充分条件与必要条件_典型例题

1、充分条件与必要条件典型例题能力素质例1已知p: Xi, X2是方程x2 + 5x 6 = 0的两根，q: Xi +x2= 5,则p是q的A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件分析 利用韦达定理转换.解 . x1, x2是方程x2+5x6=0的两根，x1, x2的值分别为1, 6,. . x1 + x2 1 65.说明但qtp,事实上只要取4=-，盯=-3作为反例即可说明这一点.因此选A.说明：判断命题为假命题可以通过举反例.例2 p是q的充要条件的是A. p: 3x+2>5, q： 2x3>5B. p： a>2, bv 2, q ： a&

2、gt; bC. p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形D. p： aw0, q：关于x的方程ax = 1有惟一解分析逐个验证命题是否等价.解 对A. p： x> 1, q： x<1,所以，p是q的既不充分也不必要条件；对B. p=q但qp, p是q的充分非必要条件；对C. p牛q且q=>p, p是q的必要非充分条件；对D. p= q且q= p,即pu q, p是q的充要条件.选D.说明：当a=0时，ax = 0有无数个解.例3若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条彳则 D是A成立的A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必

3、要条件分析 通过B、C作为桥梁联系 A、D.解 . A是B的充分条件，A=>B.D是C成立的必要条件，. C=>D2).C是B成立的充要条件，Cu B由得A C®由得A-D.D是A成立的必要条件.选 B.说明：要注意利用推出符号的传递性.例4 设命题甲为：0VXV5,命题乙为|x2| <3,那么甲是乙的A.充分不必'要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件分析先解不等式再判定.解 解不等式|x 2| v 3得1 v xv 5.0 vx v 5 0 1 v xv 5,但一1vxv5 专 0vxv5，甲是乙的充分不必要条件，选A.说明：一般

4、情况下，如果条件甲为xCA,条件乙为xCB.当且仅当A EB时，甲为乙的充分条件；当且仅当A= B时，甲为乙的必要条件；当且仅当A= B时，甲为乙的充要条件.例5 设A、B、C三个集合，为使 A(BUC),条件AB是A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件分析 可以结合图形分析.请同学们自己画图.解T A器B而B匚(BU C),A (BUC).但是，当B= N C= R, A= Z时，显然A1(BUC),但a/b不成立，综上所述：“0B" ='号(B UC)",而“A(BUC)” 牛 “AB”.即“ 0 B”是“ A(B U C)”的充分条件(不

5、必'要).选A.说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况.例6给出下列各组条件：(1)p : ab=0, q： a2+b2=0;(2)p : xy>0, q： |x| 十 |y| = |x + y| ;(3)p : m>0, q：方程 x2-x- mi= 0 有实根；(4)p ： |x - 1| >2, q ： xv 1.其中p是q的充要条件的有A. 1组B, 2组C. 3组D. 4组分析使用方程理论和不等式性质.解(1)p 是q的必要条件(2)p是q充要条件(3)p是q的充分条件(4)p是q的必要条件.选 A.说明：ab=0指其中至少有一个为零，

6、而a2+b2=0指两个都为零. x1 > 3 口x1 +x2> 6右公例7 « 是«的条件.x2 > 3 x1x2 > 9分析 将前后两个不等式组分别作等价变形，观察两者之间的关系.解 x1 > 3-M x2>3= x1+ x2>6 且 x1x2 >9,但当取 x1 = 10, x2 = 2 时,x1 +x2>6 ,仅1>3,一一“、12 成立，而1 1 不成立（x2=2与x2>3矛盾），所以填 充分不x1x2 >9x2> 3必要”.说明:x1>3 x1-3>0x2> 3 - x

7、2-3>07xi-3)+(x2-3)>0Jx1-3)(x2-3)>0这一等价变形方法有时会用得上.x1 + x2 >6x1x2 3(x1 + x2) + 9 > 0点击思维例 8 已知真命题 " a>b=c>d” 和“ av b=>ewf "，则 “ cwd” 是 “ e wf”的 条件.分析 .a>b=c>d（原命题），c<d=>a<b（逆否命题）.而 av b - ew f,，cwd=ewf即cwd是ewf的充分条件.答填写“充分”.说明：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法.例

