中考数学专题：反比例函数中的等腰三角形问题(解析版)

1、专题15 反比例函数中的等腰三角形问题1、如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k0)与反比例函数y=(m0)的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作ADx轴于D，AD=4，sinAOD=，且点B的坐标为(n,-2)（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）E是y轴上一点，且AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标（1）；（2）当点E(0,8)或(0,5)或(0,-5)或(0,)时，AOE是等腰三角形2、已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B(5,0)，若OB=AB，且SOAB=.（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）若点P

2、为x轴上一点，且ABP是等腰三角形，求点P的坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）如图，过点A作ADx轴于点D，B(5,0)，OB=AB，且SOAB= ，,即AD=3，在RtABD中，由勾股定理得：BD=,A点坐标为（9,3），反比例函数的图象过点A，m=27，将（9,3），（5,0）代入y=kx+b得：，解得：即一次函数解析式为：，反比例函数解析式为：；（2）由题意知，AB=5，当AB=BP时，BP=5，即P点坐标为（0,0）或（10,0），当AB=AP时，由AD=3知，BP=4，即点P与点B关于点D对称，即P点坐标为（13,0），当AP=BP时，即P在线段AB的垂直平分线上，设P(m，0

3、)，则AP2=（9m）2+9，BP2=（5m）2，（9m）2+9 =（5m）2解得：m=，即P点坐标为（，0），综上所述，满足题意的P点坐标为：（0,0），（10,0），（13,0），（，0）.3、如图1，在平面直角坐标系xOy中，函数y（m为常数，m1，x0）的图象经过点P（m，1）和Q（1，m），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点（1）求OCD的度数；（2）如图2，连接OQ、OP，当DOQOCDPOC时，求此时m的值；（3）如图3，点A，点B分别在x轴和y轴正半轴上的动点再以OA、OB为邻边作矩形OAMB若点M恰好在函数y（m为常数，m1，x0）的图象上，且四边形BAPQ为平行四边形，

4、求此时OA、OB的长度解：（1）设直线PQ的解析式为ykx+b，则有，解得，yx+m+1，令x0，得到ym+1，D（0，m+1），令y0，得到xm+1，C（m+1，0），OCOD，COD90°，OCD45°（2）如图2，过Q作QMy轴于M，过P作PNOC于N，过O作OHCD于H，P（m，1）和Q（1，m），MQPN1，OMONm，OMQONP90°，OMQONP（SAS），OQOP，DOQPOC，DOQOCDPOC，OCD45°，DOQPOCQOHPOH22.5°，MQQHPHPN1，OCDODC45°，DMQ和CNP都是等腰直角三角

5、形，DQPC，OCODm+1，CDOC，CDDQ+PQ+PC，2+2，m+1；（3）如图3，四边形BAPQ为平行四边形，ABPQ，ABPQ，OAB45°，AOB90°，OAOB，矩形OAMB是正方形，点M恰好在函数y（m为常数，m1，x0）的图象上，M（，），即OAOB，ABPQ，解得：m或（舍），OAOB4、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y的图象过等边三角形BOC的顶点B，OC2，点A在反比例函数图象上，连接AC、AO（1）求反比例函数解析式；（2）若四边形ACBO的面积为3，求点A的坐标解：（1）作BDOC于D，如图，BOC为等边三角形，ODCDOC1，BDOD，

6、B（1，），把B（1，）代入y得k1×（），反比例函数解析式为y；（2）设A（t，），四边形ACBO的面积为3，×2×+×2×3，解得t，A点坐标为（，2）5、如图，点A是双曲线y在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰ABC，且ACB120°，点C在第一象限，随着点A的运动点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y上运动，则k的值为 解：作ADx轴于D，CEx轴于E，连接OC，如图，AB过原点，点A与点B关于原点对称，OAOB，CAB为等腰三角形，OCAB，ACB120°，CAB30&#

7、176;，OAOC，AOD+COE90°，AOD+OAD90°，OADCOE，RtAODRtOCE，（）2（）23，而SOAD×|6|3，SOCE1，即|k|1，而k0，k26、如图，已知直线yx+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线y交于E，F两点，若AB2EF，则k的值是 解：作FHx轴，ECy轴，FH与EC交于D，如图，由直线yx+2可知A点坐标为（2，0），B点坐标为（0，2），OAOB2，AOB为等腰直角三角形，AB2，EFAB，DEF为等腰直角三角形，FDDEEF1，设F点横坐标为t，代入yx+2，则纵坐标是t+2，则F的坐标是：（t，t+2），

