两个原理与排列、组合的基本问题课件

1、知识体系考纲解读1.理解分类加法计算原理和分步乘法计理解分类加法计算原理和分步乘法计数原理，并会用分类加法计数原理或分步乘数原理，并会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.2.理解排列、组合的概念，能利用计数理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，能解决原理推导排列数公式、组合数公式，能解决简单的实际问题简单的实际问题.3.能用计数原理证明二项式定理能用计数原理证明二项式定理,会用二会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.4.了解随机事件发生的不确定性和了解随机

2、事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率和概率的区别，了解两个互斥解频率和概率的区别，了解两个互斥事件的概率加法公式事件的概率加法公式.5.理解古典概型及其概率计算公式理解古典概型及其概率计算公式.会计算一些随机事件所含的基本事件会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率数及事件发生的概率.6.了解随机数的意义，能运用模拟了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率方法估计概率.了解几何概型的意义了解几何概型的意义.7.概率概率.（1）理解取有限个值的离散型随机变量）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随及其分

3、布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性机现象的重要性.（2）理解超几何分布及其导出过程，并）理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用能进行简单的应用.（3）了解条件概率和两个事件相互独立）了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解的概念，理解n次独立重复试验的模型及二次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题项分布，并能解决一些简单的实际问题.（4）理解取有限个值的离散型随机变量）理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.(

4、5)利用实际问题的直方图，了解正态分布利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义曲线的特点及曲线所表示的意义.8.统计案例统计案例.了解下列一些常见的统计方法，并能应用了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题这些方法解决一些实际问题.(1)独立性检验独立性检验.了解独立性检验（只要求了解独立性检验（只要求22列联表）的列联表）的基本思想、方法及其简单应用基本思想、方法及其简单应用.(2)回归分析回归分析.了解回归分析的基本思想、方法及其简单了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用应用.1.理解分类和分步的含义，掌握分理解分类和分步的含义，掌握分类加法计数

5、原理与分步乘法计数原理，类加法计数原理与分步乘法计数原理，并能应用他们分析和解决一些简单的并能应用他们分析和解决一些简单的应用问题应用问题.2.理解排列、组合的概念，能利用理解排列、组合的概念，能利用计数原理推理排列数、组合数公式，计数原理推理排列数、组合数公式，能解决简单的实际问题能解决简单的实际问题.1.某女孩有红、绿、黄、白某女孩有红、绿、黄、白4件上衣，红、件上衣，红、绿、黄、白、黑条裙子绿、黄、白、黑条裙子,双不同的鞋双不同的鞋子子,双不同的袜子双不同的袜子,某一天要去出行，则某一天要去出行，则不同的穿法种数为不同的穿法种数为( )BA.17 B.300 C.280 D.150 根据

6、分步乘法计数原理知，不同的根据分步乘法计数原理知，不同的穿法种数为穿法种数为4535=300(种种).2.有不同的语文书有不同的语文书7本，不同的英语书本，不同的英语书5本，本，不同的数学书不同的数学书4本，若从中选出不属于本，若从中选出不属于同一科目的两本书，则不同的选法种同一科目的两本书，则不同的选法种数为数为 种种.83 选语文、英语各一本有选语文、英语各一本有7535种种选法选法;选语文、数学各一本有选语文、数学各一本有7428种种选法选法;选英语、数学各一本有选英语、数学各一本有5420种种选法，所以共有选法，所以共有35+28+2083种不同的种不同的选法选法.3.有有A、B、C、

7、D四个不同的元素，组成四个不同的元素，组成没有重复元素的排列的个数有没有重复元素的排列的个数有( )DA.4个个 B.24个个C.48个个 D.64个个 按排列中所含元素的个数分为四类按排列中所含元素的个数分为四类,由由加法原理得加法原理得: + + + =64(个个).14A24A34A44A4.设集合设集合M=a|1a10，aN，A是是M的的三元素子集，且至少有两个偶数元素，三元素子集，且至少有两个偶数元素，则这样的集合则这样的集合A的个数有的个数有( ) AA.60个个 B.100个个C.120个个 D.160个个 因为集合因为集合M中有中有10个元素个元素,5个奇数个奇数,5个个偶数偶

8、数,故满足条件的有故满足条件的有 + =60（个）（个）或或 - - =60(个个),或或 =60(个个),故选故选A.15C25C35C15C25C310C35C12310C5.在三张卡片的正反两面上，分别写着数字在三张卡片的正反两面上，分别写着数字1和和2，4和和5，7和和8，当将它们并排组成三，当将它们并排组成三位数，不同的三位数的个数有位数，不同的三位数的个数有( )AA.48个个 B.36个个C.42个个 D.32个个 从三张卡片上选数有：从三张卡片上选数有： =8种，种，进行排列有进行排列有 种，由乘法原理，共有种，由乘法原理，共有8 =48（个）（个）.12C12C12C33A3