8、9 ax 2+2x+1 = 0至少有一个负实根的充要条件是A. 0<a< 1B. a< 1C. a< 1 D. 0vaW1 或 a<0分析此题若采用普通方法推导较为复杂，可通过选项提供的信息，用排除法解之.当a= 1时，方程有负根 x=- 1,当a=0时，x=1故排除A、B、D选C.2一，一，.,1解常规方法：当a=0时，x=-.2当aw0时f2 - . 4 - 4a1. a>0,则ax2+2x+ 1 = 0至少有一个负实根 u <02au -2j1 a<2u 0<a< 1.2. a<0,则ax2 + 2x+ 1=0至少有一个负

9、实根-2 . 4 - 4au < 02au 2>2<1-a>2 1 a>1u a< 0.综上所述a< 1.即ax2+ 2x + 1 = 0至少有一个负实根的充要条件是a< 1.说明：特殊值法、排除法都是解选择题的好方法.例10已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分 条件，那么s, r, p分别是q的什么条件？分析 画出关系图1 21,观察求解.图 1-21解s是q的充要条件；(s =>r=>q, q=s)r是q的充要条件；(r =q, q=s = r)p是 q的必要条件； (q =>s=>r今p)说明：

10、图可以画的随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系.例11关于x的不等式(a 1)2 (a -1)2|x ( 21)尸(2) 与x2 3(a+1)x+2(3a+1)00的解集依次为 A与B,问“A3B”是“102&3或2= 1”的充要条件吗？分析 化简A和B,结合数轴，本造不等式(组)，求出a.解 A =x2a <x<a2+1, B= x|(x 2)x - (3a + 1) < 0,1 ,当203a+1即a)时，3B= x|2 <x<3a+1.2ci> 2A 三 Bu!?1<a< 3a2 +1 <3a+1，1 ,当 2>

11、;3a+ 1 即 a< 一时, 3B= x|3a +1WxW 22a>3a+1A 工 Bu2ua=-1.a +1 0 2综上所述：A _ B= a= - 1或 1Wa03.：“A J B”是“ 1Wa&3或a= 1”的充要条件.在解题时说明：集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关. 要理清思路，表达准确，推理无误.学科渗透一1 11, 一 一、.一， 一一、例12 x > y, xy > 0是一 < 一的必要条件还是充分条件，还是充 x y要条件？分析将充要条件和不等式同解变形相联系.一 1 1解1.当一< x1 ,1,时，可得一Lo即匕&

12、lt;0 y xyyx<0 'xy>0,x< y0（有可能得到），即x>y且xyxy< 0y-x> 0或 xy<0Px< yx>y即 或（xy< 0xy> 0,一 11一 一故一 < 一不能推得x > y且xy >x y11>0并非一 < 1的必要条件.x yx>y x>y2.当x>y且xy>0则分成两种情况讨论：,x>0或x<0j>0 y<011不论哪一种情况均可化为-< 一.x y一 一 11x> y且xy>0是 <

13、 的充分条件.x y说明：分类讨论要做到不重不漏.例13 设“，3是方程x2ax + b= 0的两个实根，试分析 a>2且b>1是两根“，3均大于1的什么条件？分析把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需要搞清楚条件p与结论q分别指什么.然后再验证是pn q还是q= p还是p= q.a>2解据韦达定理得：a= a + B , b= a B ,判定的条件是p：，b>1.一.a > 1.一 .结论是q:（还要注息条件p中，a, b需要满足大前提 ' =a - 4bJ >1>0)a > 1/口由 得a=a + B>2, b=a0>1,">1 q ： p.(2)为了证明p与q,可以举出反例；取Cl =4, 3=;.它满足鼻二Q + P= 4+；>2, b =。6=4*1 = 2>1,但 q 不成立. 右U上述讨论可知：a>2, b> 1是a>1, 3>1的必要但不充分条件.说明：本题中的讨论内容在二次方程的根的分