两个重要极限与无穷小的比较课件

1、第六讲第六讲 两个重要极限两个重要极限与无穷小量的比较与无穷小量的比较 内容提要内容提要 1. 两个重要极限；两个重要极限； 2. 无穷小量的比较。无穷小量的比较。 教学要求教学要求 1. 熟练掌握用两个重要极限求极限；熟练掌握用两个重要极限求极限； 2. 熟练掌握无穷小的比较、等价无穷小量的性质及一熟练掌握无穷小的比较、等价无穷小量的性质及一些常见的等价无穷小。些常见的等价无穷小。一、两个重要极限一、两个重要极限 ( x 取弧度单位取弧度单位 )如图所示如图所示 , 作单位圆作单位圆则圆心角则圆心角AOB=x ， 显然有显然有AODAOBSSSD DD D AOB扇形扇形 即即xxxtans

2、in 分别除以分别除以 xsin 对于对于情形情形, ,20 x有有xxxcos1sin1 D1sinlim)1(0 xxx证证: :oyxBAx BCxsin ADxtanxxsin21xtan21x21C AB再取倒数再取倒数 , 得得1sincos xxx (1)由于用由于用x- -代替代替x时时xcos和和xxsin都不变号都不变号不等不等 式式 (1)仍成立仍成立 ,恒恒 有不等式有不等式 1sincos xxx 成立。成立。3由于由于1coslim0 xx , 且且11lim0 x ,由夹逼准则由夹逼准则可知可知 , 1sinlim0 xxx . 证毕证毕从而当从而当时时 , -

3、- 2, 00,2 x2. .对于对于的情形的情形 ,02 - -x 所以当所以当时时 ,02 - -x 对对xxxcos1sin1 20 x（偶函数），（偶函数），1sinlim0 xxx1)()(sinlim0)( xxx 0 注意：注意：xxxsinlim xxxsinlim10求求例例解解xxxsinlim0 xxxsin1lim0 xxxsinlim10 1 1sinlim0 xxx1)(sin)(lim0)( xxx 例例2 求求xxx3sinlim0解解 xxx3sinlim0 xxx33sinlim303 3 1)()(sinlim0)( xxx xxxtanlim. 30求求

4、例例解解xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 1 例例4 求求)0,(sinsinlim0 babxaxx解解 bxaxxsinsinlim00limxba bxbxbaxaxasinsin bxbxaxaxxsinsinlim0bxbxaxaxbabxaxsinlimsinlim00 ba 1)()(sinlim0)( xxx 解解 当当 n时时 , 因此因此例例5 5nnn sinlim , 有有0n nnn sinlim nnn sinlim 1 1)()(sinlim0)( xxx nnn sinlim0 例例 6 2021cos1limxxx- -220212sin2

5、limxxx 22022sinlim xxx2022sinlim xxx21 1 1)()(sinlim0)( xxx 解解2021cos1limxxx- -2022sinlim xxx1)1sin(lim. 121- - -xxx1)1sin(lim21- - -xxx1)1sin()1(lim221- - - xxxx练习练习解解2 xxxarcsinlim0解解xxxarcsinlim. 20tttsinlim0 1 tx arcsin令令txsin . 00tx则则xxx1sinlim. 4 解解xxxcotlim0 xxxxsincoslim0 xxxxcossinlim0 1 xx

6、xcotlim. 30解解xxx1sinlim xxx11sinlim01 1 证明略证明略 ( 可用两个准则证明可用两个准则证明)。exxx 11lim)2(exxx )()()(11lim 例例 1 xxx 31lim33311lim xxx解解xxx 31lim3e 33311lim xxx解法一解法一令令tx - - 则当则当 x时时 有有 t 所以所以例例2 求求3411lim - -xxx3)(411lim - - ttt3411lim - -xxx 311limtt411lim- - ttt431- - e4- - e3)(4)11()11(limtttt - - xxx411l

7、im - - 311lim - - xx411lim- - - - - xxx311lim - - xx3411lim - -xxx解法二解法二4- - eexxx )()()(11lim 34)11()11(limxxxx- - - - 解解 令令tx 1 当当0 x时时 有有 t 所以所以例例3 xxx101lim ttt 11lim xxx101lim e exxx 101limexxx 11limexxx )()()(11lim exxx )(10)()(1 lim 1)1(（3）倒数关系）倒数关系)1()2( 注意：注意： ,1lim1exxx exxx 11lim0;)tan1(l

