 F，动点 P 在直线 l : xy20 上运动，过 P 作抛物线 C的两条切线 PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A、 B 两点 .（ 1）求 APB 的重心 G 的轨迹方程；（ 2）证明 PFA= PFB .解：（ 1）设切点 A 、B 坐标分别为 ( x, x02 )和( x1 , x12 )( x1x0 ) ，切线 AP 的方程为： 2x0 xyx020;切线 BP 的方程为： 2y20;11x xx解得 P 点的坐标为： xPx02x1 , yPx0 x1所以 APB 的重心 G 的坐标为xGx0 x1 xPxP ，3y0y1yPx02x

21、12x0 x1( x0x1 )2x0 x14xP 2y pyG3333,所以 y p3yG4xG2，由点 P 在直线 l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：x ( 3y 4x 2 ) 2 0,即 y1 (4x2x 2).3（2）方法 1：因为 FA21x0 x1, x0 x11), FB21(x0 , x0), FP(4(x1 , x1).424由于 P 点在抛物线外，则| FP|0.x0x1 x0( x0 x11 )( x021 )x0 x11FPFA cos2444 ,AFP1| FP|FA|FP |x022)2|FP |( x04x0x1x1( x0 x11)( x121x0 x11

22、FPFB)同理有 cosBFP2444 ,1|FP |FB |2(x122|FP| FP | x1)4 AFP= PFB.方法 2：当 x1 x00时 ,由于 x1x0 , 不妨设 x00,则 y00, 所以 P 点坐标为 ( x1 ,0) ，2| x1 |1x121,则 P 点到直线 AF 的距离为：d14;而直线 BF 的方程 : y4x1x2即 ( x121 ) x x1 y1 x10.4421x1x1|21| x1 | (x1)24(x1)2| x1 |所以 P 点到直线 BF 的距离为： d2441) 2212(x12( x1 ) 2x144所以 d1=d 2，即得 AFP= PFB

23、.当 x x0 时，直线 AF 的方程：1x021110y4( x 0),即214x00( x0)x x0 yx0 0,4421直线 BF 的方程：1x142110,y4x10( x 0),即( x14 )xx1 y4 x1所以 P 点到直线 AF 的距离为：21 x0x121x0x121| ( x04 )(2) x0x14x0|2)( x04)| x0x1|d11 ) 2x0212，同理可得到 P( x02x0 244点到直线 BF 的距离 d2| x1 x0 | ，因此由 d 1=d 2，可得到 AFP= PFB.2二、 中点弦问题：x2y21 ，（ 1）求过点 P11且被 P 平分的弦所

24、在直线的方程；（ 2）求斜率12、已知椭圆2，22为 2 的平行弦的中点轨迹方程； （ 3）过 A 2，1 引椭圆的割线， 求截得的弦的中点的轨迹方程；（ 4）P 、 Q ， O 为原点，且有直线OP 、 OQ 斜率满足 kOP kOQ1椭圆上有两点，求线段 PQ 中2点 M 的轨迹方程分析： 此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解： 设弦两端点分别为Mx1， y1， N x2， y2 ，线段 MN 的中点 R x， y，则22得xxxx2 y yyy0x12y1212121212，22由 题 意 知 x1x2 ， 则 上 式 两 端 同 除 以 x1x2 ， 有x22y2，2x1 x2 2x，x2 2 y1y2y1y20 ，y1y2x1x1x2，2y将代入得 x2 y y1y20 x1x2（ 1）将 x1， y1代入，得y1y21 ，故所求直线方程为：