中考数学专题：一次函数中的存在性综合问题(解析版)

1、专题06 一次函数中的存在性综合问题 1、如图直线ykx+k交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且AB2（1）求k的值；（2）点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB运动，过点P作直线AB的垂线交x轴于点Q，连接OP，设PQO的面积为S，点P运动时间为t，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当P在AB的延长线上，若OQ+AB（BQOP），求此时直线PQ的解析式解：（1）对于直线ykx+k，令y0，可得x1，A（1，0），OA1，AB2，OB，k（2）如图，tanBAO，BAO60°，PQAB，APQ90°，AQP30°，A

2、Q2AP2t，当0t时，SOQPy（12t）tt2+t当t时，SOQPy（2t1）tt2t（3）OQ+AB（BQOP），2t1+2（），2t+1，4t2+4t+17t27t+7，3t211t+60，解得t3或（舍弃），P（，），Q（5，0），设直线PQ的解析式为ykx+b，则有，解得，直线PQ的解析式为yx+2、在平面直角坐标系xOy中，对于图形G和图形M，它们关于原点O的“中位形”定义如下，图形G上的任意一点P，图形M上的任意一点Q，作OPQ平行于PQ的中位线，由所有这样的中位线构成的图形，叫图形G和图形M关于原点O的“中位形”已知直线yx+b分别与x轴，y轴交于A、B，图形S是中心为坐标原

3、点，且边长为2的正方形（1）如图1，当b2时，点A和点B关于原点O的“中位形”的长度是 （请直接写出答案）；（2）如图2，若点A和点B关于原点O的“中位形”与图形S有公共点，求b的取值范围；（3）如图3，当b6时，图形S沿直线yx平移得到图形T，若图形T和线段AB关于原点O的“中位形”与原来的的图形S没有公共点，请直接写出图形T的中心的横坐标t的取值范围解：（1）如图1中，由题意b2时，直线yx+2，A（4，0），B（0，2），点A和点B关于原点O的“中位形”是AOB的中位线EF，EFAB×故答案为（2）如图2中，当AOB的中位线EF经过点（1，1）时，直线EF 的解析式为yx+，E

4、（0，），OEEB，B（0，3），当AOB的中位线EF经过点（1，1）时，直线EF 的解析式为yx，E（0，），OEEB，B（0，3），观察图象可知满足条件的b的值为3b1或1b3（3）如图3中，设平移后的正方形T的中心的坐标为（t，t），则C（t1，t+1），OC的中点E（，），OB的中点F（0，3），直线EF的解析式为yx3，当直线经过（1，1）时，13，解得t9，观察图形可知，t9时，图形T和线段AB关于原点O的“中位形”与原来的的图形S没有公共点，如图4中，设平移后的正方形T的中心的坐标为（t，t），则C（t1，t+1），OC的中点E（，），O的中点F（6，0），此时直线EF的解析式为

5、yx，当直线经过（1，1）时，1，解得t观察图形可知，t时，图形T和线段AB关于原点O的“中位形”与原来的的图形S没有公共点，综上所述，满足条件的t的值为t9或t3、如图，直线yx+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB的上的一点，若将ABM沿M折叠，点B恰好落在x轴上的点B处（1）求A、B两点的坐标；（2）求直线AM的表达式；（3）在x轴上是否存在点P，使得以点P、M、B为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）当x0时，y8，B（0，8），当y0时，x+80，x6，A（6，0）；（2）在RtAOB中，AOB90°，OA6，OB

6、8，AB10，由折叠得：ABAB'10，OB'1064，设OMa，则BMB'M8a，由勾股定理得：a2+42（8a）2，a3，M（0，3），设AM：ykx+b，则，解得：，直线AM的解析式为：yx+3；（3）在x轴上存在点P，使得以点P、M、B为顶点的三角形是等腰二角形，如图M（0，3），B（4，0），BM5，当PBBM时，P1（9，0），P2（1，0）；当BMPM时，P3（4，0），当PBPM时，作BM的垂直平分线，交x轴于P4，交BM与Q，易证得P4BQMBO，则，即，P4B，OP44，P4（，0），综上，P点的坐标为（9，0）或（1，0）或（4，0）或（，0）4、

