振动波动习题课

1、振动和波动一、振动的基本内容一、振动的基本内容1、简谐运动的基本特征（1）运动学特征tAxcos(或 )xa2（2）动力学特征 物体受力（或力矩），满足回复力（或线性回复力矩）（或 ）kxFkM或具有动力学微分方程（2）能量特征（或 ）0222xdtxd0222dtd 注：式中 （或 ）是指物体离开平衡位置的位移！x动能tAmEk222sin21势能tkAEp22cos21总能量：2221AmE221kA 即：系统动能、势能随时间而周期性系统动能、势能随时间而周期性的变化，但总机械能守恒。的变化，但总机械能守恒。2、描写简谐运动的特征量（1）角频率 （固有）由系统的力学性质决定。（弹簧振子）m

2、k周期2T2（2）振幅A2020vxA 注：熟练的确定简谐运动的相位和相位差。（3）相位 ，初相位 ：描写质点瞬时(t)运动状态的物 理量t 3、简谐运动的图线（ 等图线）熟悉这些图线，了解各特征量在图线上的意义。tatvtx,001xvtg初相位：4、研究简谐运动的一种辅助方法旋转矢量法 简谐运动各特征量在旋转矢量图中的意义（ ）At, 旋转矢量 与简谐运动的对应关系AAtx5、简谐运动的合成同方向、同频率简谐运动合成111costAx222costAxtAxcos122122212cos2AAAAA22112211coscossinsinAAAAtg 注：研究简谐运动合成，同旋转矢量方法分

3、析是十分简便清晰！21AAA21AAAk2122, 1, 0k若1212k2, 1, 0k若 * 当质点以频率当质点以频率 作简谐振动时，它的动作简谐振动时，它的动能的变化率为能的变化率为242/( (A) )( (B) )( (C) )( (D) )22(2cos121)(sin21212222k）tkAtkAmEv222解解 * 一个质点作简谐运动，振幅为一个质点作简谐运动，振幅为A，在起始时刻质点的位移为在起始时刻质点的位移为 ，且向，且向x轴轴正方向运动，代表此简谐运动的旋转矢量正方向运动，代表此简谐运动的旋转矢量为（为（ ）2A(A) (B) (C) (D)ox2AAox2AAox2

4、AAox2AA1、机械波传播过程中的特点（1）各质元在各自平衡位置附近振动，而不沿着波传播方向移动（2）波动是指振动状态（相位波形）的传播（3）沿波的传播方向，各质元的相位依次落后二、波动的基本内容二、波动的基本内容（2）已知波动的图线，建立波动方程（关键：找出某一点的振动方程）2 、平面简谐波波动方程的建立（1）已知波线上某点的振动方程，建立波动方程)cos(tAy)(cosuxtAy如坐标原点处的振动3、 波动方程的意义（1）给定，得函数，表示该点的振动方程x)(ty（2）给定，得函数，表示该时刻的波形t)(xy（3） 都在变化，得 关系，即波动方程，反映了波形传播tx，)(txy，4 、

5、波的干涉（1）相干波：频率相同，振动方向相同，相位相同或相位差恒定的两列波（2）干涉结果合成振幅cos2212221AAAAA12122rr 合振动加强2 , 1 , 0,2kk21AAA21AAA2 , 1 , 0,) 12(kk合振动减弱5 、驻波或212 , 1 , 0,12kkrr21AAA21AAA2 , 1 , 0,2) 12(12kkrr驻波方程（特例）)2cos1xtAy（)2cos2xtAy（txAyyy2cos2cos221波腹，波节位置的确定（3）半波损失，相位突变（2）驻波的特征x2cos 0确定两种介质分 界 面从波疏介质入射波密介质处反射反射波相位突变)2cos(x

6、 0确定或机械波习题课一平面简谐波的表达式为其中 表示； 表示； 表示。)cos()(cosuxtAuxtAyyux/ux/t时刻x处质点的振动位移波从原点传播至x处时间质点在x处比在原点处的振动滞后相位机械波习题课在在 时刻，时刻， 与与 两处质点速度之比是两处质点速度之比是 (A) 1 (B) -1 (C) 3 (D) 1/3 1 一平面简谐波的波动方程为一平面简谐波的波动方程为4/31x4/2x/1t)/(2cosxtAy解解 1)2/3sin()2/sin()/1 (2sin)/1 (2sin)/1 (2sin2)/(2sin2dd21211xxxAxtAtytvvv由波函数确定速度和

7、加速度)(cosuxtAy)(sinuvxtAty机械波习题课)(sind21222uxtVA22p)dd(d21d21dxyxESykW22)dd(d21xyVu)(sind21222uxtVA22kd21d21dvvVmW)(sindddd222pkuxtVAWWW由波函数确定质元动能和势能三、习题mx0 x（1）振动周期）振动周期;1、一个给定的弹簧，在、一个给定的弹簧，在 拉力下伸长拉力下伸长 ,今今将一质量将一质量 物体悬在弹簧下端并使静止，再物体悬在弹簧下端并使静止，再把物体拉下把物体拉下 ，然后释放，求，然后释放，求N60m3 . 0m1 . 0kgm4（2）当物体在平衡位置上方