9、3A1.分类加法计数原理分类加法计数原理完成一件事完成一件事,有有n类办法类办法,在第在第1类办法中有类办法中有m1种不同的方法种不同的方法,在第在第2类办法中有类办法中有m2种不同的方种不同的方法，法，在第，在第n类办法中有类办法中有mn种不同的方法种不同的方法,那那么完成这件事共有么完成这件事共有N= 种不种不同的方法同的方法.2.分步乘法计数原理分步乘法计数原理完成一件事完成一件事,需要分成需要分成n个步骤个步骤,做第做第1步有步有m1种不同的方法种不同的方法,做第做第2步有步有m2种不同的方法，种不同的方法，,做第做第n步有步有mn种不同的方法种不同的方法,那么完成这件事共有那么完成这

10、件事共有N= 种不同的方法种不同的方法.m1+m2+m3+mnm1m2mn3.分类和分步的区别分类和分步的区别分类：完成一件事同时存在分类：完成一件事同时存在n类方法，每类方法，每一类都能独立完成这件事，各类互不相关一类都能独立完成这件事，各类互不相关.分分步：完成一件事须按先后顺序分步：完成一件事须按先后顺序分n步进行，步进行，每一步缺一不可，只有当所有步骤完成，这每一步缺一不可，只有当所有步骤完成，这件事才完成件事才完成.4.排列基础理论排列基础理论(1)排列的定义排列的定义.从从n个不同元素中个不同元素中,任取任取m(mn)个不同元个不同元素素,按照一定的按照一定的 排成一列排成一列,叫

11、做从叫做从n个不个不同元素中取出同元素中取出m个元素的一个排列个元素的一个排列.顺序顺序(2)排列数的定义排列数的定义.从从n不同元素中不同元素中,任取任取m(mn)个不同元素个不同元素的所有排列的个数的所有排列的个数,叫做从叫做从n个不同元素中取个不同元素中取出出m个元素的排列数个元素的排列数,用符号用符号 表示表示.(3)排列数计算公式排列数计算公式. =n(n-1)(n-2)(n-m+1)= (其其中中mn).()若若m=n，排列称为全排列，记，排列称为全排列，记 =123(n-1)n=n!(称为称为n的阶乘的阶乘)；()规定规定0!1.mnAmnA!()!nnmnnA5.组合基础理论组

12、合基础理论(1)组合的定义组合的定义.从从n个不同元素中，取出个不同元素中，取出m(mn)个不同个不同元素组成一组，叫做从元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个组合个元素的一个组合.(2)组合数的定义组合数的定义.从从n个不同元素中个不同元素中,取出取出m(mn)个不同元个不同元素的所有组合的个数素的所有组合的个数,叫做从叫做从n个不同元素中个不同元素中取出取出m个元素的组合数个元素的组合数,用符号用符号 表示表示.mnC(3)组合数计数公式组合数计数公式. = = . = .规定规定 =1.(4)组合数的两个性质组合数的两个性质.() = ;() = + .mn

13、CmnmmAA(1)(2)(1)!n nnnmm!()!nm nm0nCmnCn mnC1mnCmnC1mnC6.排列与组合的区别排列与组合的区别排列与组合的共同点是排列与组合的共同点是“从从n个不同元个不同元素中，任取素中，任取m个不同元素个不同元素”；而不同点是；而不同点是排列要排列要“按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列”，而，而组合却是组合却是“只需组成一组（与顺序无只需组成一组（与顺序无关）关）”.因此，因此，“有序有序”与与“无序无序”是排列是排列与组合的重要标志与组合的重要标志.“ ”为排列问为排列问题题,“ ”为组合问题为组合问题.有序有序无序无序例例1 （1）现要排一

14、份天的值班表，每天现要排一份天的值班表，每天有一人值班，共有人，每人可以多天值有一人值班，共有人，每人可以多天值班或不值班，但相邻两天不准由同一人值班或不值班，但相邻两天不准由同一人值班，问此值班表共有班，问此值班表共有 种不同排法种不同排法.1280 (1)值班表须依题设一天一天的分步值班表须依题设一天一天的分步完成完成.第一天有第一天有5人可选，有人可选，有5种排法，第二种排法，第二天不能用第一天的人，有天不能用第一天的人，有4种排法，同理，种排法，同理，第三天、第四天、第五天也有第三天、第四天、第五天也有4种，故由分种，故由分步 计 数 原 理 排 值 班 表 共 有步 计 数 原 理

