大学物理 第15章 机械波

1、(3) 物质波物质波,讨论微观粒子的波动性讨论微观粒子的波动性各种波的本质不同各种波的本质不同, , 但其基本传播规律有许多相同之处。但其基本传播规律有许多相同之处。 (1) 机械波机械波 (机械振动的传播机械振动的传播)(2)(2)电磁波（交变电场、磁场的传播）电磁波（交变电场、磁场的传播）第第1515章章 机械波机械波波动波动振动在空间的传播过程振动在空间的传播过程（一定运动一定运动形态形态的传播过程的传播过程）1按波面形状按波面形状平面波平面波（plane wave ）球面波球面波（spherical wave ）柱面波柱面波（ cylindrical wave ）按复杂程度按复杂程度简

2、谐波简谐波（simple harmonic wave ）复波复波（ compound wave ）按持续时间按持续时间连续波连续波（continued wave ）脉冲波脉冲波（pulsating wave ）按波形是否按波形是否 传播传播行波行波（ travelling wave ）驻波驻波（standing wave ）2波动波动一定的一定的扰动扰动的传播的传播（一定运动（一定运动形态形态的传播过程）的传播过程）行行 波波POyxxu扰动的传播（行走）扰动的传播（行走）行波行波一次扰动（脉冲）的传播一次扰动（脉冲）的传播脉冲波脉冲波例：例：抖动绳子抖动绳子)(0tfy )(uxtfyO点点

3、:P点点:脉冲波波函数脉冲波波函数315.1 弹性体弹性体 弹性形变弹性形变弹性体弹性体若物体在外力的作用下发生形变，而外力撤消后又若物体在外力的作用下发生形变，而外力撤消后又能恢复原来的大小和形状，则这种变形体就称为能恢复原来的大小和形状，则这种变形体就称为弹性体弹性体。SFtFFN正应力：正应力：limNFSlimFS000lllll切应力：切应力：415.1.1 15.1.1 线应变与杨氏模量线应变与杨氏模量FFl0l线应变线应变胡克定律：实验表明在线形变限度内，正应力和线应变成正比，胡克定律：实验表明在线形变限度内，正应力和线应变成正比，比例系数称为杨氏模量。比例系数称为杨氏模量。Y1

4、5.1.2 15.1.2 剪切应变与切变模量剪切应变与切变模量5切应变切应变FFddStandd微小形变时，微小形变时，tan此时，剪切应变可直接用此时，剪切应变可直接用来表示。来表示。实验表明：在形变限度内，切应力与切应变成正比：实验表明：在形变限度内，切应力与切应变成正比： = G = G-G称为切变模量15.1.3 15.1.3 体应变与体积模量体应变与体积模量体应变体应变VVK正应力3(1 2 )YKv-体积弹性模量1kK体积压缩系数1、机械波产生的条件、机械波产生的条件1）波源）波源2）弹性介质或者弹性媒质）弹性介质或者弹性媒质2、横波：、横波： 纵波：纵波：共性：波动性共性：波动性

5、15.2 机械波的产生和传播机械波的产生和传播62 某确定时刻某确定时刻uxoy 某时刻各点某时刻各点 (广义：任一物理量广义：任一物理量)与相与相应的平衡应的平衡 的关系曲线的关系曲线：某时刻，同一波源某时刻，同一波源向外传播的波到达的向外传播的波到达的空间各点空间各点 连成的连成的面（面（）：描述波传播的方向的射线描述波传播的方向的射线 简称简称 波面波面波阵面（波前）波阵面（波前）波射线垂直于波面波射线垂直于波面波射线是波的能量传播方向波射线是波的能量传播方向波射线（波线）波射线（波线）：某时刻，某时刻，传播在最前面的波面传播在最前面的波面（又称（又称）3在在介质中介质中球面波球面波柱面

