两个向量的数量积第二课时课件

1、3.1.3 空间向量及其运算空间向量及其运算一、引入一、引入1.1.共线向量定理：共线向量定理： (0) ab babab , ， 空空间间中中任任意意两两个个向向量量共共线线( () )的的充充要要条条件件是是存存在在实实数数使使得得2.2.共线向量定理的推论：共线向量定理的推论：(1)若直线若直线l过点过点A且与向量且与向量 平行，则平行，则(2)三点三点P、A、B共线的充要条件有：共线的充要条件有：aOPOAta Pl点点 在在直直线线 上上tAPtABAPAB ，（1 1）存存在在实实数数，使使得得即即tOPOAtAB （2 2）存存在在实实数数 ，使使得得,(1)xyOPxOAyOB

2、 xy 另另：存存在在实实数数 ， ，使使得得3.3.共面向量定理：共面向量定理： ).a bppxaya bxby 如如果果两两个个向向量量 、不不共共线线, , 那那么么向向量量 与与 、 共共面面的的充充要要条条件件是是存存在在唯唯一一的的有有序序实实数数对对( ( ， ，使使得得( , )x yAPxAByAC （1 1）存存在在有有序序实实数数对对，使使得得OOPOAxAByAC （2 2）对对空空间间中中任任意意一一点点 ，有有4.P4.P、A A、B B、CC四点共面充要条件：四点共面充要条件：(1)OOPxOAyOBzOC xyz 另另：对对空空间间中中任任意意一一点点 ，有有

3、 已知已知非零向量非零向量 与与 ，我们把，我们把数量数量 叫叫作作 与与 的的数量积数量积（或内积），记作（或内积），记作 ，即，即|cosa baba b ab1. 1. 数量积的定义：数量积的定义：|cosa ba b 我们规定我们规定零向量与任一向量的数量积为零零向量与任一向量的数量积为零，即，即 00a 注意：注意：(1)数量积是两个向量之间的运算，要与数量积是两个向量之间的运算，要与“数乘数乘”相区别；相区别；(2)两个向量的两个向量的数量积是一个实数数量积是一个实数，不是向量，它的符号，不是向量，它的符号由由cos 的符号决定；的符号决定；(3)点乘符号点乘符号“ ”在向量运算中

4、在向量运算中不是乘号不是乘号，既，既不能不能省略，省略，也也不能不能用用“”代替代替. a bab 可，也记为其其中中， 为为 、 的的夹夹角角, ,二、基础知识讲解二、基础知识讲解ba,01）范围：注意：（abba,)2(3),2,0,a bababa baba bab 如果则称 与 互相垂直，并记作：如果，则 与 同向如果，则 与 反向二、二、. .空间向量的数量积性质空间向量的数量积性质 |,cos)4)30)2,cos) 1222bababaaaaaaababaeaaea注意：注意：性质性质2 2）是证明）是证明两向量垂直两向量垂直的依据；的依据；性质性质3 3）是）是求向量的长度（模

5、）求向量的长度（模）的依据；的依据；（）性质是（）性质是求两个向量夹角求两个向量夹角的依据；的依据；对于非零向量对于非零向量 ，有：，有：,a b 三三. .空间向量的数量积满足的运算律空间向量的数量积满足的运算律 注意：注意：分配律）交换律）()(3()2)()() 1cabacbaabbababa数量积不满足结合律数量积不满足结合律)()cbacba（22222222212(2)(3)222a baba ba b a baba b cabca bb cc a （）（）（）（）结论： 数量积的应用数量积的应用（一）求线线角 课堂练习课堂练习课本92页1.例例1 1已知在平行六面体中，已知在平

6、行六面体中，, , ,求对角线的长。求对角线的长。ABCDA B C D 4AB 3 ,5 ,90 ,60ADAABADBAADAA AC ADCBADCB数量积的应用（二）求线段长度 课堂练习课堂练习课本92页3.OACB()| |cos| |cos| |cos证证明明：因因为为OA BCOA OCOBOA OCOA OBOAOCOAOBOAOB | |cos0OAOB OABCOABCOBOCAOBAOCOABC 例例1 1、已已知知空空间间四四边边形形，求求证证：数量积的应用（二）证明垂直 P O A la 证明：证明：如图如图,已知已知:,POAOllOA 射射影影且且求证：求证：lP

7、A 在直线在直线l上取向量上取向量 ,只要证只要证a 0a PA ()0a PAaPO OAa POa OA ,aPAl 即即PA.PA.为为 P O A la 0,0a POa OA 逆命题成立吗? P O A la 在正方体在正方体AC1中中 A1B1面面BCC1B1且且BC1 B1C B1C是是A1C在面在面BCC1B1上的射影上的射影 C B A1B1 C1A D D1证明：证明： C B A1B1 C1A D D1同理可证，同理可证， A1CB1D1由三垂线定理知由三垂线定理知 A1CBC1 111111ACACBCACB D练：在正方体中，求证：， C B A1B1 C1A D D

8、1结论结论:正方体的对角线与每个面中与之正方体的对角线与每个面中与之为异面直线的对角线垂直为异面直线的对角线垂直lmngn g m l ,gxmyn ,l gxl myl n 0,0 ,l ml m 0,.l glg 即即,lgll 即即 垂垂直直于于平平面面 内内任任一一直直线线. . .解解: 在在 内作不与内作不与m ,n重合的任一直线重合的任一直线g,在在 , ,l m n g 上取非零向量上取非零向量 因因m与与n相交相交,故向量故向量m ,n, ,l m n g 不平行不平行,由共面向量定理由共面向量定理,存在唯一实数存在唯一实数 ,使使 ( , )x y例例3:已知直线已知直线m ,n是平面是平面 内的两