九年级数学下例说用二次函数求图形面积的最值知识点分析人教版

1、例说用二次函数求图形面积的最值二次函数常用来解决最优化问题这类问题。而图形面积最优化问题已经走进各省市的中考试卷。下面分类予以说明。一、围成图形面积的最值1、 只围二边的矩形的面积最值问题例1、 如图 1，用长为 18 米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。（1）设矩形的一边长为 x（米），面积为 y（平方米），求 y 关于 x 的函数关系式；（ 2） 当 x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？分析：关键是用含 x 的代数式表示出矩形的长与宽。解：（ 1）设矩形的长为 x（米），则宽为（ 18- x ）（米），根据题意，得：yx(18x)x 218x；又x0,01818x0x

2、（2） yx(18x)x 218x 中， a= -1 0， y 有最大值，即当 xb189 时， ymax4ac b 201822a4a4812 (1)( 1)故当 x=9 米时，苗圃的面积最大，最大面积为81 平方米。点评：在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。2、 只围三边的矩形的面积最值例2、 如图 2，用长为 50 米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？分析： 关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系式解：设养鸡场的长为x（米），面积为y（平方米），则宽为（50x）2（米），根据题意，得：yx( 50x )1 x225x；22x0

3、0x50又50 x,2 0 yx( 50x )1 x225 x 中， a=10， y 有最大值，222b254ac b2025 2625即当 x125 时， ymax122a24a4( )()22故当 x=25 米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为625 平方米。2点评：如果设养鸡场的宽为x，上述函数关系式如何变化？请读者自己完成。3、 围成正方形的面积最值例 3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段， 并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形2(1) 要使这两个正方形的面积之和等于 17cm，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少 ?(2) 两个正方形的面积之和可能等于 12cm2 吗 ?

4、若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由（1）解：设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20-x ） cm由题意得：( x ) 2( 20x ) 21744解得：x116, x24当 x1 16时， 20-x=4 ；当 x24时， 20-x=16答： 这段铁丝剪成两段后的长度分别是16 厘米、 4 厘米。（2）不能理由是：设第一个正方形的边长为xcm，则第二个正方形的边长为204x(5x) cm，围4ycm2，成两个正方形的面积为根据题意，得：yx 2(5x)22x 210x 25 ， yx 2(5x)22x 210x25 中， a= 2 0， y 有最小值，即当 xb105时， ym

5、in4ac b24225102252a2224a42=12.5212, 故两个正方形面积的和不可能是12cm2.4、 围成扇形的面积最值例 4用长为 30米的铁丝围成一个扇形, 问如何围扇形的面积最大?解:如图 3，设围成扇形的半径为R 米 , 则围成扇形的弧长为(30-2R)米 ,扇形的面积为 y（平方米） ,根据题意，得：y1 lR1 (302R)RR 215R22 y1 lR1 (302R)RR 215R 中，22a= -1 0， y 有最大值，b15154ac b20152225即当 R( 1)时， ymax4a4( 1)42a22故当围成的扇形的半径R 是 15 米时，扇形的面积最大

6、，最大面积为225 平方米。24二、截出图形面积的最值问题例 5如图 4, ABC是一块锐角三角形的余料, 边 BC=120mm,高 AD=80mm,要把它加工成长方形零件 PQMN ,使长方形 PQMN的边 QM在 BC上 , 其余两点 P、 N 在 AB、 AC上。（ 1） 问如何截才能使长方形 PQMN的面积 S 最大？（ 2） 在这个长方形零件 PQMN面积最大时， 能否将余下的材料 APN、 BPQ NMC剪下再拼成（不计接缝用料和损耗）一个与长方形零件PQMN大小一样的长方形？若能，给出一种拼法；若不能，试说明理由。分析：解题的关键是利用几何知识求得函数关系式，再利用函数的性质加以

7、解决问题。解：（ 1）设长方形零件PQMN的边 PN=a mm， PQ=x mm，则 AE=AD-ED=AD-PQ=（80- x ）mm，PN BC APN ABC， PNAE （相似三角形的对应高的比等于相似比）BCAD a80 x , 解得： a1203 x ，x0， 0 x80120x280 x 0S= axx3 x3 x 2120x（ 0 x80）（120）22S= axx3 x3 x 2120x（ 0 x80）中， a=3（120）20， S 有最大值，22b12040 时， smax4ac b 201202即当 x34a24002a432 ()()22故当截得的长方形零件PQMN的

