第四章 不定积分

1、第四章 不定积分 不定积分是积分学中基本概念之一，本章由学函数的概念引出不定积分的定义，并给出不定积分的性质和基本积分方法。不定积分的学习为后面学习定积分奠定了基础。 学习目标：1、 理解不定积分的概念及其性质。2、 掌握不定积分基本公式。3、 熟练掌握不定积分的基本积分方法。第一节、 不定积分的概念 我们在学习导数的时候，已经介绍过已知物体的运动方程，可以求出其度方程。那么，反过来，如果我们已知物体的速度方程，怎样来求物体的运动方程呢？下面我们给出原函数的概念。一、 原函数。定义1、设是定义域在区间上的函数，若存在可导函数，使得 则积为在区间上的一个原函数。比如，则积是的一个原函数，那么，我

2、们问，原函数是唯一的吗？ ，由上式可知，也是的一个原函数，所以原函数不是唯一的。注： 1、如果函数在给定区间上连续，则函数一定存在原函数。 2、如果函数存在原函数，则原函数不唯一。我们有下列结论存在：若是的一个原函数，则是的全部原函，其中为任意常数。二、 不定积分的概念。定义2 如果为的一个原函数，则把函数的全体函数叫做的不定积分，记为，其中，上式中的叫做积分变量，叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分常数，“”叫做积分号。注：求不定积分，就是解出基本原函数的过程，所以不要忘记“”，否则求出来的就是一个原函数。下面举几个实例：例1： 解：因为 ， 所以 例2： 解：因为 ， 所以 三、 不定积

3、分的基本公式：（1）（为常数）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）四、 不定积分的性质。性质1 或 性质2 或 上述两个性质表明，倒数与不定积分互为逆运算。性质3 其中为非常序数，性质4 性质4表明。对有限个函数能和或差，可逐渐求不定积分。下面举一些例子。例3 解： 由公式 可知 例4 解： 例5 解： 习题：1、 填空题（1）的一个原函数是 （2） （3） （4） 2、计算下列不定积分（1） （5）（2） （6）（3） （7）（4） （8）第二节 不定积分的换元积分法 使用不定积分基本公式，只能求出一些简单的不定积分，这一节

4、我们介绍不定积分的换元积分法。定理1 若存在原函数，存在连续导数，则.这种积分方法称为第一换元积分法，又称凑微分法。例1 解 令， 得，所以 例2 解： 令， 得， 当我们熟练运用之后，可以省略中间的换元步骤，直接凑成积分公式的形成。因此，第一换元积分法，又形象地被称为凑微分法。上述两列又可以直接进行凑微分类计算不定积分。 （把凑成一个整体，直接套用公式） （把凑成一个整体，直接套用公式） 下面给出一些常用的凑微公式，方便大家计算不定积分。（一） 线性凑微分： 例3： 解： 例4： 解： （二） 非线性凑微分。常用的非线性凑微分公式列表如下： （1） （2） （3） （4） （特别地，当时，）

5、 （5） （6） （7） （8） （9） （10）下面举一些实例： 例5 解： 利用公式， 得 例6 解： 例7 解： 例8 解： 习题2.1、 填空题。（1） （2） （3） （4） 2、计算下列不定积分。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）第三章 不定积分的分部积分法 若被积函数是两种不同类型函数的乘积，又不能使用凑微分方法来计算，往往需要用到分部积分法来求，下面我们介绍不定积分的分部积分法。 设函数，可导，则，用微分形式表示出来，即 ，对上式两边用的积分得。 移动得 这就是分部积分公式，若积分比较难求，而比较容易求时，分部积分公式就起到化难为易的作用。 下面举例

6、进行计算。例1 解： 总结：若被积函数为幂函数与指数函数乘积时，选择指数函数与凑成，幂函数作为函数，再使用分部积分计算。 例2 解： 总结：若被积函数为幂函数与三角数函数乘积时，选择三角数函数与凑成，幂函数作为函数，再使用分部积分计算。例3 解： 总结：若被积函数为幂函数与对数函数乘积时，选择幂函数与凑成，对数函数作为函数，再使用分部积分计算。例4 解： 总结：若被积函数为幂函数与反三角数函数乘积时，选择幂函数与凑成，反三角函数作为函数，再使用分部积分计算。例5 解： 总结：若被积函数为指数函数与三角函数乘积时，任意选择一种函数与凑成，余下的函数作为函数，使用分部积分，但是这种变化的连续使用两次分部积分，任意 选择函数的一致性。习题3.1. 已知的一个原函数是，计算。2. 计算下列不定积分（1）（2）（3）（4）（5）3.设的一个原函数是，求第四章测试题一、选择题 （）1.已知，则（ ）A. B. C. D.2.若、区间为的原函数，则（ ）A. B. 0 C.