条件概率[青松教学]

1、 在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息信息( (条件条件) )下求事件的概率下求事件的概率.一、一、条件概率条件概率 如在事件如在事件 B 发生的条件下求事件发生的条件下求事件 A 发生的概率，发生的概率，这种概率问题就是这种概率问题就是1.3 条件概率条件概率1C类学堂( (1) ) 求取到的零件是正品的概率；求取到的零件是正品的概率； 设设 A = 取到的是正品取到的是正品 ，两台车床加工两台车床加工同一零件同一零件( (见表见表) ) B= 取到的是第一台车床加工的取到的是第一台车床加工的 ，从这从这 100 个零件中个零件中任取任取

2、1 个个，解解.85. 010085 容易看到容易看到 P( (A) ) P( (C) ) 正品数正品数 次品数次品数 总计总计第一台加工的零件第一台加工的零件第二台加工的零件第二台加工的零件总总 计计 35 5 40 50 10 60 85 15 100( (2) ) 若取到的零件是第一台车床加工，求它是正品的概率若取到的零件是第一台车床加工，求它是正品的概率. ( (1) ) P P( (A) )85100)|(BAP ( (2) ) 取到的取到的正品零件正品零件是由是由第一台车床加工第一台车床加工，3540.875. 04035)( CP C = 取到的是取到的是第一台车床加工第一台车床

3、加工的正品的正品 ，则则P( (A| |B) )在在B发生的条件下发生的条件下A发生的概率发生的概率在缩小的样本空间在缩小的样本空间里来考虑问题里来考虑问题包含的样本数包含的样本数缩减的样本空间缩减的样本空间包含的样本数包含的样本数发生条件下发生条件下在在BABBAP )|(4035)|( BAP1004010035 )()(BPABP 例例1P( (C) )?2C类学堂 为使为使 A 也发生也发生, 试验结果必须试验结果必须是既在是既在 B 中又在中又在 A 中的样本点中的样本点, B由于我们已知由于我们已知 B 已发生已发生, 故故 B 变成了新的样本空间变成了新的样本空间 . 设设A、B

4、是两个事件，是两个事件，)()()|(BPABPBAP A为在事件为在事件 B 发生的条件下发生的条件下, 事件事件 A 的的条件概率条件概率.定义定义且且 P( (B) ) 0, , 则称则称 AB若事件若事件 B 已发生已发生, 即此点必属于即此点必属于AB.满足概率的三条公理满足概率的三条公理1. 对任一事件对任一事件A，0P( (A| |B) )1; 2. P ( ( | |B) ) = 1 ；3.设设 A1 ,An , 互不相容，则互不相容，则 P( A1+An + )|)| B = P( (A1| |B)+ +P( (An| |B) ) + 自行自行验证验证是概率是概率用古典概型的

5、思想去理解：用古典概型的思想去理解：3C类学堂 例例2 一枚硬币抛掷两次，若已知第一次出现正面，求第二次出一枚硬币抛掷两次，若已知第一次出现正面，求第二次出现正面的概率：现正面的概率：设设A=第一次出现正面第一次出现正面，B=第二次出现正面第二次出现正面样本空间样本空间:解：解：反反,正正，正反，反正 正正，正反A21)|(ABp)|(ABpnknkAAB样本点总数样本点总数n: A发生包含的样本点个数；发生包含的样本点个数；事件包含的样本点数事件包含的样本点数k: 已知已知A发生条件下，发生条件下，B包含的样包含的样 本点个数；本点个数；A发生条件下，发生条件下，B发生的概率为发生的概率为1

6、/2，记为：，记为：4241)()(ApABp41)(,42)(ABpAp4C类学堂 每一个随机试验都是在一定条件下进行的，每一个随机试验都是在一定条件下进行的，P( (A) )是在该试验条件下事件是在该试验条件下事件A发生的可能性大小发生的可能性大小. 条件概率条件概率P( (A| |B) )是在原条件下又添加是在原条件下又添加“B发生发生”这个条件时这个条件时A发生的可能性大小发生的可能性大小.P(A |B)是是B发生的前提下，发生的前提下，A发生的可能性大小发生的可能性大小.条件概率条件概率 P( (A| |B) )与与 P( (A) )、 P( (AB) )的区别的区别 ？P(AB)是

7、是A 、B共同发生的可能性大小共同发生的可能性大小.先后、主从先后、主从5C类学堂2) ) 在减缩的样本空间中在减缩的样本空间中 ( (加入条件后改变了的情况加入条件后改变了的情况) )直接计直接计算算. 1) ) 在原样本空间中直接用定义计算在原样本空间中直接用定义计算:,)()()|(BPABPBAP P(B)0；条件概率的计算条件概率的计算6C类学堂由条件概率的定义由条件概率的定义即即 若若P( (B) )0, 则则 P( (AB) )= P( (B) )P( (A| |B) ) ( (1) )()()|(BPABPBAP 而而 P( (AB) )= P( (BA) )若已知若已知P(