8、im. 1cot50 xxx 求求解解xxxcot50)tan1(lim 5tan10tan)tan1(limxxx 5e ;)1(lim. 3xxxx 求求解解xxxx- - )1(limxxxx)1(lim 1)11(lim- - xxx1- - eexxx )(10)()(1 lim ;)21(lim. 2xxx- - 求求解解xxx)21(lim- - 22)21(lim- - - - - xxxexxx )()()(11lim 2- - e练习练习二、无穷小的比较二、无穷小的比较由无穷小的性质可知由无穷小的性质可知 , 两个无穷小的和、差、积两个无穷小的和、差、积仍为无穷小仍为无穷小

9、 , 但两个无穷小的商会出现不同的情况但两个无穷小的商会出现不同的情况。如当如当0 x时时 , 函数函数x2 , xsin都是无穷小。都是无穷小。但是但是0 21 而而0sinx与与02x的的 “快快”、“慢慢”差不多。差不多。,2xxxx2lim)1(202lim0 xx 202lim)2(xxx(3)2sinxx0limxxxxsinlim210 比比02x“快些快些”, 事实上事实上02x反之反之“慢些慢些”02x比比02x由此可见由此可见 , 无穷小虽然都是以无穷小虽然都是以 0 为为 极限的变量极限的变量, , 但它们趋向但它们趋向0的速度不一样的速度不一样 , 趋向趋向 0的的 “

10、快快”、 “慢慢”程度程度 , 我们引我们引 入无穷小的入无穷小的“阶阶”的概念。的概念。下面仅给出下面仅给出0 xx 时的无穷小比较的定义时的无穷小比较的定义, ,对于对于 0 xx ,- -0 xx , x ,x-x等情况的无穷小比较的定义可类似。等情况的无穷小比较的定义可类似。为了为了反映无穷小反映无穷小定义定义 设设0)(lim0 xxxa a 0)(lim0 xxxb b0)()(lim0 xxxxa ab b（1）如果）如果 , 则称则称)(xb b是比是比)(xa a高阶高阶的无穷小的无穷小 , 记为记为)()(xoxa ab b （2）如果）如果 )()(lim0 xxxxa

11、ab b , 则称则称)(xb b是比是比)(xa a低阶低阶的无穷小。的无穷小。)1, 0( （3）如果）如果)()(lim0 Cxxxxa ab b 则称则称)(xb b与与)(xa a是是同阶同阶无穷小。无穷小。（4）如果）如果1)()(lim0 xxxxa ab b 则称则称)(xb b与与)(xa a为为等价等价无穷小无穷小 , 记为记为)()(xxa ab b例如例如 03lim30 xxxQ )0(x)3(3 xox1sinlim0 xxxQ )0(xsinxx1- -x与与12- -x同阶无穷小同阶无穷小) 1(x02lim0 xxQ)2(ox )0(x11lim21- - -

12、xxxQ11lim1 xx21 可以证明可以证明 : 当当0 x时时 , 有下列等价无穷小：有下列等价无穷小：xxsinxxtanxex1- -xx)1ln( 22xcos1x- -利用等价无穷小可以简化某些极限的运算利用等价无穷小可以简化某些极限的运算 , 有下面定理：有下面定理：xarctanxarcsinxx定理定理设当设当0 xx 时时 , )()(xxa aa a ,)()(xxb bb b 且且)()(lim0 xxxxa ab b 存在存在( 或或 ) , )()(lim0 xxxxa ab b 则则)()(lim0 xxxxa ab b证明证明 因因)()(lim0 xxxxa

13、 ab b)()(lim0 xxxxa ab b (证毕证毕)()(xxa aa a )()(xxa ab b )()(xxb bb b lim0 xx )()(lim0 xxxxa aa a )()(lim0 xxxxa ab b )()(lim0 xxxxb bb b 23lim0 xxx例例1 1 求求2tan3sinlim0 xxx23 .22xxtg,0时时当当x,33sinxx0 0lim30 xxlim30- - xxxx这种解法是错误的！这种解法是错误的！.tanxx,0时时当当xQ,sinxx30sintanlimxxxx- -30sintanlim2xxxx- -求求例例解

14、解正确的解法如下正确的解法如下.xxx- - sinlimxxx- - lim xxx- - sinlim.sin不不是是无无穷穷小小是是无无穷穷小小，而而时时，xxx Qxxx- - - )sin(lim1 正确的解法如下正确的解法如下.cos21lim0 xxcos2lim320. . xxxxxcos)cos1(sinlim30- - xxxxxsintanlim30- -xxxx30sintanlimxxxx- -求求)sincossin(1lim30 xxxxx- - 21 ,0时时当当x,2cos12xx- -解解注意：注意：无穷小量替换分子或分母，也可替换分无穷小量替换分子或分母，也可替换分用无穷小的等价替换简化极限运算时，可用用无穷小的等价替换简化极限运算时，可用“-”“-”号连接的各号连接的各 部分不能分别作替换。部分不能分别作替换。等价等价分母分母子或