6、波柱面波平面波平面波波面是球面波面是球面 所以称为所以称为球面波球面波波面是柱面波面是柱面 所以称为所以称为柱面波柱面波波面是平面波面是平面 所以称为所以称为平面波平面波41310741131074113107410t4Tt 13107412Tt 43Tt Tt 当第当第1 1个质点振动个质点振动1 1个个周期周期后，它的后，它的最初最初的振动的振动相位相位传传到第到第1313个质点，即：第个质点，即：第1 1个质点领先第个质点领先第1313点点 相位。相位。27 波是波是（能量）（能量）的传播，不是媒质质点的传播，的传播，不是媒质质点的传播，各媒质质点均在自己的平衡位置附近作振动。各媒质质点

7、均在自己的平衡位置附近作振动。看波线上各点沿传播方向，各点相位依次落后。看波线上各点沿传播方向，各点相位依次落后。8Tt xoyuAAA单位：单位： 或或mcmT单位：单位：s单位：单位： 、 、 或或mcmnmmu单位：单位：m suT5( (时间时间) )频率频率：T/1 空间频率：空间频率： /1 T/2 角波数角波数： 2 k15.3 一维平面简谐波的波函数一维平面简谐波的波函数- 波函数波函数设一维平面简谐波以相速设一维平面简谐波以相速 u 沿沿 x 轴正向传播轴正向传播, t时刻波形如图时刻波形如图),(trO 点的振动位移为点的振动位移为)cos(), 0(0tAty0cos),

8、(uxtAtxyP 点的振动位移为点的振动位移为( op = x )02cos),(xTtAtxy或或PyxOu15.3.1 表达式表达式 9定义角波数定义角波数)cos(),(0kxtAtxy)cos(),(0kxtAtxy)cos(),(0rktAtr)cos(),(0krtrAtr2ku定义定义 波矢波矢k例：例：“+” 会聚球面波会聚球面波“-” 发散球面波发散球面波沿负方向传播的波的方程沿负方向传播的波的方程0cos),(uxtAtxy0cos),(uxtAtxy同一同一振动振动状态状态X处比处比0处超前处超前t=x/u10波函数的物理意义波函数的物理意义1 1、当、当 x 一定时一

9、定时, , 例例: : x = x0 = 常数常数令常数令常数-x0处处简谐振动运动方程简谐振动运动方程 0cos uxtAy 00cos uxtAy 1cos tAyux0 10T 2 反映了反映了振动的时间周期性振动的时间周期性 12cos tTAyt t每增加每增加T T，y y不变不变112 2、当、当t=t0=常数常数 00cos uxtAy100t令令t t0 0时刻的时刻的波形波形 x x每增加每增加，y y不变不变反映了反映了波的空间周期波的空间周期性性 xtAy 2)(cos0012cosAx123 3、x , t 都变都变表示波射线上不同质点在不同时刻的位移表示波射线上不同

10、质点在不同时刻的位移 -行波行波 波动方程不仅表示波射线上给定点的振动情况，某波动方程不仅表示波射线上给定点的振动情况，某时刻波形，初位相及比原点落后的相位，时刻波形，初位相及比原点落后的相位， 还反映了振动状态的传播，波形的传播，能量的传播，还反映了振动状态的传播，波形的传播，能量的传播， 0)(2cos xTtAy由由看出看出t t或或x x每增加每增加T T或或,相位重复出现，反映了时间和空间的周期性。相位重复出现，反映了时间和空间的周期性。 0cos uxtAy13例：例：已知：图示为波源（已知：图示为波源（x=0处）振动曲线处）振动曲线且波速且波速u=4m/s, 方向沿方向沿x轴正向

11、轴正向.求：求：t=3s时波形曲线（大致画出）时波形曲线（大致画出）解：解：48 12y(cm)x(m)0.50-0.5u=4m/sy(cm)t(s)0.50-0.5123415例例2 正向波在正向波在t =0时的波形图时的波形图波速波速u=1200m/sA/2AA0y0= /3M= -/2t =0 x=0t=0 M处处求：波函数和波长求：波函数和波长解：解：)(cos0uxtAy设)(10. 0cmA由图由图如何确定如何确定 0 ?由初始条件：由初始条件：y0=A/2 v00M= -/265230M状态相同点与点经001201120010tssuoMtM100t3)1200(100cos10

