断裂力学讲义第三章： 弹性力学的平面问题

1、第3章 弹性力学的平面问题任何弹性力学问题都是空间问题，但是在某些条件下，它们可以简化为平面问题。在平面问题中，我们以x,y,z表示直角坐标系的三个坐标，以u,v,w表示相应的位移分量，而以、和、分别表示相应的应力分量和应变分量。§3.1 平衡方程与变形协调方程在平面问题里，所有位移量都只是x, y的函数，与z无关，因而所有应变和应力分量也都只是x, y的函数，与z无关。平衡方程(2.40)可简化为 (3.1)变形协调方程(2.63)只余下 (3.2)§3.2平面应力与平面应变3.2.1平面应力问题平面应力问题是指: 发生在物体某一方向(z方向)的尺寸远小于其余两个方向尺寸

2、的物体中，即物体是一个很薄的平板，此外还要求板的厚度均匀，所有外力都作用在板的中面内，或者所有外力都作用在与中面平行的平面内，且载荷对中面对称。根据这些前提条件，在物体的两个端面(上下底面)上，进而整个物体内，0, 其它应力分量中。平面应力的应变分量, 根据虎克定律(2.95)式，有, (3.3)利用(2.95)式，虎克定律可以写成 (3.4)3.2.2平面应变问题平面应变问题是指：在弹性体沿某一方向(z方向)的尺度远大于其余两个方向的尺度，而且物体形状及载荷沿z方向不变的情况下，在任一远离端部且与xoy平行的平面内，物体的变形都是相同的。此外，由于z方向尺度极大，不能产生z方向的位移，即，因

3、此，物体内的变形只发生在与xoy平行的平面内。这类弹性力学问题称之为平面应变问题。由应变与位移的关系直接得出，其它应变分量中，平面应变的应力分量，根据虎克定律(3.15)式，有 (3.5)利用(2.95)式，虎克定律可以写成 (3.6)3.2.3 虎克定律的统一形式引入符号：， (3.7)代入(3.4)和(3.6)式，虎克定律可以统一写成 (3.8)以应力表示的变形协调方程为： (3.9)也可改写为： (3.10)其中为二维直角坐标系中的拉普拉斯算符。 由(3.7)还可以得到一个常用的关系式: (3.11) 在后面我们还经常用到一个材料常数, 它的定义是 (3.12)利用弹性常数之间的关系式(

4、2.97)，还可以得到常用的关系式, (3.13)§3.3iry应力函数应力函数有许多种。本节只介绍平面问题中常用的Airy应力函数。在(3.10)中引入体力的势函数V，满足， (3.14)和Airy函数使， (3.15)则平衡方程自动满足，代入协调方程，得到 (3.16)式中 (3.17)当体力势为零时, U满足双调和方程 (3.18)应力分量与Airy函数的关系成为， (3.19)Airy函数可以取多种形式，例如多项式、三角函数等。这里只介绍一些矩形的平面问题，并取应力函数为多项式的形式。由(3.18)可知，U必须是二次以上的多项式。因为一次多项式只能使应力为零。在以下例子中，我

5、们都假定。 表3.3.1列出了取二次和三次多项式中的一项为应力函数时的应力分布。各应力函数相应的矩形板的边界条件如表3.3.1第4列显示。 表3.3.1应力函数U应 力矩形板的边界条件1 2345 当U是一个高于三次的多项式时，则不能任取一项。此多项式的系数必须满足某种关系时，才能取为应力函数。§3.4极坐标系中平面问题的基本方程应力 根据§2.1的应力张量坐标变换的方法，可以得出极坐标中应力分量与直角坐标系中应力分量的转换关系： (3.20)反过来 (3.21)由(3.20)还可以得到下面的关系式： (3.22)极坐标的位移分量与直角坐标系中的位移分量间有如下关系： (3