7、如图，一次函数y1x+b的图象与x轴y轴分别交于点A，点B，函数y1x+b，与y2x的图象交于第二象限的点C，且点C横坐标为3（1）求b的值；（2）当0y1y2时，直接写出x的取值范围；（3）在直线y2x上有一动点P，过点P作x轴的平行线交直线y1x+b于点Q，当PQOC时，求点P的坐标解：（1）将x3代入y2x，可得C（3，4），再将C点代入y1x+b，b7；（2）7x3；（3）点P为直线y2x上一动点，设P（a，a），PQx轴，Q（a7，a），PQ|a+7|，C（3，4），OC5，PQOC14，|a+7|14，a3或a9，P（3，4）或P（9，12）5、如图，在平面直角坐标系中，直线yx+

8、b与x、y轴分别相交于点A、B，与直线yx+2交于点D（3，m），直线yx+2交x轴于点C，交y轴于点E（1）若点P是y轴上一动点，连接PC、PD，求当|PCPD|取最大值时，P点的坐标（2）在（1）问的条件下，将COE沿x轴平移，在平移的过程中，直线CE交直线AB于点M，则当PMA是等腰三角形时，求BM的长解：（1）当x3时，m3+25，D（3，5），把D（3，5）代入yx+b中，3+b5，b8，yx+8，当y0时，x+20，x2，C（2，0），如图1，取C关于y轴的对称点C'（2，0），P1是y轴上一点，连接P1C、P1C'、P1D，则P1CP1C'，|P1DP1C

9、'|P1DP1C|C'D，当P与C'、D共线时，|PCPD|有最大值是C'D，设直线C'D的解析式为：ykx+b，把C'（2，0）和D（3，5）代入得：，解得：，直线C'D的解析式为：y5x10，P（0，10）；（2）分三种情况：当APAM时，如图2，由（1）知：OP10，由勾股定理得：AP2，AB8，BMAB+AM8+2；同理得：BM128；当APPM时，如图3，过P作PNAB于N，BNP90°，NBP45°，BNP是等腰直角三角形，PB18，BN9，AB8，AN98，APPM，PNAM，AM2AN2，BM8+210

10、；当AMPM时，如图4，过P作PNAB于N，AN，PN9，设MNx，则PMANx+，由勾股定理得：PN2+MN2PM2，解得：x40，BMAB+AN+MN8+4049；综上，当PMA是等腰三角形时，BM的长是8+2或28或10或496、如图，已知一次函数y3x+3与y轴交于A，与x轴交于点B，直线AC与正半轴交于点C，且ACBC（1）求直线AC的解析式（2）点D为线段AC上一点，点E为线段CD的中点，过点E作x轴的平行线交直线AB于点F，连接DF并延长交x轴于点G，求证；ADBG（3）在（2）的条件下，若AFD2BAO，求点D坐标解：（1）当x0时，y3，A（0，3）令y0得：3x+30，解得

11、：x1，B（1，0）设OCx，则ACBCx+1在RtAOC中，由勾股定理可知：OA2+OC2AC2，即32+x2（x+1）2，解得：x4，C（4，0）设直线AC的解析式为ykx+b，则 ，解得：，直线AC的解析式为yx+3（2）如图1所示：过点D作DHx轴，则HDFBGFHDEFCG，E为CD的中点，F为DG的中点FGDF在BGF和HDF中，BGFHDF（ASA）HDBGACBC，CABABCHDCG，AHDABC，HADAHDADDH，ADBG（3）如图2所示：连接AG，过点C作CHAB，垂足为H，过D作DMx轴于M，在RtABO中，依据勾股定理可知AB，CBCA，CHAB，AHAB，BCA

12、2ACHRtBCH中，依据勾股定理可知CH，BAO+ABOABO+BCH，BAOBCHACH，BCA2BAO又AFD2BAO，AFDBCA又FADBAC，FADCAB，AFDF又GFFD，GAD为直角三角形OGOCOA2，OGG（，0）ADBGRtAOC中，OA3，OC4，AC5，DMOA，即，OM1，当x1时，yx+3+3，D（1，）7、已知，如图，在第一象限中，点A的坐标是（3，6），射线OM的解析式为yx，作线段ACx轴于点C，点B在射线OM上，且OB的长度为3（1）求AOB的面积；（2）试判断AOB的形状，并说明理由；（3）直线AB交坐标轴于E、F两点，若点P在线段EF上，点Q在线段O

