浙江专用高考数学总复习第七章数列推理与证明第6讲数学归纳法课时作业10142149

1、- 1 -第第 6 6 讲讲数学归纳法数学归纳法基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1.用数学归纳法证明“2n2n1 对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()a.2b.3c.5d.6解析n1 时，212，2113，2n2n1 不成立；n2 时，224，2215，2n2n1 不成立；n3 时，238，2317，2n2n1 成立.n的第一个取值n03.答案b2.某个命题与正整数有关，如果当nk(kn n*)时该命题成立，那么可以推出nk1 时该命题也成立.现已知n5 时该命题成立，那么()a.n4 时该命题成立b.n4 时该命题不成立c.n5，nn n*时该命题都

2、成立d.可能n取某个大于 5 的整数时该命题不成立解析显然 a，b 错误，由数学归纳法原理知 c 正确，d 错.答案c3.利用数学归纳法证明不等式“1121312n1n2(n2，nn n*)”的过程中，由“nk”变到“nk1”时，左边增加了()a.1 项b.k项c.2k1项d.2k项解析左边增加的项为12k12k112k11共 2k项，故选 d.答案d4.对于不等式n2nn1(nn n*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n1 时， 12111，不等式成立.(2)假设当nk(kn n*)时，不等式k2kk1 成立，当nk1 时， （k1）2k1k23k2 （k23k2）（k2） （k

3、2）2(k1)1.当nk1 时，不等式成立，则上述证法()- 2 -a.过程全部正确b.n1 验得不正确c.归纳假设不正确d.从nk到nk1 的推理不正确解析在nk1 时，没有应用nk时的假设，不是数学归纳法.答案d5.用数学归纳法证明 123n2n4n22，则当nk1 时左端应在nk的基础上加上()a.k21b.(k1)2c.（k1）4（k1）22d.(k21)(k22)(k1)2解析当nk时，左端123k2.当nk1 时，左端123k2(k21)(k22)(k1)2，故当nk1 时，左端应在nk的基础上加上(k21)(k22)(k1)2.故选 d.答案d二、填空题6.设sn11213141

4、2n，则sn1sn_.解析sn111212n12n112n2n，sn112131412n.sn1sn12n112n212n312n2n.答案12n112n212n312n2n7.(2017绍兴调研)数列an中，已知a12，an1an3an1(nn n*)，依次计算出a2，a3，a4的值分别为_；猜想an_.解析a12，a2232127，a3273271213，a421332131219.由此，猜想an是以分子- 3 -为 2，分母是以首项为 1，公差为 6 的等差数列.an26n5.答案27，213，21926n58.凸n多边形有f(n)条对角线.则凸(n1)边形的对角线的条数f(n1)与f(

5、n)的递推关系式为_.解析f(n1)f(n)(n2)1f(n)n1.答案f(n1)f(n)n1三、解答题9.用数学归纳法证明：11221321n221n(nn n*，n2).证明(1)当n2 时，11225421232，命题成立.(2)假设nk时命题成立，即 11221321k221k.当nk1时， 11221321k21（k1）221k1（k1）221k1k（k1）21k1k1k121k1，命题成立.由(1)(2)知原不等式在nn n*，n2 时均成立.10.数列an满足sn2nan(nn n*).(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)证明(1)中的猜想.(1)解当

6、n1 时，a1s12a1，a11；当n2 时，a1a2s222a2，a232；当n3 时，a1a2a3s323a3，a374；当n4 时，a1a2a3a4s424a4，a4158.由此猜想an2n12n1(nn n*).(2)证明当n1 时，a11，结论成立.假设nk(k1 且kn n*)时，结论成立，即ak2k12k1，那么nk1 时，- 4 -ak1sk1sk2(k1)ak12kak2akak1，2ak12ak.ak12ak222k12k122k112k.所以当nk1 时，结论成立.由知猜想an2n12n1(nn n*)成立.能力提升题组(建议用时：25 分钟)11.(2017昆明诊断)设

7、n为正整数，f(n)112131n，经计算得f(2)32，f(4)2，f(8)52，f(16)3，f(32)72，观察上述结果，可推测出一般结论()a.f(2n)2n12b.f(n2)n22c.f(2n)n22d.以上都不对解析因为f(22)42，f(23)52，f(24)62，f(25)72，所以当n1 时，有f(2n)n22.答案c12.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”.那么，下列命题总成立的是()a.若f(1)1 成立，则f(10)100 成立b.若f(2)0)，设fn(x)为fn1(x)的导数，nn n*.(

8、1)求 2f12 2f22 的值；(2)证明：对任意的nn n*，等式|nfn14 4fn4 |22都成立.(1)解由已知，得f1(x)f0(x)sinxxcosxxsinxx2，于是f2(x)f1(x)cosxxsinxx2sinxx2cosxx22sinxx3，- 6 -所以f12 42，f22 2163.故 2f12 2f22 1.(2)证明由已知，得xf0(x)sinx，等式两边分别对x求导，得f0(x)xf0(x)cosx，即f0(x)xf1(x)cosxsinx2 ，类似可得2f1(x)xf2(x)sinxsin(x)，3f2(x)xf3(x)cosxsinx32，4f3(x)xf4(x)sinxsin(x2).下面用数学归纳法证明等式nfn1(x)xfn(x)sinxn2对所有的nn n*都成立.()当n1 时，由上可知等式成立.()假设当nk(k1，且kn n*)时等式成立，即kfk1(x)xfk(x)sinxk2.因为kfk 1(x)xfk(x)kfk 1(x)fk(x)xfk(x)(k1)fk(x)xfk 1(x)，sinxk2cosxk2xk2sinx（k1）2，所以(k1