8、(B) ), P( (A| |B) )时时, 可以反求可以反求P( (AB) ).对调对调A、B的位置，则有的位置，则有 故故 P( (B) )P( (A| |B) )=P( (A) )P( (B| |A) ) ( (1) )和和( (2) )式统称为式统称为乘法公式乘法公式 , 利用利用它可计算两个事件同时发生的概率它可计算两个事件同时发生的概率二、二、 乘法公式乘法公式即即 若若P( (A) )0, 则则 P( (BA) )= P( (A) )P( (B| |A) ) ( (2) ) 注意注意 P( (AB) )与与 P( (A| |B) )的区别！的区别！ A与与 B 同时发生时，同时发

9、生时， 用用P( (AB) )； 有先后或主从关系时，有先后或主从关系时， 用用P( (A| |B).). 7C类学堂 例例3 设有设有 100 件产品，其中有件产品，其中有 5 件次品，件次品，95件正品件正品. 按不放按不放回抽样从中回抽样从中 抽取两次，每次任取一件，求下列事件的概率：抽取两次，每次任取一件，求下列事件的概率： 1）第一次取到次品，第二次取到正品；）第一次取到次品，第二次取到正品；2）两次都取到正品）两次都取到正品解解 设设 A = 第第 一一 次取到的是次品次取到的是次品,B=B=第二次取到正品第二次取到正品 推广到多个事件的乘法公式推广到多个事件的乘法公式:当当 P(

10、 (A1A2An-1) ) 0 时，有时，有P( (A1A2An) )= P( (A1) )P( (A2|A1) )P( (A3|A1A2) ) P( (An| A1A2An-1) )1）所求概率为）所求概率为P(AB),因为因为048.099951005)()()(,9995)(,1005)(ABPAPABPABPAP由乘法公式得902.0999410095)()(,9994)(,10095)(,)2ABPAPBAPABPAPBAP）（所以由于）（所求概率为8C类学堂 随机抽随机抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进a个与所抽出的球个与所抽出的球具

11、有相同颜色的球，这种手续进行三次。具有相同颜色的球，这种手续进行三次。例例4 （PolyaPolya模型）模型） 一个罐中有个一个罐中有个r r个白球和个白球和s s个红球。个红球。 则所求概率为：则所求概率为： 解解 设设 Ai = 第第 i 次取到的是白球次取到的是白球, 试求第试求第 1、2 次取到白次取到白球且球且3次取到红球的概率次取到红球的概率.i =1, 2, 3 )(321BAAP)|()|()(213121AABPAAPAP 设设 Bi = 第第 i 次取到的是红球次取到的是红球,i =1, 2, 3 . srrasrarasrs29C类学堂 事件的独立性事件的独立性babA

12、P babBP,/,babABP)()/(BPABP从而有， 这表明，事件这表明，事件 A 是否发生对事件是否发生对事件 B 是否发生在概是否发生在概率上是没有影响，即事件率上是没有影响，即事件 A 与与 B 呈现出某种独立性呈现出某种独立性下页一、两事件的独立性一、两事件的独立性 引例引例. . 袋中有袋中有a只黑球，只黑球，b只白球每次从中取出只白球每次从中取出1 1球，取球，取后放回后放回. . 令令 A= = 第一次取出白球第一次取出白球 ，B= = 第二次取出白球第二次取出白球 ，则则10C类学堂 定义定义1 1 设设A、B二事件，如果满足等式二事件，如果满足等式 P(AB)=P(A

13、)P(B)则称则称A、B为相互独立的事件为相互独立的事件. 若若P(A)0, P(B)0, 则则A和和B独立的充分必要条件是独立的充分必要条件是P(B|A)=P(B)；P(A|B)=P(A) . 下页显然显然, 必然事件必然事件与不可能事件与不可能事件与任何事件与任何事件A都相互独立都相互独立.1. 1. 定义定义2. 2. 性质性质 如果如果A, B相互独立，则下列任一组都相互独立相互独立，则下列任一组都相互独立:, ;, ;, .A BA BA B说明：在实际应用中，人们常常根据事件的实际意义去判断事件的独立性 11C类学堂二、多个事件的独立性二、多个事件的独立性3 3个事件相互独立的定义

14、个事件相互独立的定义定义定义2 三个事件三个事件A,B,C，如果满足下面四个等式，如果满足下面四个等式)()()()()()()()()()()()(CPBPAPABCPCPBPBCPCPAPACPBPAPABP则称三事件则称三事件A,B,C相互独立相互独立. 如果如果A,B,C仅满足上式中的前三个等式，则称三事件仅满足上式中的前三个等式，则称三事件A,B,C两两相互独立两两相互独立.注意：注意：事件两两独立，不一定相互独立；事件相互独立，则两两独立事件两两独立，不一定相互独立；事件相互独立，则两两独立下页12C类学堂n 个事件相互独立的定义个事件相互独立的定义 定义定义3 3 n 个事件个事

