微课一元二次方程的根与系数的关系课件

1、八年级八年级(下下) 18.4 礼县永兴中学礼县永兴中学 刘燕刘燕 微课教学微课教学2021-11-72 根据你的观察，猜想：方程根据你的观察，猜想：方程ax2+bx+c=0(a0) 的根若是的根若是 x1、x2 ，那么，那么 x1+x2= ，x1x2=. 你能证明上面的猜想吗？你能证明上面的猜想吗？方 程x1x2x1+x2x1 x2x2+2x15=03x24x+1=02x25x+1=0352151344175417531252131 填写下表，然后观察根与系数的关系：填写下表，然后观察根与系数的关系：2021-11-73,2421aacbbx21xxaacbbaacbb242422aacbb

2、acbb24422ab22ab推导推导 一元二次方程的根与系数的关系：一元二次方程的根与系数的关系：设设x x1 1,x ,x2 2是方程是方程 axax2 2+bx+c=0(a +bx+c=0(a 0) 0)的两个的两个根根( (b24ac0) )，则，则aacbbx24222021-11-7421xxaacbbaacbb24242222224)4()(aacbb22244aacbbac2021-11-75一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：1. 1. 如果方程如果方程 axax2 2+bx+c=0(a 0)+bx+c=0(a 0)的两个根的两个根

3、为为x x1 1、x x2 2 ，acxxabxx2121,那么那么这个关系通常称为这个关系通常称为韦达定理韦达定理（vietas theorem）.2021-11-76我们把方程我们把方程axax2 2+bx+c=0 (a0)+bx+c=0 (a0)变形为：变形为：02acxabx我们可以把方程写成我们可以把方程写成 ： 的形式，的形式， 02qpxxacqabp,则2021-11-772. 2. 如果方程如果方程x x2 2+px+q=0+px+q=0的两根为的两根为x x1 1、x x2 2 , , 那那么么“对于简化的二次方程，两根之和等于一次项系数的相对于简化的二次方程，两根之和等于

4、一次项系数的相反数，两根之积等于常数项反数，两根之积等于常数项”. ( 这个定理又叫做韦达这个定理又叫做韦达定理定理)“对于简化的二次方程，一次项的系数等于两根之和的对于简化的二次方程，一次项的系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之积相反数，常数项等于两根之积”.(这是韦达定理的逆定这是韦达定理的逆定理理)x x1 1 + x+ x2 2= = p , xp , x1 1x x2 2 = q .= q .2021-11-783.:1,21）是系数为二次项为根的一元二次方程（以两个数xx 1.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形

5、式；把已知方程化成一般形式；021212xxxxxx）（2.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当当b2-4ac0时，才能应用根与系数的关系；时，才能应用根与系数的关系； 3.已知方程的两根，求作一元二次方程时，要注已知方程的两根，求作一元二次方程时，要注意根与系数的正、负号意根与系数的正、负号.【注意】【注意】 2021-11-791.下列各方程中，两根之和与两根之积各是多少？下列各方程中，两根之和与两根之积各是多少？(1)(1)x x2 2-3x+1=0

6、; (2) 3x-3x+1=0 ; (2) 3x2 2-2-2x=2=2；(3) 2x2-9x+5=0； (4) 4x(4) 4x2 2-7x -7x +1=0；(5) 2x(5) 2x2 2+3+3x=0=0； (6) 3x2=1 . . (1) (1) 两根之和为：两根之和为：3 3两根之积为：两根之积为：1 1 (2) (2) 两根之和为：两根之和为：32两根之积为：两根之积为：32(4) (4) 两根之和为：两根之和为：47两根之积为：两根之积为：41(5) (5) 两根之和为：两根之和为：23两根之积为：两根之积为：0 0 (6) (6) 两根之和为：两根之和为：0 0两根之积为：两

7、根之积为：31两根之积为：两根之积为：25 (3) (3) 两根之和为：两根之和为：292021-11-710提示提示 : 应用韦达定理可得应用韦达定理可得 .2.判定下列各方程后面括号内的两个数是不是判定下列各方程后面括号内的两个数是不是 它的两个根它的两个根.（1）x2+5x+4=0 , (1 , 4)不是不是（2）x26x7=0 , ( 1 , 7)是是（3）2x23x1=0 , ( , 1)21是是（4）3x25x2=0 , ( , 2)31不是不是（5）x28x11=0 , )54 ,54(是是2021-11-711解解：法法1 1：设方程的另一个根为设方程的另一个根为 x x2 2