12、. 0 xty)(242muuT16例：沿例：沿x轴正向传播的平面简谐波，振幅为轴正向传播的平面简谐波，振幅为A=1.0m，周期，周期T=2.0s， 波长波长 =2.0m。t = 0时刻，坐标原点处的质点恰好从平衡位置时刻，坐标原点处的质点恰好从平衡位置 向向y轴正向运动，求轴正向运动，求: (1)(1) 波函数；波函数；(2)(2) t =1.0 s时刻的波形图；时刻的波形图； (3)(3) x=0.5 m 处质点的振动曲线；处质点的振动曲线；解：解：(1)(0, )cos()cos()22ytAtAt2T波函数波函数( , )cos()cos()22xy x tAtAtxu(3)cos()

13、2yAx(2)cos()yAtx /my /mot = 1.0 s01.02.y /mot /s 01.02.x = 0.5 m11um sT17例：沿例：沿x轴正向传播的平面简谐波，波速轴正向传播的平面简谐波，波速 u=20 m/s，已知，已知 A A点的点的振动方程为振动方程为 ，(1)(1)以以A A为坐标原点，写出波方程；为坐标原点，写出波方程； (2)(2)以以B B为原点写出波方程；为原点写出波方程；(3) (3) 写出写出C C、D D点的振动方程点的振动方程3cos(4) cmyt解：解：xABCDm8m5m9u14s(1)( , )3cos4 ()cm20 xy x tt(2

14、)以以B点为原点点为原点5( , )3cos4 ()cm20 xy x tt(3)133cos(4) cm5Cyt93cos(4) cm5Dyt3cos(4)Ayt与坐标原点的选择无关与坐标原点的选择无关1815.3.2 15.3.2 平面波波动微分方程平面波波动微分方程cosxyAtu求求一阶偏导数一阶偏导数得振动速度函数得振动速度函数222cosyxAttu 再求一次再求一次偏导数，得偏导数，得波函数对时间的波函数对时间的二阶偏导数，即二阶偏导数，即振动加速振动加速度函数度函数sinyxAttu v由平面简谐波波函数由平面简谐波波函数波函数对位置波函数对位置x的一阶偏导数为：的一阶偏导数为

15、：sin()yxAtxuu27该式是平面简谐波（或一维简谐波）的波动方程，而平面简该式是平面简谐波（或一维简谐波）的波动方程，而平面简谐波（或一维简谐波）的波函数是该方程的一个特解。谐波（或一维简谐波）的波函数是该方程的一个特解。2222cosyxAtxuu 222221yyxutsin()yxAtxuu而一维简谐行波函数对而一维简谐行波函数对x的的二阶偏导数为二阶偏导数为比较上两式得比较上两式得222cosyxAttu 2815.4 15.4 波动方程与波速波动方程与波速取小质元取小质元 a b = d x 体积为体积为 d V = s d x 质量为质量为 d m = s d x设质元被拉

16、伸形变：设质元被拉伸形变：受弹性力受弹性力利用胡克定律有：利用胡克定律有：Y为为杨氏模量杨氏模量yx FdyydxxFdF22)(tydmFdFFyFY sx受弹性力受弹性力xdxxabydyyFlyYYslx(应力与应变成正比）应力与应变成正比）因此因此可以看出倔强系数可以看出倔强系数Y sKd xdx29横波波速横波波速纵波波速纵波波速G为为剪切模量剪切模量22ydFYsdxx2222yyxYt1YuGu 2222221tyuxy三维情况：三维情况：012222tu式中式中称为称为 拉普拉斯算子拉普拉斯算子2222222zyxY为为杨氏模量杨氏模量2222tysdxtydmyFY sx0c

17、os),(uxtAtxy由波函数由波函数对比上式对比上式可得可得30建立弦微小振动的波动微分方程建立弦微小振动的波动微分方程0coscos1122FF221122sinsindtyddxFFxyxx+dxF1F221很小和12112COSCOSdxxdxdytg|sin22xdxdytg|sin11xxdxxdtyddxdxdydxdyF|)|(22xtdtydFdxdxdyd22)(2222tyFxyFu 222221tyuxy对比得FFF213115.5 波的强度波的强度设在棒中传播的一维简谐波的表达式设在棒中传播的一维简谐波的表达式 x 处点质元处点质元的的动能动能:kxtAxtAyco