8、E点坐标为（t+1，t+1），t（t+2）（t+1）（t+1），解得t，E点坐标为（，），k×故答案为7、如图，BOD都是等腰直角三角形，过点B作ABOB交反比例函数y（x0）于点A，过点A作ACBD于点C，若SBODSABC3，则k的值为 解：设A点坐标为（a，b），ABC和BOD都是等腰直角三角形，BCAC，ODBDSBODSABC3，OD2AC23，OD2AC26，（OD+AC）（ODAC）6，ab6，k6故答案为68、如图（1），正方形ABCD顶点A、B在函数y（k0）的图象上，点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变（1）若点A的横

9、坐标为5，求点D的纵坐标；（2）如图（2），当k8时，分别求出正方形ABCD的顶点A、B两点的坐标；（3）当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形ABCD有重叠部分时，求k的取值范围解：（1）如图，过点A作AEy轴于点E，则AED90°四边形ABCD为正方形，ADDC，ADC90°，ODC+EDA90°ODC+OCD90°，EDAOCD，在AED和DOC中，AEDDOC（AAS），ODEA5，点D的纵坐标为5；（2）作AMy轴于M，BNx轴于点N，设ODa，OCb，同理可得BCNCDOADE，CNODAMa，BNCODMb，A（a，a+b），B（a+b，

10、b），点A、B在反比例函数y的图象上，a（a+b）8，b（a+b）8，解得ab2或ab2（舍去），A、B两点的坐标分别为（2，4），（4，2）；（3）设直线AB的解析式为ymx+n，把A（2，4），B（4，2）代入得，解得，直线AB解析式为yx+6，同样可求得直线CD解析式为yx+2，由（2）可知OCD是等腰直角三角形，设点A的坐标为（m，2m），点D坐标为（0，m），当A点在直线CD上时，则2mm+2，解得m，此时点A的坐标为（，），k×；当点D在直线AB上时，有m6，此时点A的坐标为（6，12），k6×1272；综上可知：当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形ABCD

11、有重叠部分时，k的取值范围为x729、如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上ACB90°，点C坐标为（1，0），点A的坐标为（0，2），一次函数ykx+b的图象经过点B，C，反比例函数y的图象也经过点B（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）观察图象直接写出图象在第二象限时，kx+b0的解集解：（1）过B作BDx轴，垂足为D，如图，ABC为等腰直角三角形，CBCA，ACB90°，DCB+ACO90°，CAO+ACO90°，DCBCAO，在BDC和COA中BDCCOA（AAS），DCAO2，BDCO1，点B的

12、坐标是（3，1），将点B（3，1）代入y得m3×13，反比例函数的表达式是y；将B（3，1）和点C（1，0）代入ykx+b得，解得一次函数的表达式为yx；（2）在第二象限内，kx+b0的解集为3x110、如图，直线l1：ykx+b与双曲线y（x0）交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点E，已知点A（1，3），点C（4，0）（1）求直线l1和双曲线的解析式；（2）将OCE沿直线l1翻折，点O落在第一象限内的点H处，求点H的坐标；（3）如图，过点E作直线l2：y3x+4交x轴的负半轴于点F，在直线l2上是否存在点P，使得SPBCSOBC？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；

13、如果不存在，请说明理由解：（1）将A（1，3），C（4，0）代入ykx+b，得，解得：，直线l1的解析式为yx+4将A（1，3）代入y（x0），得m3，双曲线的解析式为y（x0）；（2）将x0代入yx+4，得y4，E（0，4）COE是等腰直角三角形OCEOEC45°，OCOE4由翻折得CEHCEO，COECHEOCH90°四边形OCHE是正方形H（4，4）；（3）存在，理由：如图，过点O作直线mBC交直线l2于点P，在x轴取点H，使OCCH（即等间隔），过点H作直线nBC交直线l2于点P，SPBCSOBC，根据同底等高的两个三角形面积相等，则点P（P）为所求点直线BC表达式

14、中的k值为1，则直线m、n表达式中的k值也为1，故直线m的表达式为：yx，直线l2的表达式为：y3x+4，联立并解得：x1，y1，故点P（1，1）；设直线n的表达式为：yx+s，而点H（8，0），将点H的坐标代入上式并解得：s8，故直线n的表达式为：yx+8，联立并解得：x1，y7，故点P的坐标为（1，7）；综上，点P的坐标为（1，1）或（1，7）11、如图，已知一次函数ymx+n的图象与x轴交于点B，与反比例函数y（k0）的图象交于点C，过点C作CHx轴，点D是反比例函数图象上的一点，直线CD与x轴交于点A，若HCBHCA，且BC10，BA16（1）若OA11，求k的值；（2）沿着x轴向右平移直线BC，若直线经过H点时恰好又经过点D，求一次函数ymx+n的表达式解：（1）CHAB，CHBCHA90°，HCBHCA，CHCH，CHACHB（AAS），ACBC10，即ABC为等腰三角形，则BHAHAB8，在RtCHB中，BC10，BH6，故CH8，则OHOAAH1183，故点H（3，0），则点C（3，6），将点C的坐标代入反比例函数表达