15、排 值 班 表 共 有54444=1280种，应填种，应填1280. (2)设另两边长为设另两边长为x、y,且且1xy11 (x、yZ)，构成三角形，则，构成三角形，则x+y12，当，当y取取11时，时，x=1,2,3,11,有有11个个;当当y取取10时，时，x=2,3,10,有个有个;当当y取取9时，时，x=3,4,9,共共7个个;当当y取取6时，时，x也只能为也只能为6，有，有1个，个，故 满 足 题 设 的 三 角 形 共 有 ：故 满 足 题 设 的 三 角 形 共 有 ：11+9+7+5+3+1=36个，故选个，故选C.(2)三角形的三边长均为整数三角形的三边长均为整数,且最长的边

16、且最长的边长为长为11,则这样的三角形的个数有则这样的三角形的个数有( )A.25个个 B.26个个 C.36个个 D.37个个C （1）是分步问题，用分步计数原）是分步问题，用分步计数原理理;(2)是分类问题，用分类计数原理是分类问题，用分类计数原理.例例2 解下列方程：解下列方程：(1) +1=140 ;(2) = + + .421xA3xA13xxC11xxC1xxC22xxC (1)根据排列的意义及公式得根据排列的意义及公式得 42x+1 3x (2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140 x(x-1)(x-2), x (4x-23)(x-3)=0,解之并检验得解之并检验得x=3.

17、则有则有(2)由组合数的性质可得由组合数的性质可得 + + = + + = + .又又 = ,所以所以 = + ,即即 + = + ,所以所以 = ，所以所以5=x+2,x=3,经检验知经检验知x=3.13xxC11xxC1xxC22xxC11xC21xC42xC22xC42xC23xC23xC22xC42xC12xC22xC22xC42xC12xC42xC 凡遇到解排列、组合的方程凡遇到解排列、组合的方程,不等式问题时，应首先应用性质和不等式问题时，应首先应用性质和排列、组合的计算公式进行变形与排列、组合的计算公式进行变形与化简，并注意有关解排列、组合的化简，并注意有关解排列、组合的方程、不

18、等式问题，最后结果都需方程、不等式问题，最后结果都需要检验要检验.例例3 用用0,1,2,3,4这五个数字，可以组这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数：字的五位数： (1)比比21034大的偶数；大的偶数； (2)左起第二位、第四位是奇数的偶数左起第二位、第四位是奇数的偶数. (1)（方法一）可分五类（方法一）可分五类:当末位数字是当末位数字是0,而首位数字是而首位数字是2, + =6(个个);当末位数字是当末位数字是0,而首位数字是而首位数字是3或或4,有有 =12(个个);当末位数字是当末位数字是2,而首位数字是而首位数字是3或或4,

19、有有 =12(个个);当末位数字是当末位数字是,而首位数字是而首位数字是2,有有 + =3(个个);当末位数字是当末位数字是4,而首位数字是而首位数字是3，有，有 =6(个个).故有故有6+12+12+3+6=39(个个).12A22A22A12A33A12A33A22A11A33A(方法二方法二)不大于不大于21034的偶数可分为三类：的偶数可分为三类：1为万位数字的偶数，有为万位数字的偶数，有 =18(个个);2为万位数字，而千位数字是为万位数字，而千位数字是0的偶数，有的偶数，有 =2(个个);还有还有21034本身本身.而由而由0,1,2,3,4组成的五位偶数共有组成的五位偶数共有 +

20、 =60(个个).故满足条件的五位偶数共有故满足条件的五位偶数共有 60- - -1=39(个个).12A12A33A13A44A13A33A13A33A12A(2)（方法一）可分两类（方法一）可分两类:0是末位数，有是末位数，有 =4（个）；（个）；或是末位数，有或是末位数，有 =4(个个).故共有故共有4+4=8(个个).(方法二方法二)第二位、第四位从奇数第二位、第四位从奇数1，3中取，中取，有有 个个;首位从首位从,中取，有中取，有 个；余下个；余下排在剩下的两位，有排在剩下的两位，有 个个,故共有故共有 =8(个个).22A22A22A12A22A12A22A22A12A22A 不同

21、数字的无重复排列是排列问不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题，常见的附加条题中的一类典型问题，常见的附加条件有：奇偶数、位数关系及大小关系件有：奇偶数、位数关系及大小关系等，也可有相邻问题、不相邻问题等，等，也可有相邻问题、不相邻问题等，解决这类问题的关键是搞清受限条件，解决这类问题的关键是搞清受限条件，然后按特殊元素（位置）的性质分类然后按特殊元素（位置）的性质分类.这类问题有这类问题有0参与时，不可忽视它不能参与时，不可忽视它不能排在首位的隐含条件排在首位的隐含条件. 为了参加学校的元旦文艺会演，某为了参加学校的元旦文艺会演，某班决定从爱好唱歌的名男同学和名班决定从爱好唱歌的名男