18、s2cossdxdVdm222121tydVvdmdEkdVkxtA222sin21221dyKdEp弹性弹性势能势能32弹性弹性势能势能2222111222psdxdEK dyYdyYsdydxdx222211sin22yYdVYk Atkx dVx22 vkvuYF sYyxyFYsKdyx1KYsdxdVkxtAdEP222sin21kdE221dyKdEpxO以绳波为例以绳波为例33dVkxtAdEdEdEkP222sinkxtAdVdEw222sinTAwdtTw022211能量密度能量密度SPIdVkxtAdEP222sin21kdEuSwdtdtuSwP平均能流平均能流平均能流密

19、度平均能流密度 - 波的强度波的强度uwuAI2221uwI 34若各处的振动情况不随时间变化，介质无吸收，则由能若各处的振动情况不随时间变化，介质无吸收，则由能量守恒定律，单位时间内通过不同波面的能量应相等。量守恒定律，单位时间内通过不同波面的能量应相等。 设面积为设面积为S1的波面处波的强度为的波面处波的强度为I1，面积为，面积为S2的波面处波的强的波面处波的强度为度为I2，则由能量守恒定律，即，则由能量守恒定律，即1122I SI S12SS12II对于平面波，对于平面波，所以所以即平面波的振幅即平面波的振幅12AA35对于球面波，对于球面波，2114Sr2224Sr则由能量守恒定律，即

20、则由能量守恒定律，即22112244rIrI21221IrIr所以球面波的振幅与传播距离成反比，即所以球面波的振幅与传播距离成反比，即1221ArAr则球面波波函数为则球面波波函数为 cosArtru36ddAA x为吸收系数为吸收系数ddAxA 0 x0ddAAAxA 0 xAA e0AAoxdxAdAAx15.6 惠更斯原理惠更斯原理 波的衍射、反射和折射波的衍射、反射和折射惠更斯原理惠更斯原理惠更斯原理：（惠更斯原理：（1）用来确定用来确定波的传播方向，能解释机械波的传波的传播方向，能解释机械波的传播规律播规律 ；（2）解释了光（电磁波）的反射、）解释了光（电磁波）的反射、光的折射和光的

21、衍射等现象。成功光的折射和光的衍射等现象。成功地说明了光在单轴晶体中的地说明了光在单轴晶体中的双折射双折射现象现象 ；不足之处：不足之处：它不能说明和确定衍它不能说明和确定衍射强度分布问题，后来由菲涅耳（射强度分布问题，后来由菲涅耳（A. J. Fresnel，1788-1827）加以补）加以补充完善而成为惠更斯充完善而成为惠更斯-菲涅耳原理。菲涅耳原理。37用惠更斯原理确定新的波阵面用惠更斯原理确定新的波阵面38波的反射波的反射波的折射波的折射211221sinsinnnnuuiii 3940一、一、波的干涉波的干涉相干波相干波频率相同频率相同振动方向相同振动方向相同有恒定相位差有恒定相位差

22、s1s2pr1r2波源波源 s1 和和 s2 振动方程振动方程101010costAy202020costAy220222cosrtAy110112cosrtAyP 点振动方程点振动方程tAyyycos2115.7 波的干涉波的干涉 驻波驻波波的叠加原理（波的叠加原理（独立性原理独立性原理 ）41cos2212221AAAAA2202111012202110112cos2cos2sin2sinrArArArAtg1210202rr 2k 21k 21AAA21AAA式中式中相位相位加强加强减弱减弱 ( k = 0, 1 , 2) 相位差相位差tAycoscos22121IIIII42若若201

23、0212rr则则21rrr波程差：波程差：2r12AAA2n （i）=0,1,2.n21n （ii）=0,1,2.n21AAArn 212rn 43二、驻波二、驻波 两列相干波，振幅相同，两列相干波，振幅相同，传播方向相反叠加而成驻波传播方向相反叠加而成驻波振幅振幅驻波方程驻波方程xtAy2cos1xtAy2cos221yyytxAycos2cos2xAA2cos244 称为称为 波节波节波腹位置波腹位置1）当）当12cosx2xk02cosxAA22xk腹0A214xk称为称为 波腹波腹2）当）当 讨论：讨论： 1）相邻波腹（节）之间距离为）相邻波腹（节）之间距离为 /2 2）一波节两侧质元

