八年级数学上册 13.5 逆命题与逆定理 构造角平分线解题素材 新版华东师大版

1、构造角平分线解题学习了角平分线的性质，就可以用其性质解决一些有关的几何问题.就其应用方法举例说明如下.一、证明线段相等例1 如图，在abc中,bac的平分线ad平分底边bc.求证：ab=ac.分析：要证明ab=ac，根据已知条件不能直接利用三角形全等证明ab=ac，根据已知条件ad平分bac，结合角平分线的性质可过d作deab，dfac，构造直角三角形全等，证明b=c.证明：如图，过d作deab，dfac，垂足分别为e、f，da为bac的平分线，de=df，在rtbde和rtcdf中，de=df，bd=cd，rtbdertcdf（hl）， b=c，ab=ac. 评注：本题易出现的错误是直接利用

2、bad=cad，ad=ad，bd=cd， 得adbadc，这是错误的.因为“边边角”不足以判断三角形全等.二、证明角相等例2 如图，已知b=c=90°，m是bc的中点，dm平分adc.求证：1=2.分析：要证明1=2，只需证明ma是dab的平分线.为此，可作mead.根据角的平分线的性质解题.证明：作mead，垂足为e.因为c=90°，所以mcdc，又因为dm平分adc ，mead，所以mc=ce.又因为m是bc的中点，所以mb=mc，所以me=mc，因为mead，mbab，所以点m在dab的平分线上.所以1=2.评注：知道了角的平分线，要利用角平分线的性质，可过角平分线上

3、的点，作已知角两边的垂线.三、证明角的平分线例3 如图，f，g是oa上两点，m、n是ob上两点，且fg=mn，pfg的面积和pmn的面积相等.求证：op平分aob.分析：要证明op平分aob，根据已知条件不能直接证明aop=bop.而已知fg=mn，pfg的面积和pmn的面积相等，可根据三角形的面积作fpg和mpn的高，通过证明高相等，从而得到p到aob两边的距离相等，得到op平分aob.证明：过p作pdoa于d，peob于e，spfg=fg·pd，spmn=mn·pe又spfg=spmn，fg·pd=mn·pe，又fg=mn，pd=pe，根据角的平分线

4、的性质知op平分aob. 评注:当已知条件和面积有关时，作三角形的高是解决问题的重要思路. 四、证明线段之和等于第三条线段例4 如图，rtabc中，a=90°，ab=ac，abc的平分线交ac于d.求证：ad+ab=bc.分析：要证明ad+ab=bc.根据bd是abc的平分线，可借助角平分线的性质，在bc上构造一条线段等于ab，另一条线段等于ad即可.为此，可作debc.证明：作debc，垂足于e.db是abc的平分线，daab，da=de，ab=eb，又ab=ac，c=45°，ed=ce， bc=be+ce=ab+ad. 评注：证明一条线段等于两条线段之和，一般有截长法或

5、补短法.此题利用了截长法.五、证明点到直线的距离相等例5 如图，abc中abc的平分线bd与acb的外角的平分线ce相交与点o，求证：点o到三边ab、bc、ca所以在距离相等.分析：本题已知角的平分线，可以考虑角平分线性质的解决问题证明：分别作ofab交ab的延长线于点f，ogbc交bc的延长线于g，ohac于h.因为点o在abc的abc平分线上，ofab，ogbc，所以of=og，因为点o在acb外角的平分线上，ohac，ogbc，所以og=oh，所以of=og=oh， 所以点o到三边ab、bc、ca的距离相等.评注：当题目涉及到角的平分线时，可先考虑角平分线性质的应用，然后再考虑其他的方法.6edbc3191f2351dd815ff33d4435f3756edbc3191f2351dd815ff33d4435f3756edbc3191f2351dd815ff33d4435f3756edbc3191f23