15、件A1，A2，An，如果对于其中的任意，如果对于其中的任意k(2kn)个事件个事件Ai1 , Ai2 , , Aik (1i1i2ikn)，都有，都有)()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP 则称则称A1，A2，An是相互独立的事件是相互独立的事件. 若若n个事件个事件 A1，A2，An 相互独立，则其部分事件组相互独立，则其部分事件组也相互独立也相互独立. 若若n个事件个事件A1，A2，An相互独立，则将其中部分事件相互独立，则将其中部分事件换为对立事件所得的事件组也相互独立换为对立事件所得的事件组也相互独立.下页n 个事件相互独立的性质个事件相互独立的性质13C类学堂例

16、例 盒中装有四个大小相同的球，其中三个球上盒中装有四个大小相同的球，其中三个球上分别标有数字分别标有数字1,2,3，剩下的一个球上同时标有，剩下的一个球上同时标有1,2,3三个数字。从盒中任取一个球，令三个数字。从盒中任取一个球，令Ai=取出取出的球上标有数字的球上标有数字i(i=1,2,3),则则nP（A1）=P（A2）=P（A3）=2/4=1/2nP（A1A2）=P（A1A3）=P（A2A3）=1/4nP（A1A2）=P（A1）P（A2）,nP（A1A3）=P（A1）P（A3）,nP（A2A3）=P（A2）P（A3）n因此事件因此事件A1、A2、A3两两独立。但是两两独立。但是nP（A1A

17、2A3）=1/4P（A1）P（A2）P（A3）=1/8n故事件故事件A1、A2、A3不相互独立不相互独立14C类学堂 例例. . 已知甲、乙两批玉米种子的发芽率分别为已知甲、乙两批玉米种子的发芽率分别为0.90.9和和0.80.8，从这，从这两批种子中分别任取一粒做发芽试验，求：两粒都能发芽的概率；两批种子中分别任取一粒做发芽试验，求：两粒都能发芽的概率；至少有一粒种子发芽的概率；恰好有一粒种子发芽的概率至少有一粒种子发芽的概率；恰好有一粒种子发芽的概率. . 解：解：设两粒种子为甲和乙，设两粒种子为甲和乙，A=甲发芽甲发芽，B=乙发芽乙发芽，由题意，由题意知知,B相互独立相互独立. 所求概率

18、分别为：所求概率分别为：下页 P(AB)=P(A)P(B)=0.90.8=0.72. P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.9+0.80.72=0.98 .26. 02 . 09 . 08 . 01 . 0BAPBAPBABAP15C类学堂 例例设每门炮的命中率为设每门炮的命中率为0.6,0.6,今有一敌机入侵今有一敌机入侵, ,欲以欲以9999的把握击中敌机，问应设几门炮？的把握击中敌机，问应设几门炮？ 解：解：设配置设配置n门炮，门炮，Ai=第第i门炮击中敌机门炮击中敌机，i=1,2,n ，A=敌机被击中敌机被击中. 由题意知由题意知 A, A2, An 相互独立且相互独立且 A=

19、 AA2 An ，由于由于 P(A)= P(AA2 An).(121nAAAP121()()()1 0.4nnP AP AP A ,要使要使 P(A)0.99，只须，只须10.4n0.99即可即可,解得解得lg0.015.026,lg0.4n所以至少配置所以至少配置6门炮门炮.下页16C类学堂 解：解：设设A、B、C 分别表示甲、乙、丙机床需要照看三个分别表示甲、乙、丙机床需要照看三个事件，事件，()P ABC则则 P(A) = 0.9，P(B) = 0.8，P(C) = 0.85 .因因A、B、C相互独立，所求概率分别为相互独立，所求概率分别为 例例9.9.一工人照看三台机床，在一小时内甲乙丙三台机床需一工人照看三台机床，在一小时内甲乙丙三台机床需要照看的概率分别为要照看的概率分别为0.90.9、0.80.8和和0.850.85，各台机床是否需要照看，各台机床是否需要照看是独立的是独立的. . 求在一小时内：没有一台机床需要照看的概率；求在一小时内：没有一台机床需要照看的概率；至少有一台机床不需要照看的概率；至少有一台机床不需要照看的概率；()P A B C下页17C类学堂 习题习题、乙两人各自同时向一目标射击、乙两人各自同时向一目标射击. . 已知甲击中目标的已知甲击中目标的概率为概率为0.60.6，乙击中目标的概率为，乙击中目标的概率为0.5. 0.5. 求