自动控制原理第五章线性系统的频域分析

1、南通大学自动控制原理精品课程习题第五章 线性系统的频域分析例5-1 已知一控制系统结构图如图5-1所示，当输入r(t) = 2sint时，测得输出c(t)=4sin(t-45°)，试确定系统的参数x ，wn。图5-1 系统结构图解：系统闭环传递函数为系统幅频特性为相频特性为由题设条件知c(t) = 4sin( t -45°) =2 A(1) sin(t + j(1) 即整理得解得，例5-2 已知系统传递函数为，试绘制系统的概略幅相特性曲线。解：（1）传递函数按典型环节分解（2）计算起点和终点，相角变化范围：不稳定比例环节-50：-180° -180°；惯

2、性环节1/(0.2s+1)：0° -90°；不稳定惯性环节1/(-2s+1)：0° +90°；不稳定二阶微分环节0.2s2-0.4s+1：0° -180°（3）计算与实轴的交点 令ImG(jw) = 0，得 ，ReG(jwx) = -4.037（4） 确定变化趋势 根据G(jw)的表达式，当w <wx 时，ImG(jw) < 0；当w >wx 时，ImG(jw) > 0。作系统概略幅相曲线如图5-63所示。图5-2 系统概略幅相曲线例5-3 系统的开环传递函数为，试用乃氏判据判断系统的稳定性。解：（1） 绘制系

3、统的开环概略幅相曲线： 组成系统的环节为一个积分环节、两个惯性环节和比例环节。 确定起点和终点 图5-3 系统概略幅相曲线 求幅相曲线与负实轴的交点令ImG(jw) = 0，得， 组成系统的环节都为最小相位环节，并且无零点，故j(w)单调地从-90°递减至-270°。作系统的概略幅相特性曲线如图5-3所示。（2）用乃氏判据判断系统的稳定性由于组成系统的环节为最小相位环节，P = 0；且为型系统，故从w = 0处补作辅助线，如图5-3虚线所示。当时，即，幅相特性曲线不包围(-1，j0)点，所以闭环系统是稳定的。当时，即，幅相特性曲线顺时针包围（-1，j0）点1圈，R = -1

4、，Z =P -2N = 2 ¹ 0，所以系统是不稳定的。例5-4 某最小相位系统的开环对数幅频特性如图5-4所示。要求：（1）写出系统开环传递函数；（2）利用相位裕度判断系统稳定性；（3）将其对数幅频特性向右平移十倍频程，试讨论对系统性能的影响。图5-4 开环对数幅频特性解：（1）由系统开环对数幅频特性曲线可知，系统存在两个交接频率0.1和20，故且 得 K = 10所以 （2）系统开环对数幅频特性为 从而解得 wc = 1系统开环对数相频特性为，j(wc) = -177.15°，g =180° + j(wc) = 2.85°故系统稳定。（3）将系统开环

5、对数幅频特性向右平移十倍频程，可得系统新的开环传递函数其剪切频率wc1 =10wc =10而，g 1 =180°+ j1(wc1) = 2.85°，g 1 = g系统的稳定性不变。由时域估计指标公式ts = kp /wc,得 ts1 = 0.1ts即调节时间缩短，系统动态响应加快。由,得Mp1 = Mp即系统超调量不变。例5-5 单位反馈系统的闭环对数幅频特性分段直线如图5-5所示。若要求系统具有30°的相位裕度，试计算开环放大倍数应增大的倍数。图5-5 闭环对数幅频特性解：由闭环对数幅频特性曲线可得系统闭环传递函数为因此系统等效开环传递函数其对数相频特性为若要求

6、j(w1) = -150°，可得w1 = 2.015系统对数幅频特性曲线为 要使系统具有30°相角稳定裕度，w1应为剪切频率，有，则ka = 4.03；故系统开环放大倍数应增大4.03倍。例5-6 系统开环频率特性分别为如图5-6的(a)和(b)所示，试判断闭环系统的稳定性。图5-6 系统开环频率特性解：（a）图给出的是w Î(-，0)的幅相曲线，而w Î(0，+)的幅相曲线与题给曲线对称于实轴，如图5-7所示。因为n = 1，故从w = 0的对应点起逆时针补作p/2，半径为无穷大的圆弧。在(-1，j0)点左侧，幅相曲线逆时针、顺时针各穿越负实轴一次，故

7、N+ = N - = 1，N = N+ - N - = 0因此，s右半平面的闭环极点数Z = P - 2N = 0，闭环系统稳定。图5-7（b）因为n = 2，故如图(b)中虚线所示在对数相频特性的低频段曲线上补作2倍.90°的垂线。当w wc时，有L(w) > 0，且在此频率范围内，j(w)穿越 -180°线一次，且为由上向下穿越，因此N+ =0 ，N - =1，N = N+ - N - = -1 于是算得右半平面的闭环极点数为Z = P - 2N = 2，系统闭环不稳定。例5-7系统的开环传递函数为(1) 当时，在试图8的坐标纸上，绘制系统的开环对数幅频特性的大致

8、图形；(2) 求开环剪切频率和相角裕度；(3) 用频率分析法求出系统处于临界稳定状态的的值。图5-8解： (1) 绘制系统的开环对数幅频特性的大致图形如图5-8所示； (2) 时系统的开环对数幅频特性为 化简 令 (3) 系统处于临界稳定状态时，方法一：（精确值）方法二：系统的开环对数幅频特性为（近似值） 例5-8 对于某单位反馈最小相位系统，其开环传递函数的折线对数幅频特性如图5-9所示。1）在图中标出其；2）写出开环传递函数；3）求出开环截止角频率及此时的相位稳定裕量。L() -20dB/dec 44dB -40 dB/dec 0.5 1.0 0.01 0.05 0.1 -60 dB/de

9、c -40 dB/dec图5-9解：1）如图中虚线与轴交点所示；2）由给出的对数幅频特性图可知解得3）由给出的对数幅频特性图可知，则，解得系统的相位稳定裕量例5-9某系统的对数频率特性实验数据如表5-1所示，试确定系统的传递函数。表5-10.10.20.4124102030342821135-5-20-31-34-93-97-105-123-145-180-225-285-345解：由对数频率特性实验数据可得 设系统的传递函数做出其大致的Bode图如下：由图可知其满足对数幅频特性，但不满足相频特性，则该系统应为非相位系统；可设系统的传递函数为，计算出其对应频率的相位角，列表如下：表5-20.1

10、0.20.4124102030-93-97-105-123-145-180-225-285-345-93.15-96.28-102.46-119.43-140.71-164.75-195.26-219.29-232.50显然系统的传递函数包含有滞后环节，由上表可知s，则可得符合要求的传递函数为：例5-10绘制传递函数的近似Bode图，判定系统的稳定性，并确定分子数值应增大或减少多少才能得到的相角裕量？ 解：化简得由给出的对数幅频特性图可知，则，解得系统的相位稳定裕量，则系统不稳定，要得到的相角裕量，必须减少分子数值，即放大系数应降低，使系统的对数幅频特性曲线向下平移。令 ，则，因此，所以，可得 解得分子数值应减少倍才能得到的相角裕量。例5-10最小相位系统对数幅频渐近特性如图5-10所示，图中为转折频率，剪切频率。试确定：1）系统的开环传递函数；2）计算系统的相位裕量；3）判断系统的稳定性。图5-10解：1）由图知在低频段渐近线斜率为0，故系统为0型系统。渐近特性为分段线性函数，在各交接频率处，