6、.23)上式也可表示为 (3.24)应力应变关系 统一写成 (3.25)其中, 参见(3.7)式。平衡方程 (3.26)§3.5 应力函数的复变函数表示 弹性力学的复变函数解法由Muskhelishvili(1953)等系统研究，并形成了一套完整的解法。这些方法在断裂力学中也得到广泛应用。在以下讨论中，我们假定体力为零。在3.3节，我们已经引进了应力函数使各应力分量满足(3.13), 从而使成为双调和函数，。进一步，我们选择解析函数和，将U表示为 (3.27)记。可以验证 (3.28)上式称为柯洛索夫公式。利用虎克定律求出应变和，然后利用应变与位移的关系作积分，得到位移的复变函数表示

7、为 (3.29)其中和分别表示和的共轭函数，k的定义参见(3.12)式。利用坐标变换可以得出，在极坐标系中，柯洛索夫公式可以表示为 (3.30)将上式中的第一式减第二式得到另一个相当有用的公式： (3.31)(3.27)的另一种写法为 (3.32)称之为古莎公式。§3.6 边界条件的复变函数表示3.6.1力的边界条件通常给定物体边界上应力矢量，。利用Cauchy公式(2.9) (3.33)由图(3.1)可知 ， 图 3.1再利用(3.19)式，将应力用应力函数表示，得到所以 (3.34)参照柯洛索夫公式，我们用应力矢量的复数表达式利用古莎公式(3.32)，有 记，得到 (3.35)因

8、此得或者 (3.36)将上式沿物体边界对弧长积分，例如从A到B(图3.1), 则得 (3.37)上式中等于在边界上AB段内应力矢量的主矢量, 其中X,Y分别为AB段上应力矢量得主矢R在x,y方向上的投影。如果选定A点为边界上的某一基点(定点), B点为边界上的任意点(动点), 则记为z, 而式(3.37)可写成 (3.38)可以证明(参见尹祥础，1995), 如果取并不影响应力和位移，因而可以使(3.38)简化为 (3.39)上式就是用、表示的力的边界条件。其中A点为边界上的某一固定点, B点代表动点(x,y)。同理可得 (3.40)其中表示作用在边界AB段上所有外力对原点的合力矩。3.6.2

9、 位移的边界条件对于边界上的位移给定为 的情况，按柯洛索夫公式，可立即得到其边界条件为 (3.41)§3.7 用复变函数方法解弹性力学平面问题的若干实例3.7.1均匀应力场取复应力函数 (3.42)其中H, H为复常数， 其中B, B, C, C为实常数。按柯洛索夫公式由上式可得 (3.43)可见，应力函数(3.42)代表均匀应力场。适当地选择各常数的值，可以得到不同的应力状态。另外，由(3.43)可知，C的值对应力值不起作用，故取。1. 沿方向的单向拉伸，拉应力为。远场边界条件为， ，代入(3.43)得, , 。 因此复应力函数为, (3.44)2. 沿两个方向双向拉伸，拉应力分别

10、为和.远场边界条件为, , 。代入(3.43)得到, , , 因此复应力函数为, (3.45)3. 纯剪，剪应力为远场边界条件为, ， 类似地得到， ， 复应力函数为, (3.46)3. 最一般的情况。主应力为，。与x轴的夹角为。由柯洛索夫公式解之得， (3.47)相应的复应力函数为 (3.48)位移：将式(3.42)代入位移的柯洛索夫公式(3.29), 将实部与虚部分开得到： (3.49)3.7.2无限大平板中有一圆孔，孔壁受均匀压力p(图3.2)取, (3.50)按柯洛索夫公式，图3.2 无限大介质中，圆孔受均匀内压问题 解之得， ， ， .利用孔壁内边界条件：时， , 得, 最后得到 (