8、, , 则则(4)x2=24解得解得x2=21k=7答：方程的另一根为答：方程的另一根为 ，k的值为的值为7.214+x2=2k例例1 1：已知关于已知关于x x的方程的方程 2x2+kx4=0 的的一个根是一个根是-4-4，求它的另一根及，求它的另一根及k k的值的值. .2021-11-712 方程方程 2x2+kx4 = 0 = 0的一个根为的一个根为-4-4，则则 2 2 (-4)(-4)2 2+ + (-4)(-4)k-4 = 0-4 = 0 2 2 164k4k4 = 04 = 0 k=7 k=7 2x 2x2 2+7x+7x4=04=0 方程方程2x2+kx4 = 0 = 0的一

9、个根为的一个根为-4-4 2 (4)2+ (4) k4 = 0 2 164k4 = 0 k=7 k=7 即即 2x2x2 2+7x4=0=0 法法2:2:法法3:3:解此方程解此方程:x:x1 1=4,4, 212x又又244x21x例例1 1：已知关于已知关于x x的方程的方程 2x2+kx4=0 的的一个根是一个根是-4-4，求它的另一根及，求它的另一根及k k的值的值. .2021-11-713例例2 已知两数的和为已知两数的和为3，积为，积为4，求：，求：这两个数这两个数.解法解法1：设两个数中的一个数为设两个数中的一个数为x,因为两数之和为因为两数之和为3， 所以另一个数为（所以另一

10、个数为（3x）.再根据再根据“两数之积为两数之积为4”, 可列出方程可列出方程 x(3x)=4. 即：即： x23x4=0, 即（即（x4)（x+1）=0， 即即 x=4或或x=1 这两个数为这两个数为4或或1. 分析：我们可以用多种方法来解决这个问题分析：我们可以用多种方法来解决这个问题.解法解法2：设两个数是设两个数是x,y,可列出方程组的解法可列出方程组的解法.解法解法3：因为两根和与两根积都已知，我们可以直接构造出因为两根和与两根积都已知，我们可以直接构造出一个简化的一元二次方程一个简化的一元二次方程,即即: x23x4=0, 这就是方法这就是方法1得到得到的方程的方程.下同解法下同解

11、法1.2021-11-714( (它的另一根为它的另一根为:-3 :-3 ，m m的值为的值为:5):5)2. 2. 已知关于已知关于x的的方程方程x x2 2mx mx 2m2mn = 0 = 0的根为的根为 2, 2, 且根的判别式为且根的判别式为0 0，求，求m m、n n的值的值. .(m(m的值为的值为-4-4，n n的值为的值为-12 .)-12 .)1 1.已知关于已知关于x的方程的方程2x2mx3=0的一个根的一个根是是 ,求它的另一根及求它的另一根及m的值？的值？21课堂练习课堂练习2021-11-7152.2.如果方程如果方程x x2 2+px+q=0+px+q=0的两根为

12、的两根为x x1 1、x x2 2 , , 这时韦达定理应是：这时韦达定理应是： x x1 1 + x+ x2 2= -p ,= -p , x x1 1 x x2 2 = q .= q .3 3.一元二次方程的根与系数的关系的一元二次方程的根与系数的关系的 灵活运用。灵活运用。这就是我们这就是我们今天主要学今天主要学习的内容习的内容. .你学会了吗你学会了吗? ?1. 1. 如果一元二次方程如果一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的两个根的两个根为为:x:x1 1、x x2 2, ,那么那么x x1 1+x+x2 2 = , x = , x1 1 x x2 2 = . = . 这个关系通常称为这个关系通常称为韦达定理韦达定理. .abac2021-11-7161. 教材教材 p36 习题习题18.4 第第1、2、3、4、5题题.2.推导一元二次方程根与系数的关系推导一元二次方程根与系数的关系.作业作业2021-11-7173.已知方程已知方程 3x219xm=0 的一个根是的一个根是1,求它求它的另一个根及的另一个根及 m的值的值.答案：另一个根是答案：另一个根是 ， m的值为的值为16316动动脑动动脑, ,还有其还有其他解法他解法吗吗2021-11-71