8、长为60 mm，宽为 40 mm 时，长方形零件PQMN的面积最大，最大面积为22400mm。点评：长方形零件PQMN的面积最大时，PN恰好是三角形的中位线。（ 2）能。理由是：1s ABC120804800，长方形零件的最大面2余料的面积也是2400，所以从理论上说，还大小一样的长方形。拼法：1、 作 ABC的中位线PN，2、 分别过 P、 N 两点作 BC的垂线，垂足分别为Q、 M，3、 过 A 作 BC的平行线，分别交 QP、MN的延长线于 G、H两点因此，四边形 PNGH即为和长方形 PQMN大小一样的长方形。例 6 如图 6，在直角梯形 ABCD中， A= D=90°，截取

9、 AE=BF=DG =x，已知 AB=6， CD=3，AD=4。求：（ 1）四边形CGEF的面积 S 与 x 之间的函数关系式；（ 2）四边形 CGEF的面积 S是否存在着最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由。解：（ 1）梯形 ABCD的面积为 = 1(36)4 =18，1121S AEF=AE× AF=x（ 6-x ） =3x-x2；222S DGE=1DE× DG=1 x（ 4-x ） =2x-1 x2；222S BCF=1BF× DA=1 x× 4=2x；22所以， S=18- （ 3x-1 x2 ）- （ 2x-1 x2） -2x22

10、=x2-7x+18 ；因为： GC0、 DE 0、 AF 0，所以 6-x 0、 3-x 0、 4-x 0、 x0所以 0 x 3 因此自变量 x 的取值范围是：0x 3。（2）因为 S =x 2-7x+18= （ x- 7 ） 2+ 23 ，故当 x= 7 时，面积有最小值，而自变量x 的取值242范围是： 0 x 3，所以 x= 7 根本不在这个范围内，因此面积不存在最小值。2三、采光面积的最值例 7 用 19 米长的铝合金条制成如图所示的矩形的窗框。（ 1） 求窗框的透光面积 S（平方米）与窗框的宽 x（米）之间的函数关系式；（ 2） 求自变量 x 的取值范围；（ 3） 问如何设计才能使

11、窗框透过的面积最大？最大的透光面积是多少？分析：关键是用含x 的代数式表示出BC的长。解： (1)由图示的信息，可得：3BC+2× 0.5+3 x=19,所以 , BC=6 x, 所以 AC=AB+BC=(6 x+0.5) 米 ,所以 , S=(6 x+0.5) x= -x2+ 13 x;2(2) 由题意 , 得 :x 0,6-x 0, 所以 0 x 6, 因此自变量 x 的取值范围是： 0x 6, （3） S=(6 x+0.5) x= -x 2 +13 x 中， a= -1 0， S 有最大值，213132即当 xb2134ac b20(2)1692a2 (1)时， Smax4a4

12、(1)164故当 x= 13 米时，窗框的面积最大，最大面积为169 平方米。416四、动态图形面积的最值例 8 如图 8，如图9，在平行四边形ABCD中， AD=4 cm， A=60°， BD AD. 一动点 P从A出发，以每秒1 cm 的速度沿 的路线匀速运动，过点PA BC作直线 PM，使 PM AD.(1) 当点 P运动 2 秒时，设直线 PM与 AD相交于点 E，求 APE的面积；(2) 当点 P 运动 2 秒时，另一动点 Q也从 A出发沿 A B C的路线运动，且在AB上以每秒 1 cm的速度匀速运动，在2 cm 的速度匀速运动.过 Q作直线 QN，使 QN PM.时间为

13、 t 秒 (0 t 10) ，直线 PM与 QN截平行四边形BC上以每秒设点 Q运动的ABCD所得图形的面积为2S cm . 求S 关于t的函数关系式；求 S的最大值 .解： (1)当点 P 运动 2 秒时， AP=2 cm ，由 A=60°，知 AE=1， PE= 3 . S APE=3 .2(2) 当 0t 6 时，点 P 与点 Q都在 AB上运动，设 PM与 AD交于点 G，QN与 AD交于点 F，则 AQ=t ， AF= t ， QF= 3 t ， AP=t +2， AG=1+ t， PG=33 t .2222 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为 S=3t3 .PQAB22当 68 时，点在上运动，点仍在上运动 .设与交于点，与tBCPMDCGQNAD交于点 F，则 AQ=t ， AF= t， DF=4- t ， QF=3 t ， BP=t-6，CP=10-t， PG=(10t) 3 ，222而 BD=43 ，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为 S=583 t 210 3t343 .当 8t 10 时，点 P和点 Q都在 BC上运动 .设 PM与 DC交于点 G，QN与 DC交于点 F，则 CQ=20-2 t ， QF=(20-2 t )3，CP=10-