24、具有相反相位）一波节两侧质元具有相反相位 3）两相邻波节间质元具有相同相位）两相邻波节间质元具有相同相位 4）驻波无能量传播）驻波无能量传播txAycos2cos2xAA2cos2txAycos2cos2)cos(2cos2txAy02cosx02cosx当当2(21)2xk波节位置波节位置44三、三、半波损失半波损失全波反射：全波反射： 波从波疏媒质反波从波疏媒质反射回来，则在反射处射回来，则在反射处，反射波的振动相位与反射波的振动相位与入射波的相位相同入射波的相位相同半波损失：半波损失： 波从波疏媒质到波密媒质，从波密媒质反射回来，波从波疏媒质到波密媒质，从波密媒质反射回来，在反射处发生了

25、在反射处发生了 的相位突变的相位突变45四、弦振动系统的简正模四、弦振动系统的简正模, 3, 2, 1,2nnL, 3, 2, 1,2nLununn46例、等幅反向传播的两相干波，在例、等幅反向传播的两相干波，在x x轴上传播，波长为轴上传播，波长为8m8m，A A、B B两点相距两点相距20m20m，如图所示。若正向传播的波在，如图所示。若正向传播的波在A A处为波峰时，反处为波峰时，反向传播的波在向传播的波在B B处位相为处位相为- -/2/2。试求。试求A A、B B之间因干涉而静止的之间因干涉而静止的各点的位置。各点的位置。AB20mOx解、如图所示，以解、如图所示，以A A点为坐标原

26、点，建立坐标系。点为坐标原点，建立坐标系。设正向传播的波的波动方程为：设正向传播的波的波动方程为：111cos2 ()cos2 ()8txtxyAATT则反向传播的波的波动方程为：则反向传播的波的波动方程为：222cos2 ()cos2 ()8txtxyAATT另设另设t=0t=0时，正向传播的波在时，正向传播的波在A A点为波峰，反向传播的波在点为波峰，反向传播的波在B B点的点的位相为位相为- -/2/2，则有，当，则有，当t=0t=0，x=0 x=0时：时：471yA1cosAA10即：即：所以：所以：当当t=0t=0，x=20mx=20m时，反向传播的位相为：时，反向传播的位相为：22

27、402 ()882txT 所以：所以：2112 于是，正向传播的波的波动方程为：于是，正向传播的波的波动方程为：1cos2 ()8txyAT48反向传播的波的波动方程为：反向传播的波的波动方程为：211cos2 ()82txyAT1211cos2 ()cos2 ()88211112 cos(2)cos(2)844txtxyyyAATTxtAT11cos(2)084x合成波的方程为：合成波的方程为：所以静止点的位置就是合成驻波的波节位置：所以静止点的位置就是合成驻波的波节位置：即：即：112(0, 1, 2,.)842xkk解得：解得：413,(0, 1, 2,.)xkk 在在AB=20mAB=

28、20m之间，则之间，则k k的取值为：的取值为：413,(3, 2, 1,0,1)xkk 1cos2 ()8txyAT正向波49例、例、A A和和B B是两个相位相同的波源，相距是两个相位相同的波源，相距d=0.10md=0.10m，同时以，同时以30Hz30Hz的的频率发出波动，波速为频率发出波动，波速为0.50m/s0.50m/s，P P点位于与点位于与ABAB呈呈3030度角，与度角，与A A相相距为距为4m 4m 处，如图所示，求两波通过处，如图所示，求两波通过P P点的相位差。点的相位差。ABP30。解：该波的波长为：解：该波的波长为：0.5013060um2PAPA2( )( )(