13、F上，且FPQ与AOC全等，求点Q的坐标解：（1）如图1，过B作BGx轴于点G，点B在射线OM上，可设B（x，x），OB3，由勾股定理得：，解得：x±9，B（9，3），A（3，6），SAOBSAOC+S梯形ACGBSBOG，22.5；（2）OAB为直角三角形，理由如下：A（3，6），B（9，3），O（0，0），OA232+6245，AB2（93）2+（36）245，OB292+3290，OA2+AB2OB2，OAB为直角三角形；（3）设直线AB解析式为ykx+b，A（3，6），B（9，3），解得：，直线AB解析式为yx+，令y0可求得x15，F（15，0），由（2）可知OAB90&#

14、176;，OAC+CAFCAF+AFC90°，OACPFQ，当PQF90°时，如图2，则有PQFOCA，PQOC3，即P点纵坐标为3，在yx+中，令y3可求得x9，P（9，3），Q（9，0），此时P与B重合；当QPF90°时，如图3，则有PQFCOA，FQOA3，OQ153，Q（153，0）；综上可知Q点坐标为（9，0）或（153，0）8、如图1，直线yx+b分别与x轴，y轴交于A（6，0），B两点，过点B的另一直线交x轴的负半轴于点C，且OB：OC3：1（1）求直线BC的解析式；（2）直线yaxa（a0）交AB于点E，交BC于点F，交x轴于点D，是否存在这样的直

15、线EF，使SBDESBDF？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点P为A点右侧x轴上一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形BPQ，连接QA并延长交y轴于点K当P点运动时，K点的位置是否发生变化？若不变，求出它的坐标；如果会发生变化，请说明理由解：（1）直线yx+b分别与x轴交于A（6，0），b6，直线AB的解析式是：yx+6，B（0，6），OB6，OB：OC3：1，OC2，C（2，0）设BC的解析式是ykx+b，解得，直线BC的解析式是：y3x+6；（2）存在理由如下：如图1中，SBDFSBDE，只需DFDE，即D为EF中点，点E为直线AB与EF的交点

16、，点E（，）点F为直线BC与EF的交点，点F（，）D为EF中点，+，a0舍去，a（3）K点的位置不发生变化理由如下：如图2中，过点Q作CQx轴，设PAm，POBPCQBPQ90°，OPB+QPC90°，QPC+PQC90°，OPBPQC，PBPQ，BOPPCQ（AAS），BOPC6，OPCQ6+m，ACQC6+m，QACOAK45°，OAOK6，K（0，6）9、如图，在平面直角坐标系中，直线y2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于点C，且ABBC（1）求直线BC的解析式；（2）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC延长线上一点，且AP

17、CQ，PQ交x轴于N，设点Q横坐标为m，PBQ的面积为S，求S与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点M在y轴负半轴上，且MPMQ，若BQM45°，求直线PQ的解析式解：（1）直线y2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，点B（0，8），点A（4，0）AO4，BO8，ABBC，BOAC，AOCO4，点C（4，0），设直线BC解析式为：ykx+b，由题意可得：解得：直线BC解析式为：y2x+8；（2）如图1，过点P作PGAC，PEBC交AC于E，过点Q作HQAC，ABCB，BACBCA，点Q横坐标为m，点Q（m，2m+8）HQ2m8，CHm4，APC

18、Q，BACBCAQCH，AGPQHC90°，AGPCHQ（AAS），AGHCm4，PGHQ2m8，PEBC，PEAACB，EPFCQF，PEAPAE，APPE，且APCQ，PECQ，且EPFCQF，PFECFQ，PEFQCF（AAS）SPEFSQCF，PBQ的面积四边形BCFP的面积+CFQ的面积四边形BCFP的面积+PEF的面积四边形PECB的面积，SSABCSPAE×8×8×（2m8）×（2m8）16m2m2；（3）如图2，连接AM，CM，过点P作PEAC，ABBC，BOAC，BO是AC的垂直平分线，AMCM，且APCQ，PMMQ，APMC

