九年级数学竞赛试题及答案

1、九年数学竞赛试题一、选择题 ( 每小题 7 分，共 42 分 )1. 在直角坐标系中，若一点的纵、横坐标都是整数，则称该点为整点. 设 k为整数，当直线y=x-2 与 y=kx+k 的交点为整点时， k 的值可以取 ()(A)4个(B)5个(C)6个(D)7个2. 如图， AB是 O 的直径， C为 AB上的一个动点 (C 点不与A、B 重合 ) ，CDAB ，AD、CD分别交 O 于 E、F，则与 AB·AC相等的一定是 ( )(A)AE·AD(B)AE·ED(C)CF·CD(D) CF·FD3. 在 ABC与 ABC中，已知 ABAB， B

2、CBC， CACA.下列结论：(1) ABC的边 AB上的高小于 ABC的边 AB上的高；(2) ABC的面积小于 ABC的面积；(3) ABC的外接圆半径小于 ABC的外接圆半径；(4) ABC的内切圆半径小于 ABC的内切圆半径 .其中，正确结论的个数为()(A)0(B)1(C)2(D) 44. 设，那么S 与2 的大小关系是()(A)S=2(B)S 2(C)S 2(D)S与 2 之间的大小与x 的取值有关5. 折叠圆心为 O、半径为 10cm的圆纸片，使圆周上的某一点 A 与圆心 O重合 . 对圆周上的每一点，都这样折叠纸片，从而都有一条折痕 . 那么，所有折痕所在直线上点的全体为 (

3、)(A) 以O为圆心、半径为10cm的圆周(B) 以O为圆心、半径为5cm的圆周(C) 以O为圆心、半径为5cm的圆内部分(D) 以 O为圆心，半径为5cm的圆周及圆外部分6. 已知x，y，z 都是实数，且x2+y2 +z2=1，则m=xy+yz+zx()(A) 只有最大值(B) 只有最小值(C) 既有最大值又有最小值(D) 既无最大值又无最小值二、填空题 ( 每小题 7 分，共 56 分)7. 如图是一个树形图的生长过程， 依据图中所示的生长规律， 第 15 行的实心圆点的个数等于 _.8. 如图 3，在 ABC中， AD是 BC边上的中线， M是 AD的中点， CM的延长线交 AB于 N，

4、则 AN:AB的值为 _.9. 如图，取一张长方形纸片，它的长 AB=10cm，宽 BC=5 cm，然后以虚线CE(E点在 AD上) 为折痕，使 D点落在 AB边上 . 则 AE=_cm，DCE=°.10. 如图4，BC是O的直径，AC切O于点C，AB交O于点D，若AD:DB=2:3，AC=10，sinB的值为 _11. 直角三角形ABC中， A=90°， AB=5cm，AC=4cm，则A的平分线AD的长为_cm.12. 如图，C 通过原点，并与坐标轴分别交于 A，D 两点 . 已知 OBA=30°，点D 的坐标为 (0,2) ，则点 A， C 的坐标分别为 A(

5、,)；C(,).13. 若关于x 的方程 rx 2-(2r+7)x+(r+7)=0的根是正整数，则整数r的值可以是 _.14. 将 2,3,4,5, ,n(n 为大于 4 的整数 ) 分成两组，使得每组中任意两数之和都不是完全平方数 . 那么，整数 n 可以取得的最大值是 _.三、解答题 ( 每题 13 分，共 52 分)15. 九年 (1) 班尚剩班费 m(m为小于 400 的整数 ) 元，拟为每位同学买 1 本相册 . 某批发兼零售文具店规定：购相册 50 本起可按批发价出售，少于 50 本则按零售价出售， 批发价比零售价每本便宜 2 元，班长若为每位同学买 1 本，刚好用完 m元；但若多

6、买 12 本给任课教师， 可按批发价结算， 也恰好只要 m元. 问该班有多少名同学？每本相册的零售价是多少元？16. 已知关于 x 的方程 x2 +4x+3k-1=0 的两个实根的平方和不小于这两个根的积；反比例函数的图像的两个分支在各自的象限内，点的纵坐标 y 随点的横坐标 x 的增大而减小 . 求满足上述条件的k 的整数值 .17. 某中学预计用 1500 元购买甲商品 x 个，乙商品 y 个，不料甲商品每个涨价 1.5 元，乙商品每个涨价 1 元，尽管购买甲商品的个数比预定减少 10 个，总金额多用 29 元. 又若甲商品每个只涨价 1 元，并且购买甲商品的数量只比预定数少 5 个，那么

7、买甲、乙两商品支付的总金额是1563.5 元.(1) 求 x、y 的关系式；(2) 若预计购买甲商品的个数的 2 倍与预计购买乙商品的个数的和大于 205，但小于 210，求 x，y 的值 .18. 如图，在 ABC中，BC=6，AC=4 ， C=45°， P 为 BC上的动点，过 P作 PDAB交 AC于点 D，连结 AP， ABP、 APD、 CDP的面积分别记为 S1 ，S2，S3，设 BP=x.(1)试用x 的代数式分别表示S1，S2，S3；(2) 当 P 点位于 BC 上某处使得 APD的面积最大时，你能得出间或 S1、 S2、S3 两两之间的哪些数量关系 ( 要求写出不少

8、于 3 条) ？S1、S2、S3 之九年数学竞赛试题答案一、选择题1.A2.A3.A4.D5.D6.C二、填空题7.3778.1:39.， 30 10.11.12.(,0) ， (,1)13.0， 1 或 714.2815.设该班共有 x名同学，相册零售价每本y 元 .由题设，得xy=(x+12)(y-2)，且整数 x 满足38 x 50.由得 12y-2x-24=0 ，y= +2， xy=+2x.由及 xy=m 为整数，知整数 x 必为 6 的倍数，再由，x 只可能为42 或 48.此时相应的y 为 9 或 10.但 m 400， x=42， y=9.答： (略 ).16.由题意，方程2x

9、+4x+3k-1=0有实数根，故 =42-4(3k- 1) 0，解之，得 k.设 x1， x2 为的根，由根与系数关系知x1+x 2=-4 ， x1·x2=3k-1 ，因x1 2，故(x1+x 2 )2-3x 1x20，即 (-4)2 -3(3k- 1) 0， k .又由当 x 0 或 x 0 时，分别随x 值增大而减小，知1+5k 0，即 k-.综合，得- k.满足题中条件的k 可取整数值为0, 1.17.(1) 设预计购买甲、乙商品的单价分别为a 元和 b 元，则原计划是：ax+by=1500 ，由甲商品单价上涨1.5 元，乙商品单价上涨1 元，并且甲商品减少10 个情形，得：(

10、a+1.5)(x-10)+(b+1)y=1529.再由甲商品单价上涨1 元，而数量比预计数少5 个，乙商品单价上涨仍是1 元的情形得：(a+1)(x-5)+(b+1)y=1563.5.由，得： - ×2 并化简，得 x+2y=186.(2) 依题意有：205 2x+y 210 及 x+2y=186.得 54 y.由于 y 是整数，得y=55 ，从而得x=76.答：略 .18.(1) 由题意知：BP=x ， 0 x 6，且有，故 AD=·BP=x=x.过P作PMAC交AC于M点，过 A作ANBC交BC于N点，则PM=PC· sinC=(BC-PB)sin45 °=(6-x) ，S2=SAPD = AD·PM=· x· (6-x)=2x- x2 ；又 AN=AC· sinC=4·sin45 °=4，故 S1=SABP =BP·AN=2x ；S3=SCDP=CD·PM= (AC-AD)·PM=(