29、 )PAPAAtttPA设设A A、B B两个波源的相位分别为两个波源的相位分别为A A(t(t) )，B B(t(t) )。A A波在波在P P点的相位落后于点的相位落后于A A点，相位差点，相位差为：为：因而此波在因而此波在P P点的相位为：点的相位为：同理，同理，B B波在波在P P的相位为：的相位为：2( )( )PBttPB50因此两波通过因此两波通过P P点，在点，在P P点的相位差为：点的相位差为：22( )( )( )( )2( )( )()PPBABAtttPBtPAttPBPA( )( )BAtt2()PBPA 根据题意，两个波源的相位相同，所以根据题意，两个波源的相位相同

30、，所以则则P P点相位差为：点相位差为：其中其中22.222cos30340.1240.1023.914PBPAABPA ABm 所以，两波在所以，两波在P P点的相位差为：点的相位差为：22()(3.9144)10.4 ()160PBPArad 5115-8 15-8 多普勒效应多普勒效应观测者观测者V0 ： 以趋近于波源为正以趋近于波源为正波源和观测者相对于介质静止时，测得频率为波源和观测者相对于介质静止时，测得频率为 1uvvT 1. 波源静止，观察者相对介质运动波源静止，观察者相对介质运动0,0sVV0单位时间通过观测者的完整波形：单位时间通过观测者的完整波形：多普勒效应多普勒效应:

31、:01Vvvu:波源波源Vs ：以趋近于观察者为正以趋近于观察者为正521）当）当 V0 0vv 2) 当当 V0 0 v v2) 当当 Vs 0 v vsV00001uVuVuVVvvuTuuu0Vu观测者观测者533、波源观测者同时相对介质运动波源观测者同时相对介质运动00,0sVV00bssuVuVuvvV TuV1. 波源静止，观察者相对介质运动波源静止，观察者相对介质运动00,0sVV2、观测者静止观测者静止, , 波源相对于介质运动波源相对于介质运动 )0,0(0 VVsssuuuvvuVTuV00001uVuVuVVvvvuTuu电磁波的多普勒效应：电磁波的多普勒效应：cVvcV

32、cVvcV接近：接近：远离：远离：54例、火车以例、火车以v v1 1=20m/s=20m/s的速度驶向一静止的观察者，机车鸣汽笛的速度驶向一静止的观察者，机车鸣汽笛2s2s，问：观察者听到的笛声将持续多久？（空气中的声速问：观察者听到的笛声将持续多久？（空气中的声速u=340m/su=340m/s）解：由题意可知：解：由题意可知：20/sVm s(1)RssuuV2(2)sRt 设机车鸣笛的频率为设机车鸣笛的频率为v vs s，由于观察者静止，声源向观察者运动，由于观察者静止，声源向观察者运动，则观察者接收到的声波频率为：则观察者接收到的声波频率为：声源持续时间为声源持续时间为2s2s，设观

33、察者听到的笛声持续时间为，设观察者听到的笛声持续时间为t t，由于，由于声源的全部振动都要传播至观察者，则：声源的全部振动都要传播至观察者，则：联立（联立（1 1）（）（2 2）两式，可以得到：）两式，可以得到：34020221.88340suVtsu 55* *15.9 15.9 声学简介声学简介（可闻）（可闻）声波：声波：Hz2000020次声波：次声波：Hz20超声波：超声波：Hz20000声强级：声强级：0log10IIL 2120/10mWI单位：单位： dB （分贝）（分贝）5657电磁波电磁波真空中电磁场的麦克斯韦方程变为：真空中电磁场的麦克斯韦方程变为：tDHtBEBD00ED

34、0HB0真空中，介质性质方程真空中，介质性质方程tEBtBEBE0000时当0, 0JtDJHtBEBD0一、变化的电磁场在空间的传播就是电磁波变化的电磁场在空间的传播就是电磁波58对 两边求旋度2200tEBttBE0 EEEEE22利用矢量分析及利用矢量分析及可得可得比较 以上两式 得:的偏微分方程电场E022002tEEtEBtBEBE000059:的偏微分方程磁场B022002tBB001uc 同理对022002tEE由波动微分方程标准形式由波动微分方程标准形式 波速波速前面前面两边求旋度，类似得到，类似得到tEB00222210ut真空中变化的电磁场是真空中变化的电磁场是一种波动称为