22、同学和名女同学中选派名参加小合唱节目，如女同学中选派名参加小合唱节目，如果要求男女同学至少各选派名，那么果要求男女同学至少各选派名，那么不同的选派方法有多少种？不同的选派方法有多少种？ (方法一方法一)按选派的男同学的人数分三类：按选派的男同学的人数分三类：选派一名男同学，三名女同学有选派一名男同学，三名女同学有 40种方法；种方法；选派两名男同学，两名女同学有选派两名男同学，两名女同学有 60种方法；种方法；选派三名男同学，一名女同学有选派三名男同学，一名女同学有 20种方法；种方法；由分类计数原理，共有不同的选派方法有由分类计数原理，共有不同的选派方法有40+60+20=120种种.14C

23、35C24C25C34C15C(方法二方法二)在这九名同学中任选四名，在这九名同学中任选四名，有有 =126种方法种方法.其中四人都是男同其中四人都是男同学的有学的有 =1种方法；四人都是女同种方法；四人都是女同学的有学的有 =5种方法，因此符合要求种方法，因此符合要求的选派方法有的选派方法有126-1-5=120种种.49C44C45C 有限制条件的组合应用题的限制条有限制条件的组合应用题的限制条件主要表现在被选出的元素件主要表现在被选出的元素“含含”或或“不不含含”某些元素，或是某些元素，或是“至少至少”“”“至多至多”等等类型的组合问题，对于这类组合应用题解类型的组合问题，对于这类组合应

24、用题解题的总体思路为：题的总体思路为：(1)用直接法用直接法.一般是从整体分类，然后再局部分步一般是从整体分类，然后再局部分步.对于较复杂的从若干个集合里选元素的问对于较复杂的从若干个集合里选元素的问题，首先应以其中一个集合为基准进行分题，首先应以其中一个集合为基准进行分类（当然，为了使类别尽量少，这个集合类（当然，为了使类别尽量少，这个集合里的元素较少为好），里的元素较少为好）， 分类时要做到不重不漏，也就是各类的分类时要做到不重不漏，也就是各类的并集是全集，任意两类的交集是空集，并集是全集，任意两类的交集是空集，在合理正确分类的前提下，在每一类中，在合理正确分类的前提下，在每一类中，依据题

25、目的要求进行分步，分步要做到依据题目的要求进行分步，分步要做到步步连续，各步之间相互独立步步连续，各步之间相互独立. ()用间接法用间接法. 当正面求解较为困难时，也可采用正当正面求解较为困难时，也可采用正难则反的思想，用难则反的思想，用“间接法间接法”求解，但求解，但要注意找准对立面要注意找准对立面. 球台上有球台上有4个黄球，个黄球，6个红球，击个红球，击黄球入袋记黄球入袋记2分，击红球入袋记分，击红球入袋记1分分.欲欲将此将此0个球中的个球中的4个球击入袋中，但总个球击入袋中，但总分不低于分不低于5分，则击球方法有几种？分，则击球方法有几种？ 设击入黄球设击入黄球x个个,红球红球y个符合

26、要求个符合要求, x+y=4 2x+y5 x,yN*, x=1 x=2 x=3 x=4 y=3, y=2 , y=1 , y=0.故共有不同击球方法数为故共有不同击球方法数为 + + + =195.则有则有解得解得14C36C24C26C16C34C44C06C 本题需运用不等式的知识，确本题需运用不等式的知识，确定击入黄球与红球的个数，有时则需定击入黄球与红球的个数，有时则需利用集合的运算等知识，确定相关元利用集合的运算等知识，确定相关元素的个数，再利用排列或组合的知识素的个数，再利用排列或组合的知识解决方法种数问题解决方法种数问题.1.解决应用题时，应分析：要完解决应用题时，应分析：要完成

27、做一件什么事；这件事怎样做才可成做一件什么事；这件事怎样做才可以做好；需要分类还是分步以做好；需要分类还是分步.运用分类运用分类计数原理和分步计数原理，关键在于计数原理和分步计数原理，关键在于两方面，认真分析题意，设计合理两方面，认真分析题意，设计合理的求解程序是求解问题的关键的求解程序是求解问题的关键.2.如果任何一类办法中的任何一种方如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，即类与类之间是相互法都能完成这件事，即类与类之间是相互独立的，即分类完成，则选用分类计数原独立的，即分类完成，则选用分类计数原理；如果完成一件事要经历几个步骤（即理；如果完成一件事要经历几个步骤（即几步），且只有当这些步骤都做完，这件几步），且只有当这些步骤都做完，这件事才能完成，即步与步之间是相互依存、事才能完成，即步与步之间是相互依存、相互连续的，即分步完成，则选用分步计相互连续的，即分步完成，则选用分步计数原理数原理.3.排列与组合的本质区别在于排列不排列与组合的本质区别在于排列不仅取而且排，即与顺序有关，而组合只取仅取而且排，即与顺序有关，而组合只取出一组即可，与顺序无关出一组即可，与顺序无关. 4.注意排列数公式、组合数公