19、QM（SSS）PAMMCQ，BQMAPM45°，AMCM，ABBC，BMBM，ABMCBM（SSS）BAMBCM，BCMMCQ，且BCM+MCQ180°，BCMMCQPAM90°，且APM45°，APMAMP45°，APAM，PAO+MAO90°，MAO+AMO90°，PAOAMO，且PEAAOM90°，AMAP，APEMAO（AAS）AEOM，PEAO4，2m84，m6，Q（6，4），P（2，4）设直线PQ的解析式为：yax+c，解得：直线PQ的解析式为：yx+210、已知：在平面直角坐标系中，直线yx+4与x轴

20、交于点A，与y轴交于点B，点C是x轴正半轴上一点，ABAC，连接BC（1）如图1，求直线BC解析式；（2）如图2，点P、Q分别是线段AB、BC上的点，且APBQ，连接PQ若点Q的横坐标为t，BPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量取值范围；（3）如图3，在（2）的条件下，点E是线段OA上一点，连接BE，将ABE沿BE翻折，使翻折后的点A落在y轴上的点H处，点F在y轴上点H上方EHFH，连接EF并延长交BC于点G，若BGAP，连接PE，连接PG交BE于点T，求BT长解：（1）由已知可得A（3，0），B（0，4），OA3，OB4，AB5，ABAC，AC5，C（2，0），设BC的直线解

21、析式为ykx+b，将点B与点C代入，得，BC的直线解析式为y2x+4；（2）过点Q作MQy轴，与y轴交于点M，过点Q作QEAB，过点C作CFAB，Q点横坐标是 t，MQt，MQOC，BQt，APBQ，APt，AB5，PB5t，在等腰三角形ABC中，ACAB5，BC2，AB×CFAC×OB，CFOB4，EQCFEQ2t，S×（5t）（0t2）；（3）如图3，将ABE沿BE翻折，使翻折后的点A落在y轴上的点H处，AHAB5，AEEH，OHBHOB1，EH2EO2+OH2，AE2（4AE）2+1，AEEH，OE，点E（，0）EHFH，OF点F（0，）直线EF解析式为yx

22、+，直线BE的解析式为：y3x+4，2x+4x+，x，点G（，）BG，BGAP，AP1，设点P（a，a+4）1a，点P（，），直线PG的解析式为：yx+，3x+4x+，x1，点T（1，1）BT11、如图，已知一次函数yx+7与正比例函数yx的图象交于点A，且与x轴交于点B（1）求AOB的面积：（2）在y轴上找一点C，使AC+BC最小，求最小值及C点坐标（3）点P从O出发向B点以1个单位每秒的速度运动，点Q从B点出发向A点以同样的速度运动，两个点同时停止，当BPQ为等腰三角形时，求Q点坐标解：（1）一次函数yx+7与正比例函数yx的图象交于点A，且与x轴交于点B点B（7，0），x+7xx3，点A

23、（3，4）SAOB×7×414；（2）如图1，作点B关于y轴的对称点H（7，0），连接AH，交y轴于点C，此时AC+BC最小值为AH，点A（3，4），点H（7，0），AH2，AC+BC最小值为2，设直线AH解析式为：ykx+b，且过点A（3，4），点H（7，0），解得：直线AH解析式为：yx+；（3）如图2，过点Q作QEOB，以同样的速度运动，BQOP，一次函数yx+7与y轴交于点D，点D（0，7），ODOB7，且DOB90°，DBO45°，且QEOB，QBEEQB45°，QEBE，QBQEEB，若PBQB，且OPBQ，OPPBBQ，BEEQ，OE7，点Q（7，），若QPQB，且QEOB，PEBE，OB7OP+PE+BE，7BE+2BE，BEQE，OE点Q（，），如图3，若BPPQ，过点P作PFBQ，BFFQBQ，ABO45°，PFAB，FPBABO45°，PFBF，PBBF，7BQBQ，BEQE，点Q坐标为（7，）12、一边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中，其中O为原点，点A、B分别在x轴、y