初二数学---面积法解题

1、Eriucntinn常熟市景航教育信息咨询有限公司Changshu Wonderful Sailing Education Co.,Ltd初二数学一面积法解题【本讲教育信息】【讲解内容】一一怎样证明面积问题以及用面积法解几何问题【教学目标】1 .使学生灵活掌握证明几何图形中的面积的方法。2 .培养学生分析问题、解决问题的能力。【重点、难点】：重点：证明面积问题的理论依据和方法技巧。难点：灵活运用所学知识证明面积问题。【教学过程】（一）证明面积问题常用的理论依据1 .三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。2 .同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。3 .平行四边形的对角线把其分成两个面积

2、相等的部分。4 .同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。5 .三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。16 .三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的一47 .三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的-o48 .有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。（二）证明面积问题常用的证题思路和方法1 .分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。2 .作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。3 .利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。4 .还可以利用面积解决其

3、它问题。【典型例题】（一）怎样证明面积问题1 .分解法例1.从4ABC的各顶点作三条平行线 AD、BE、CF,各与对边或延长线交于 D、E、F, 求证： DEF的面积=2AABC的面积。分析：从图形上观察， DEF可分为三部分，其中是 ADE ,它与 ADB同底等Educntinn常熟市景航教育信息咨询有限公司Changshu Wonderful Sailing Education Co.,Ltd例2.已知：在梯形求证：S ADMABCD 中，DC/AB1S一 ABCD2M为腰BC上的中点分析：由M为腰BC的中点可想到过用平行线间的距离相等，设梯形的高为hM作底的平行线 MN ,则MN为其中位

4、线，再利S AMD S DMN S AMN1 1cm MNh二 SABCD22证明：过M作MN/AB. M为腰BC的中点MN是梯形的中位线设梯形的高为hMNDCAB则 SABCDMN hAMDAMNMNDMN7局，故 S ADE S ADB二是AADF,和上面一样，SADF SADC三是 AEF ,只要再证出它与 ABC的面积相等即可由 Sacfe= Szx cfb故可得出 Saaef = Saabc证明： AD/BE/CF.ADB和4ADE同底等高SaADB = SAADE同理可证：SADC = SADF SABC = SADE +SADF又,: SACEF=空 CBFSABC = SAEF

5、Saef+Sade+Sadf = 2SabcSa DEF = 2sABC2 .作平行线法S ADM1SSABCD2（二）用面积法解几何问题有些几何问题，往往可以用面积法来解决，用面积法解几何问题常用到下列性质:Eriucntinn常熟市景航教育信息咨询有限公司Changshu Wonderful Sailing Education Co.,Ltd性质1：等底等高的三角形面积相等性质2:同底等高的三角形面积相等性质3:三角形面积等于与它同底等高的平行四边形面积的一半性质4:等高的两个三角形的面积比等于底之比性质5:等底的两个三角形的面积比等于高之比1.证线段之积相等例 3.设 AD、BE 和 C

6、F 是 ABC 的三条高，求证： AD - BC = BE - AC = CF - AB分析:用面积法。证明:从结论可看出,三边上的高，故可联想到可AD、. AD、BE、CF ABCAD BC BE AC的三条高CF ABABCAD BC BE AC2CF AB2.证等积问题例4.过平行四边形ABCD证： Sa abf = Saade的顶点A引直线，和BC、DC或其延长线分别交于 E、F,求分析：因为AB/DF ,所以 ABF ABC 个三角形的面积相等。证明：连结AC CF/AB是同底AB和等高的两个三角形，所以这两S ABF S ABC12 S¥行四边形ABCD又 CE/ADS

7、ADE S ACD2 S平行四边形ABCDS ABF S ADE3 .证线段之和例 5.已知 ABC 中，AB=AC, P 为底边 BC 上任一点，PEXAB , PFXAC, BHXAC , 求证：PE+PF=BH连结分析：已知有垂线，就可看作三角形的高,AP,则S ABC SABP S APC又由ABAC,所以1 AB PE2_1 -S ABC1 AC2-AC 2(PEPFPF)又 S ABC1 - AC BH2故 PE+PF= BH证明：连结AP,则S ABC S ABP S APC.AB=AC, PEL AB,1S ABC 2 AB又 ; BH± ACc1 _S ABC二 A

8、C2PEBH1 -AC ( PE PF) 2PE+PF=BHPF，AC1 -AC 2-AC 2PFBH4.证角平分线例6.在平行四边形 ABCD的两边AD、 交于P,求证：BP平分/ APC。1一AC 2(PE PF)CD上各取一点 F、E,使AE = CF,连 AE、CFB分析：要证BP平分/ APC,我们可以考虑，只要能证出B点到PA、PC的距离相等即可，也就是 ABE和4BFC的高相等即可，又由已知 AE = FC可联想到三角形的面积，因 此只要证出 Saabe = Sabcf即可由平行四边形 ABCD 可得 SAABE = SABC , SabFC = SABC所以Saabe = Sb

9、fc ,因此问题便得解。证明：连结AC、BE、BF 四边形ABCD是平行四边形SABE = SABCSa BFC = S ABC SABE =空 BFC又 AE = CF而 ABE和 BFC的底分别是 AE、CF .ABE和 BFC的高也相等即B至ij PA、PC的距离相等B点在/ APC的平分线上PB 平分/ APC【模拟试题】（答题时间：25分钟）1 .在平行四边形 ABCD中，E、F点分别为BC、CD的中点，连结 AF、AE ,求证：$ ABE = SADF2 .在梯形ABCD中，DC/AB , M为腰BC上的中点，求证： S adm S dcm S abm111-2 r-2 r23 .

10、 RtABC中，/ ACB =90° , a、b为两直角边，斜边AB上的高为h,求证：a b h4 .已知：E、F为四边形ABCD的边AB的三等分点，G、H为边DC的三等分点，求证:SeFGH - Sabcd3BEriucntinn常熟市景航教育信息咨询有限公司Changshu Wonderful Sailing Education Co.,LtdCE 15 .在 ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且AC 3 , CD和BE交于G ,求 ABC 和四边形ADGE的面积比。ADEBC【试题答案】1 .证明：连结AC ,则S ABC S ADC 又 E、F分别为BC、CD的中点S A

11、BES ADFS ABE-S ABC21二 S ADC2S ADF2 .证明：过 M 作 MN/DC/AB. M为腰BC上的中点DCM和ABM 的高相等，设为 hi1 11S DCM S ABM DC h1-AB h1-(DC AB) %2 22又DMN 与AAMN的高也为h1S ADM S DMN S AMN11 MN h1 MN h1221 MN (" h1)2MN h1 MN为梯形的中位线1 -MN -(AB CD)S ADM S DCM S ABM3.证明：.在 RtAABC 中，Z ACB =90° , CDXAB c1,1 _ .S ABC ab AB h 22ab AB h2, 22,2 z 2 ,22a b AB h (a b ) h22两边同时除以a b得：工工2 -2,2a bh4.证明：连结 FD、FG、FCS FGH则由已知可得DEFHM1sS DFC3作DM/AB ,设它们之间的距离为 h, G至ij DM的距离为a,则由已知可得 H、C至ij DM的距离分别为2a、3aEFG1 一EF2(h a)AFDS BFCEF h1h BF2-EF2(h 3a)3EF