35、电磁波一种波动称为电磁波介质中的波速介质中的波速1u60二、电磁波的性质：二、电磁波的性质：1）电磁波是横波）电磁波是横波BE和（ 都与传播方向都与传播方向 垂直）垂直）沿传播方向互相垂直，和BEBE)2同位相和BE)3EH4）电磁波的传播速度大小为）电磁波的传播速度大小为80013 10/ucm s EuB61传播如图传播如图 所示所示图图 电磁波谱电磁波谱电磁场的电磁场的能量密度和能量密度和能流密度（补充）能流密度（补充）线性介质：线性介质：BHDEwwwme21.12. 能流密度能流密度-坡印亭矢量坡印亭矢量S22112sw uEHHEHES0021HEs 式中式中 E0 和和 H0 分

36、别是分别是 E H 的振幅的振幅2020HsEs或坡印亭矢量坡印亭矢量62EHEHHEs21例、如图所示，地面上一波源例、如图所示，地面上一波源S S，与一高频率探测器，与一高频率探测器D D之间的距之间的距离为离为d d，从，从S S直接发出的波与从直接发出的波与从S S发出经高度为发出经高度为H H的水平层反射后的水平层反射后的波，在的波，在D D处加强。当水平层逐渐升高处加强。当水平层逐渐升高h h距离时，在距离时，在D D处没有测到处没有测到讯号，如果不考虑大气对波能量吸收，试求波源讯号，如果不考虑大气对波能量吸收，试求波源S S发出波的波长发出波的波长。解：自解：自S S发出的波，经

37、过高度为发出的波，经过高度为H H的水平层反的水平层反射后至射后至D D，全程设为，全程设为d d1 1，经高度为（，经高度为（H+hH+h) )的水的水平层至平层至D D，全程设为，全程设为d d2 2。直达波与经过高度为。直达波与经过高度为H H的水平层反射的波在的水平层反射的波在D D处同相。处同相。由于在由于在B B，C C处反射的情况是相同的，所以处反射的情况是相同的，所以两次测量不会由于反射引起不同的效果，两次测量不会由于反射引起不同的效果，所以可以假设在所以可以假设在B B、C C处反射时都有半波损处反射时都有半波损失，根据题意：失，根据题意：dhHSDBC1(1)2ddk直达波

38、与经过高度为（直达波与经过高度为（H+hH+h）的水平层反射的波在）的水平层反射的波在D D处反相，则处反相，则2(21)(2)222ddkk63由（由（1 1）、（）、（2 2）式可以得到：）式可以得到：212()dd222()( )(3)22ddHh221( )(4)22ddH由图中几何关系可以看出：由图中几何关系可以看出：另外：另外：从（从（3 3）、（）、（4 4）解出）解出d d1 1和和d d2 2，从而可以得到波长的表达式：，从而可以得到波长的表达式：222222224 ()( )( ) 222 4()4ddHhHhHdHd64例：沿例：沿x轴正向传播的平面简谐波，波速轴正向传播

39、的平面简谐波，波速 u=20 m/s，已知，已知 A A点的点的振动方程为振动方程为 ，(1)(1)以以A A为坐标原点，写出波方程；为坐标原点，写出波方程； (2)(2)以以B B为原点写出波方程；为原点写出波方程；(3) (3) 写出写出C C、D D点的振动方程点的振动方程3cos(4) cmyt解：解：xABCDm8m5m9u14s(1)( , )3cos4 ()cm20 xy x tt(2)以以B点为原点点为原点5( , )3cos4 ()cm20 xy x tt(3)133cos(4) cm5Cyt93cos(4) cm5Dyt3cos(4)Ayt与坐标原点的选择无关与坐标原点的选择无关65例例. .一平面简谐波沿着一平面简谐波沿着x x轴正向传播，速度为轴正向传播，速度为u u，已知，已知tt时刻的时刻的波形曲线如图所示，波形曲线如图所示，x x1 1处质元位移为处质元位移为0 0。试求：。试求：（1 1）原点）原点O O处质元的振动方程；处质元的振动方程；（2 2）该简谐波的波函数。）该简谐波的波函数。xyOx1-Au解：（解：（1 1）由图可知）由图可知tt