11、3.51)在孔壁上, , 即 (3.52)在岩体中钻孔后施加压力p, 只要能测出在p作用下孔壁的径向位移, 就可求出。 3.7.3带圆孔无限大平板受到单向拉力的问题如图3.3所示，在无限大平板中有一圆孔，半径为R. 在无限远处受到单向拉力的作用，并取此方向为x轴。取如下的解： (3.53)其中A, B, C均为实常数。本问题的边界条件为时， ， 可求出， ， . (3.54)最后得 (3.55)和断裂力学直接相关的是孔边的周向应力， 在式(3.55)中第二式中令r=R, 得 (3.56)当(图3.4中A、B两点), ，即应力集中系数为3(最大应力与平均应力之比)。当时，与异号。这意味着当为压应

12、力时，在范围内为拉应力。特别当时，。 图3.3 带圆孔平板的受单向拉力问题 图3.4再将式(3.53)、(3.54)代入柯洛索夫公式中，可求得位移为 (3.57)孔壁的径向位移也有特别重要的意义。将代入上式即可得 (3.58)3.7.4带圆孔无限大平板受到双向拉力的问题 当沿x方向作用主应力，沿y方向作用主应力时，利用叠加原理，可得到其应力分布及孔壁径向位移分别为 (3.59)图3.5 在式(3.59)中第二式中令r=R, 得 (3.60)当(图3.5中A、B两点)时, 。当或 (图3.5中C、D两点)时， (3.61)当、均为压应力时，若记、为绝对值, 则上述各式中、换为、。§3.

13、8 地应力和地应力的测量地壳中的应力场是地学中的基本课题之一。它与地学中的许多重大课题(诸如地震的孕育与预报，构造物理学等)密切相关。一般认为，地应力的三个主应力方向分别沿水平方向和垂直方向。其中垂直方向记为， 水平方向的两个主应力按绝对值大小记为和。当然，也有些地区不满足上述假设，这些地方的主应力与垂直向或水平向成某种角度。最简单的地应力状态是没有构造应力的地壳上部应力场。在这种情况下，其中为岩石密度(例如花岗闪长岩的，h为深度，g为重力加速度。假定水平方向没有变形，即。代入(2.94)式，有得到 (3.62) 地应力状况分几种类型。如令，则按照绝对值可划分为： 1 垂直向为中间主应力(即,

14、 , )， 2 垂直向为最大主压应力(,)， 3 垂直向为最小主压应力(,)。地应力的测量方法分为绝对测量与相对测量两大类。前者是指测量地壳中某处(某点)的实际应力状态。后者则是测量该处应力的变化。一般来说前者比后者更困难些。绝对测量法中较常用的是应力解除法与水压致裂法。3.8.1应力解除法如图3.6所示, 在岩石表面垂直钻一圆孔，半径为R，直径为D。利用套钻或其它方法在此孔的周围挖成一个环形槽，从而使孔R周围岩体中原来所受到的应力和被解除。应力解除过程是应力加载的拟过程，在孔中安置仪器，测量应力解除后孔壁的径向位移。实际操作常常是测量半径D的变化，而。至少需要测量三个角度上的(如图3.7)。

15、角度差, 通常取为或。按式(3.57), (3.63) 图3.7中虚线为圆, 实线为应力解除后的孔壁形状。如已知岩体的杨氏模量E，孔径D, 则解上述代数方程组，可求得和解除值的大小及方向。 图3.6应力解除法测定 图3.7 应力解除后, 孔壁 岩体中应力的示意图 变形的测量 3.8.2水压致裂法 水压致裂为油田中一种增产措施。其方法是将油井(圆孔)的一段用堵塞器密封。在密封段内注入压力为p的流体(水溶液), 如图3.8所示。在水压p的作用下使孔壁附近产生裂纹，致使原有岩体中的裂纹张开、扩展，从而增大含油层中的渗透率，达到石油增产的目的。同一方法可用来测量地应力。 令和为压应力的绝对值，。在水压p及构造应力和的共同作用下，C、D两点处的环向应力最大。利用(3.52)和(3