8、）当物体在平衡位置上方 处，并向上运动时，物体加速度处，并向上运动时，物体加速度的大小和方向的大小和方向;cm5（3）物体在平衡位置上方处）物体在平衡位置上方处,弹簧的拉力多大弹簧的拉力多大;cm5（4）物体从平衡位置运动到上面）物体从平衡位置运动到上面 处所需的处所需的最短时间。最短时间。cm5解：物体作简谐运动(为什么?)（2）图示坐标轴ox原点在平衡位置处，则由简谐运动特征得mxox0 x（1）振动周期kmT2Fkl 010200mNlFkskmT889. 02004222225 . 2)2(smxTxa方向向下mxox0 x注：研究简谐运动时，坐标原点建立在平衡位置（3）弹簧拉力klF

9、弹簧的伸长l由图示知xxl0cmkmgx6 .190(方向向上)NxxkF2 .290（4）本题用旋转矢量法求出，如图sTt074. 012xo2A注：也可由其它方法求得！2. 讨论A，B，C，D在该时刻的动能，势能情况及变化趋势点处： 最小 ， 也最小，以后将逐渐同时增加pEkE点处： ， 以后两者将同时增加0kE0pEC点处： 最大 ， 也最大 ，以后将同时减小pEkED点处： 最小 ， 也最小，以后将同时增加pEkEycoBAxDu3. 如图为一平面简谐波在如图为一平面简谐波在t=0时刻的波形图时刻的波形图,已已知波速知波速u=2m/s.试画出试画出P处与处与Q处质点的振动曲处质点的振动

10、曲线线,并写出相应的振动方程并写出相应的振动方程.)10(2my2o)(mx422uPQ4. 三个简谐振动方程分别为三个简谐振动方程分别为611cos67cos21cos321tAxtAxtAx画出它们的旋转矢量图，并在同一坐标上画出画出它们的旋转矢量图，并在同一坐标上画出它们的振动曲线。它们的振动曲线。5. 一简谐波沿一简谐波沿x轴正方向传播，图中所示为轴正方向传播，图中所示为该波该波t时刻的波形图。欲沿时刻的波形图。欲沿x轴形成驻波，且轴形成驻波，且使坐标原点使坐标原点O处出现波节，试画出需要叠加处出现波节，试画出需要叠加的另一简谐波的另一简谐波t时刻的波形图。时刻的波形图。yoxAu)(

11、mxot08. 004. 06. 图中所示为两个简谐振动的振动曲线图中所示为两个简谐振动的振动曲线.若以若以余弦函数表示这两个振动的合成结果余弦函数表示这两个振动的合成结果,则合振则合振动的方程为动的方程为)(21SIxxx(1)振动周期有何变化(2)振幅有何变化7、劲度系数为 的轻弹簧，系 一质量为 的物体在水平面上 作振幅为 的简谐运动。有一 质量为 的粘土，从高度为 处自由下落，正好在（a）物体在最大位移时（b）物体通过平衡位置时，落在物体之上分别求1mA2mhk2mhh1mAox1m（2）当粘土落到物体上时，物体和粘土的运动状态可发生变化，可能引起振幅的变化解： (1)振动系统周期由弹

12、簧振子的劲度系数和振子质量所决定，因此原振动周期为kmkmT1022 当粘土落在物体上时，系统的振子质量 为 ，所以21mm 0212TkmmT2mhh1mAox1m (a) 若当粘土落在物体上时，物体正好在最大位移处，由初始条件即振幅不变！得02020)(AvxA00v00Ax 2mhh1mAox1m物体和粘土为非弹性碰撞 (b)在平衡位置处，系统水平方向动量守恒，设物体 在平衡位置时速度为 ,则1mvvmmvm211则振动系统的最大速度vmmmv211由此可计算振动系统的振幅 ，有关系式A22122121vmmAk2mhh1mAox1m2212121vmmAk221121)(21vmmmmm21121)21(mmmvm20212121kAvm00211AAmmmA2mhh1mAox1m 或用由初始条件求振动振幅的方法计算 当粘土落在物体上时，新的 振动系统的振幅 由初始条件A2202020)()(vxvxAvmmmvv211000 x其中21mmk2mhh1mAox1m可得到0211AmmmA8 如图为一简谐运动质点的速度与时间的关如图为一简谐运动质点的速度与时间的关系曲线，且振幅为系曲线，且振幅为2 cm，求：，求： （1）振动周）振动周期；（期；（2）加速度的最大值